《2019-2020年高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)中學(xué)第24課時小結(jié)與復(fù)習(xí)（2）教案湘教版必修2.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020年高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)中學(xué)第24課時小結(jié)與復(fù)習(xí)（2）教案湘教版必修2.doc（5頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

2019-2020年高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)中學(xué)第24課時小結(jié)與復(fù)習(xí)（2）教案湘教版必修2 教學(xué)目的： 1熟悉向量的性質(zhì)及運(yùn)算律； 2能根據(jù)向量性質(zhì)特點(diǎn)構(gòu)造向量； 3熟練平面幾何性質(zhì)在解題中應(yīng)用；4熟練向量求解的坐標(biāo)化思路 5認(rèn)識事物之間的內(nèi)在聯(lián)系； 6認(rèn)識向量的工具性作用，加強(qiáng)數(shù)學(xué)在實際生活中的應(yīng)用意識 教學(xué)重點(diǎn)：向量的坐標(biāo)表示的應(yīng)用；構(gòu)造向量法的應(yīng)用 教學(xué)難點(diǎn)：構(gòu)造向量法的適用題型特點(diǎn)的把握 授課類型：復(fù)習(xí)課 課時安排：1課時 教 具：多媒體、實物投影儀 教學(xué)方法:啟發(fā)引導(dǎo)式 針對向量坐標(biāo)表示的應(yīng)用，通過非坐標(biāo)形式解法與坐標(biāo)化解法的比較來加深學(xué)生對于向量坐標(biāo)表示的認(rèn)識，同時要加強(qiáng)學(xué)生選擇建立坐標(biāo)系的意識 對于“構(gòu)造向量法”的應(yīng)用，本節(jié)例題選擇了本章的重點(diǎn)內(nèi)容數(shù)量積的坐標(biāo)表示，目的要使學(xué)生把握坐標(biāo)表示的數(shù)量積性質(zhì)的形式特點(diǎn)，同時增強(qiáng)學(xué)生的解題技巧，提高解題能力教學(xué)過程： 一、講解范例： 例1利用向量知識證明下列各式 (1)x2＋y2≥2xy (2)｜x｜2＋｜y｜2≥2xy 分析：(1)題中的結(jié)論是大家所熟悉的重要不等式，以前可用求差法證得，而利用向量知識求證，則需構(gòu)造向量，故形式上與向量的數(shù)量積產(chǎn)生聯(lián)系 (2)題本身含有向量形式，可根據(jù)數(shù)量積的定義式并結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)求證 證明：(1)設(shè)a＝（x，y），b＝（y，x）則ab＝xy＋yx＝2xy ｜a｜｜b｜＝ 又ab＝｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ(其中θ為a，b夾角) ≤｜a｜｜b｜ ∴x2＋y2≥2xy (2)設(shè)x，y的夾角為θ， 則xy＝｜x｜｜y｜c(diǎn)osθ≤｜x｜｜y｜≤ ∴｜x｜2＋｜y｜2≥2xy 評述： (1)上述結(jié)論表明，重要不等式a2＋b2≥2ab，無論對于實數(shù)還是向量，都成立 (2)在(2)題證明過程中，由于｜x｜，｜y｜是實數(shù)，故可以應(yīng)用重要不等式求證 例2利用向量知識證明 (a1b1＋a2b2)2≤（a12＋a22）（b12＋b22） 分析：此題形式對學(xué)生較為熟悉，在不等式證明部分常用比較法證明，若利用向量知識求證，則關(guān)鍵在于根據(jù)其形式與數(shù)量積的坐標(biāo)表示產(chǎn)生聯(lián)系，故需要構(gòu)造向量 證明：設(shè)a＝（a1，a2），b＝（b1，b2） 則ab＝a1b1＋a2b2， ｜a｜2＝a12＋a22，｜b｜2＝b12＋b22 ∵ab＝｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ≤｜a｜｜b｜ (其中θ為a，b夾角) ∴（ab）2≤｜a｜2｜b｜2 ∴（a1b1＋a2b2）2≤（a12＋a22）（b12＋b22） 評述：此題證法難點(diǎn)在于向量的構(gòu)造，若能恰當(dāng)構(gòu)造向量，則利用數(shù)量積的性質(zhì)容易證明結(jié)論這一技巧應(yīng)要求學(xué)生注意體會 例3已知ｆ（x）＝ 求證：｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b｜(a≠b） 分析：此題若用分析法證明，則需采用平方的手段以去掉絕對值，但由于ｆ（a）、ｆ（b）是含有根式的式子，故需再次平方才能達(dá)到去根號的目的也可考慮構(gòu)造向量法，利用向量的性質(zhì)求證下面給出兩種證法 證法一：∵ｆ（a）＝， ｆ（b）＝， ∴要證明｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b｜ 只需證明｜－｜2＜｜a－b｜2 即 1＋a2＋1＋b2－2＜a2＋b2－2ab 即 ＞1＋ab 只需證明（）2＞（1＋ab）2 即1＋a2＋b2＋a2b2＞1＋2ab＋a2b2 即a2＋b2＞2ab ∵a2＋b2≥2ab 又a≠b ∴a2＋b2＞2ab ∴｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b｜ 證法二：設(shè)a＝（1，a），b＝（1，b） 則｜a｜＝，｜b｜＝ a－b＝（O，a－b） ｜a－b｜＝｜a－b｜ 由｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a－b｜， （其中當(dāng)｜a｜＝｜b｜即a＝b時，取“＝”，而a≠b） ∴｜｜a｜－｜b｜｜＜｜a－b｜ 即｜－｜＜｜a－b｜ ∴｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b｜ 評述：通過兩種證法的比較，體會“構(gòu)造向量法”的特點(diǎn)，加深對向量工具性作用的認(rèn)識 上述三個例題，主要通過“構(gòu)造向量”解決問題，要求學(xué)生在體驗向量工具性作用的同時，注意解題方法的靈活性下面，我們通過下面的例題分析，讓大家體會向量坐標(biāo)運(yùn)算的特點(diǎn)，以及“向量坐標(biāo)化”思路在解題中的具體應(yīng)用 例4已知：如圖所示，ABCD是菱形，AC和BD是它的兩條對角線求證AC⊥BD分析：對于線段的垂直，可以聯(lián)想到兩個向量垂直的充要條件，而對于這一條件的應(yīng)用，可以考慮向量式的形式，也可以考慮坐標(biāo)形式的充要條件 證法一：∵＝＋， ＝－， ∴＝（＋）（－） ＝｜｜2－｜｜2＝O ∴⊥ 證法二：以O(shè)C所在直線為x軸，以B為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)B(O，O)，A(a，b)，C（c，O）則由｜AB｜＝｜BC｜得a2＋b2＝c2 ∵＝－＝（c，O）－（a，b）＝（c－a，－b）， ＝＋＝（a，b）＋（c，O）＝（c＋a，b） ∴＝c2－a2－b2＝O ∴⊥ 即 AC⊥BD 評述：如能熟練應(yīng)用向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算，則將給解題帶來一定的方便通過向量的坐標(biāo)表示，可以把幾何問題的證明轉(zhuǎn)化成代數(shù)式的運(yùn)算，體現(xiàn)了向量的數(shù)與形的橋梁作用，有助于提高學(xué)生對于“數(shù)形結(jié)合”解題思想的認(rèn)識和掌握 例5 若非零向量a和b滿足｜a＋b｜＝｜a－b｜證明：a⊥b 分析：此題在綜合學(xué)習(xí)向量知識之后，解決途徑較多，可以考慮兩向量垂直的充要條件的應(yīng)用，也可考慮平面圖形的幾何性質(zhì)，下面給出此題的三種證法證法一： (根據(jù)平面圖形的幾何性質(zhì)) 設(shè)＝a，＝b， 由已知可得a與b不平行， 由｜a＋b｜＝｜a－b｜得以、為鄰邊的平行四邊形OACB的對角線和相等 所以平行四邊形OACB是矩形， ∴⊥，∴a⊥b 證法二：∵｜a＋b｜＝｜a－b｜ ∴（a＋b）2＝（a－b）2 ∴a2＋2ab＋b2＝a2－2ab＋b2 ∴ab＝O，∴a⊥b 證法三：設(shè)a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）， ｜a＋b｜＝， ｜a－b｜＝， ∴ ＝， 化簡得：x1x2＋y1y2＝O， ∴ab＝O，∴a⊥b 例6 已知向量a是以點(diǎn)A(3，－1)為起點(diǎn)，且與向量b＝（－3，4）垂直的單位向量，求a的終點(diǎn)坐標(biāo) 分析：此題若要利用兩向量垂直的充要條件，則需假設(shè)a的終點(diǎn)坐標(biāo)，然后表示a的坐標(biāo)，再根據(jù)兩向量垂直的充要條件建立方程 解：設(shè)a的終點(diǎn)坐標(biāo)為（ｍ，ｎ） 則a＝（ｍ－3，ｎ＋1） ① ② 由題意 由①得：ｎ＝（3ｍ－13）代入②得 25ｍ2－15Oｍ＋2O9＝O 解得 ∴a的終點(diǎn)坐標(biāo)是（ 評述：向量的坐標(biāo)表示是終點(diǎn)坐標(biāo)減去起始點(diǎn)的坐標(biāo)，所以向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)既有聯(lián)系又有區(qū)別，二者不能混淆 上述例題，主要體現(xiàn)了兩向量垂直的充要條件的應(yīng)用，在突出本章這一重點(diǎn)知識的同時，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生注意解題方法的靈活性，尤其是向量的坐標(biāo)化思路在解題時的應(yīng)用，將幾何與代數(shù)知識溝通起來 二、課堂練習(xí)： 1已知a＝（1，O），b＝（1，1），當(dāng)λ為何值時，a＋λb與a垂直 解：a＋λb＝（1，O）＋λ（1，1）＝（1＋λ，λ） ∵（a＋λb）⊥a ∴（a＋λb）a＝O ∴（1＋λ）＋Oλ＝O∴λ＝－1 即當(dāng)λ＝－1時，a＋λb與a垂直 2已知｜a｜＝，｜b｜＝2，a與b的夾角為3O， 求｜a＋b｜，｜a－b｜ 解：｜a＋b｜2＝（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 ＝｜a｜2＋2｜a｜｜b｜c(diǎn)os3O＋｜b｜2 ＝（）2＋22＋22＝13 ∴｜a＋b｜＝， ∵｜a－b｜2＝（a－b)2＝a2－2ab＋b2 ＝｜a｜2－2｜a｜｜b｜c(diǎn)os3O＋b2 ＝（）2－22＋22＝1 ∴｜a－b｜＝1 3已知｜a｜＝3，｜b｜＝2，a與b的夾角為6O，c＝3a＋5b，d＝ｍa－3b當(dāng)ｍ為何值時，c與d是否垂直? 解：若c⊥d，則cd＝O ∴（3a＋5b）（ｍa－3b)＝O ∴3ｍ｜a｜2＋（5ｍ－9）ab－15｜b｜2＝O ∴3ｍ｜a｜2＋（5ｍ－9）｜a｜｜b｜c(diǎn)os6O－15｜b｜2＝O 即27ｍ＋3（5ｍ－9）－6O＝O，解得ｍ＝ 4已知a＋b＝c，a－b＝d 求證：｜a｜＝｜b｜c(diǎn)⊥d 證明：(1)c⊥d （a＋b）（a－b）＝O a2－b2＝O a2＝b2 ｜a｜＝｜b｜， (2)｜a｜＝｜b｜ a2＝b2 a2－b2＝O （a＋b）（a－b）＝O c⊥d 三、小結(jié) 通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家進(jìn)一步熟悉向量的性質(zhì)及運(yùn)算律，熟悉平面幾何性質(zhì)在解題中的應(yīng)用，能夠掌握向量坐標(biāo)化的思路求解問題，掌握構(gòu)造向量并利用向量性質(zhì)解題、證題的方法 四、課后作業(yè)： 五、板書設(shè)計（略） 六、課后記及備用資料： 1三角形內(nèi)角和性質(zhì) 定理：在△ABC中，A、B、C分別為三個內(nèi)角，則A＋B＋C＝18O 推論(1)B＝6O2B＝A＋C 推論(2)若A＜9O，則有 sinB＞cosC，cosB＜sinC，tanB＞cotC，cotB＜tanC 推論(3)sin（A＋B）＝sinC，cos（A＋B）＝－cosC， tan（A＋B）＝－tanC，cot（A＋B）＝－cotC 推論(4) 2三角形內(nèi)角和性質(zhì)應(yīng)用舉例 例1 △ABC中，若求證：A、B、C成等差數(shù)列 證明：由條件得， 由推論(3)得sin（B＋C）＝sinA∴sin（B－C）＝sinA－sinC ∴sin（B－C）－sin（B＋C）＝－sinC，即2cosBsinC＝sinC ∵sinC≠O，∴cosB＝，∴B＝ 故由推論(1)得2B＝A＋C所以A、B、C成等差數(shù)列 例2 在銳角△ABC中，求證：sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC 證明：∵△ABC是銳角三角形，∴A＜9O，根據(jù)推論(2)有：sinB＞cosC ① B＜9O，根據(jù)推論(2)有：sinC＞cosA ② C＜9O，根據(jù)推論(2)有sinA＞cosB ③ ∴①＋②＋③得：sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC 例3已知△ABC，求證(a－b)cot＋(b－c)cot＋(c－a)cot＝O 證明：根據(jù)正弦定理和推論(4)，有 (a－b)cot＝2Ｒ(sinA－sinB)tan＝4Ｒsinsin， ∴（a－b）cot＝2Ｒ（cosB－cosA） 同理，（b－c）cot＝2Ｒ（cosC－cosB）； （c－a）cot＝2Ｒ（cosA－cosC) 三式相加可得（a－b）cot＋（b－c）cot＋（c－a）cot＝O