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2019-2020年高中數(shù)學重點中學第8課時線段的定比分點教案湘教版必修2 教學目的： 1掌握線段的定比分點坐標公式及線段的中點坐標公式； 2熟練運用線段的定比分點坐標公式及中點坐標公式； 3理解點P分有向線段所成比λ的含義； 4明確點P的位置及λ范圍的關系 教學重點：線段的定比分點和中點坐標公式的應用 教學難點：用線段的定比分點坐標公式解題時區(qū)分λ＞0還是λ＜０ 授課類型：新授課 課時安排：1課時 教 具：多媒體、實物投影儀 教學過程： 一、復習引入： 1向量的加法：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法 向量加法的三角形法則和平行四邊形法則 2．向量加法的交換律：+=+ 3．向量加法的結(jié)合律：(+) +=+ (+) 4．向量的減法向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差即：a - b = a + (-b) 5．差向量的意義： = a, = b, 則= a - b 即a - b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量 6．實數(shù)與向量的積：實數(shù)λ與向量的積是一個向量，記作：λ （1）|λ|=|λ|||；（2）λ>0時λ與方向相同；λ<0時λ與方向相反；λ=0時λ= 7．運算定律 λ(μ)=(λμ)，(λ+μ)=λ+μ，λ(+)=λ+λ 8． 向量共線定理 向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)λ，使=λ 9．平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2使=λ1+λ2 (1)我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底； (2)基底不惟一，關鍵是不共線； (3)由定理可將任一向量ａ在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進行分解； (4)基底給定時，分解形式惟一λ1，λ2是被，，唯一確定的數(shù)量 10．平面向量的坐標表示 分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)、，使得 把叫做向量的（直角）坐標，記作 其中叫做在軸上的坐標，叫做在軸上的坐標， 特別地，，， 11．平面向量的坐標運算 若，， 則，， 若，，則 12．∥ ()的充要條件是x1y2-x2y1=0 二、講解新課： 1．線段的定比分點及λ P1, P2是直線l上的兩點，P是l上不同于P1, P2的任一點，存在實數(shù)λ， 使 =λ，λ叫做點P分所成的比，有三種情況： λ>0(內(nèi)分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0) 2定比分點坐標公式： 若點P１(x1,y1) ，Ｐ２(x2,y2)，λ為實數(shù)，且＝λ，則點P的坐標為（），我們稱λ為點P分所成的比 設=λ 點P1, P, P2坐標為(x1,y1) (x,y) (x2,y2)，由向量的坐標運算 =(x-x1,y-y1) ，=( x2-x, y2-y) ∵=λ ∴ (x-x1,y-y1) =λ( x2-x, y2-y) ∴ 定比分點坐標公式() 點P分所成的比與點P分所成的比是兩個不同的比，要注意方向 3點P的位置與λ的范圍的關系： ①當λ＞０時，與同向共線，這時稱點P為的內(nèi)分點 特別地，當λ＝１時，有＝，即點P是線段Ｐ１Ｐ２之中點，其坐標為（） ②當λ＜０()時，與反向共線，這時稱點P為的外分點 探究：若Ｐ１、Ｐ２是直線上的兩點，點P是上不同于Ｐ１、Ｐ２的任意一點，則存在一個實數(shù)λ，使＝λ，λ叫做P分有向線段所成的比 而且，當點P在線段Ｐ１Ｐ２上時，λ＞０；當點P在線段Ｐ１Ｐ２或Ｐ2Ｐ1的延長線上時，λ＜０ 對于上述內(nèi)容，逆過來是否還成立呢? (1)若λ＞０，則點P為線段Ｐ１Ｐ２的內(nèi)分點； (2)若λ＜０，則點P為線段Ｐ１Ｐ２的外分點 一般來說，(1)是正確的，而(2)卻不一定正確這是因為，當λ＝－１時，定比分點的坐標公式ｘ＝和ｙ＝顯然都無意義，也就是說，當λ＝－１時，定比分點不存在 由此可見，當點P為線段Ｐ１Ｐ２的外分點時，應有λ＜０且λ≠－１ 4線段定比分點坐標公式的向量形式： 在平面內(nèi)任取一點O，設＝ａ，＝ｂ， 由于＝－＝－ａ，＝－＝ｂ－ 且有＝λ，所以 -a=λ(b-)即可得 = 這一結(jié)論在幾何問題的證明過程中應注意應用 三、講解范例： 例1已知A(1，3)，B(－２，０)，Ｃ（２，１）為三角形的三個頂點，L、M、N分別是BC、CA、AB上的點，滿足BL∶BC＝CM∶CA＝NA∶AB＝１∶３，求L、M、N三點的坐標 分析：所給線段長度的比，實為相應向量模的比，故可轉(zhuǎn)換所給比值為點L、M、N分向量、、所成的比，由定比分點坐標公式求三個點的坐標 另外，要求L、M、N的坐標，即求、、的坐標(這里O為坐標原點)，為此，我們可借用定比分點的向量形式 下面給出第二種解法 解：∵Ａ（１，３），Ｂ（－２，０），Ｃ（２，１）， ∴＝（１，３），＝（－２，０），＝（２，１） 又∵ＢＬ∶ＢＣ＝ＣＭ∶ＣＡ＝ＡＮ∶ＡＢ＝１∶３ ∴可得：L分，M分，N分所成的比均為λ＝２ ∴＝＋＝（２，１）＋（-2，0）=（-，） =+ = (1,3)+ （２，１）＝（，） ＝＋＝（－２，０）＋（１，３）＝（０，２） ∴Ｌ（－，）、Ｍ（，）、Ｎ（０，２）為所求 上述兩種解題思路，各有特色，各有側(cè)重，望同學們比較選擇，靈活應用 例2已知三點A(0，8)，B(－４，０)，Ｃ（５，－３），Ｄ點內(nèi)分的比為１∶３，E點在BC邊上，且使△BDE的面積是△ABC面積的一半，求DE中點的坐標 分析：要求DE中點的坐標，只要求得點D、E的坐標即可，又由于點E在BC上，△BDE與△ABC有公共頂點B，所以它們的面積表達式選定一公用角可建立比例關系求解 解：由已知有＝，則得＝ 又，而Ｓ△ＢＤＥ＝｜｜｜｜sin∠DBE， Ｓ△ＡＢＣ＝｜｜｜｜sin∠ABC，且∠DBE＝∠ABC ∴，即得： 又點E在邊BC上，所以，∴點E分成比λ＝２ 由定比分點坐標公式有 ,即Ｅ（２，－２）， 又由 ,有D（－１，６） 記線段DE的中點為M(x,y),則 ,即M（，２）為所求 四、課堂練習： 1．已知點A(－２，-３)，點Ｂ（４，１），延長AB到P，使｜｜＝３｜｜，求點P的坐標 解：因為點P在AB上的延長線上，P為的外分點，所以，＝λ，λ＜０，又根據(jù)｜｜＝３｜｜，可知λ＝－３，由分點坐標公式易得P點的坐標為（７，３）． 2．已知兩點P１（３，２），Ｐ２（－８，３），求點P(，ｙ)分所成的比λ及ｙ的值 解：由線段的定比分點坐標公式得 ，解得 五、小結(jié) 六、課后作業(yè)： 1已知點A分有向線段的比為2，則在下列結(jié)論中錯誤的是（ ） A點C分的比是-B點C分的比是-3 C點C分的比是-D點A分的比是2 2已知兩點P１（－１，－６）、Ｐ２（３，０），點P（－，ｙ）分有向線段所成的比為λ，則λ、ｙ的值為（ ） A－，８ B，－８ C－，－８  D４， 3△ABC的兩個頂點A(3，7)和B(-2，5)，若AC的中點在x軸上，BC的中點在y軸上，則頂點C的坐標是（ ） A (2，-7) B (-7，2) C (-3，-5) D (-5，-3) 4已知點A(x,2),B(5,1),C(-4,2x)在同一條直線上，那么x= 5△ABC的頂點A(2，3)，B(-4，-2)和重心G(2，-1)，則C點坐標為 6已知M為△ABC邊AB上的一點，且Ｓ△ＡＭＣ＝Ｓ△ＡＢＣ，則M分所成的比為 7已知點A(-1,-4)、B(5,2)，線段AB上的三等分點依次為P１、Ｐ２，求Ｐ１、Ｐ２點的坐標以及A、B分所成的比λ． 8過P１（１，３）、Ｐ２（７，２）的直線與一次函數(shù)的圖象交于點P，求P分所成的比值 9已知平行四邊形ABCD一個頂點坐標為A(-2,1)，一組對邊AB、CD的中點分別為M(3，0)、N(-1，-2)，求平行四邊形的各個頂點坐標 參考答案：1D 2C 3A 42或 5 (8,-4) 6 7P1(1,-2),P2(3,0),A、B分所成的比λ1、λ2分別為-,-2 8 9Ｂ（８，－１），Ｃ（４，－３），Ｄ（－６，－１） 七、板書設計（略） 八、課后記：