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2019-2020 年高中數(shù)學(xué) 拋物線的幾何性質(zhì)知識(shí)精講 文 人教版第二冊(cè) 【本講教育信息】 一. 教學(xué)內(nèi)容： 拋物線的幾何性質(zhì) 二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)： 1. 重點(diǎn)： 拋物線的性質(zhì)，焦半徑，焦點(diǎn)弦的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合。 2. 難點(diǎn)： 注意拋物線與橢圓、雙曲線的聯(lián)系。 【典型例題】 [例 1] 給定拋物線，設(shè) A（） （） ，P 是拋物線上的一點(diǎn)，且，試求的最小值。 解：設(shè)（） （） 則 ∴ 1a2)]1(x[2)ax(000 ?????? ∵ ， ∴（1）當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)當(dāng)時(shí)， d?最 小 （2）當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)當(dāng)時(shí)， [例 2] 過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，設(shè)交拋物線于 A、B 兩點(diǎn)，求。 解：當(dāng)時(shí)，直線 AB 的方程為 由 ??? ??22pxy 得 A（） 、B（， ） ∴ 當(dāng)時(shí)，直線 AB 的方程為 由 ??? ???pxy2tan)(? 得 0tan4)tan2(t 222 ????? ??pxpx 設(shè) A（） 、B（） ，則 ∴ ?2221 sintap???? [例 3] 過(guò)拋物線的準(zhǔn)線與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)作直線，交拋物線于 M、N 兩點(diǎn)，問(wèn)直線的傾斜角 多大時(shí)，以線段 MN 為直徑的圓經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)？ 解：拋物線的準(zhǔn)線與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)為（） ，設(shè)直線 MN 的方程為 由 得 0)2(2???kxxk ∵ 直線與拋物線交于 M、N 兩點(diǎn) ∴ 即， ， 設(shè) M（， ） ，N（） ，拋物線焦點(diǎn)為 F（1，0） ∵ 以線段 MN 為直徑的圓經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn) ∴ MF⊥NF ∴ 即 01)(221 ????xxy 又 ， ，且、同號(hào) ∴ 解得 ∴ 即直線的傾斜角為或時(shí)，以線段 MN 為直徑的圓經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)。 [例 4] 過(guò)拋物線的焦點(diǎn) F 的直線與拋物線交于 A、B 兩點(diǎn)，求的值。 解：如圖所示，設(shè) A（） 、B（） ，AB 的方程為 由 ??? ???22pkyx 得 ∴ 又 ∵ ， ∴ ∴ ∴ 又 211pxBFA??4)(4)(2)(2 2122111 pxpxxp ?????)(21? [例 5] 如圖，已知直線：交拋物線于 A、B 兩點(diǎn)，試在拋物線 AOB 這段曲線上求一點(diǎn) P，使 的面積最大，并求這個(gè)最大面積。 解：由解得 A（4，4） 、B（1， ） ，知，所以直線 AB 的方程為 設(shè) P（）為拋物線 AOB 這條曲線上一點(diǎn)，為 P 點(diǎn)到直線 AB 的距離9)(522200????yyxd ∵ ∴ ∴ 從而當(dāng)時(shí)， 因此，當(dāng)點(diǎn) P 坐標(biāo)為時(shí)， 4275321)(max????APBS [例 6] 已知直線與曲線在第一象限有公共點(diǎn)，求的取值范圍。 解：如圖，易知拋物線與軸交于 A（0，1） 、B（0，3） 直線恒過(guò) C（） ，由圖象及拋物線的延伸趨勢(shì)可知 當(dāng)大于零且小于 BC 的斜率時(shí)滿(mǎn)足題意 而，故。 [例 7] 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為 F，經(jīng)過(guò)點(diǎn) F 的直徑交拋物線于 A、B 兩點(diǎn)，點(diǎn) C 在拋物線的準(zhǔn)線 上，且 BC//軸，證明：直線 AC 經(jīng)過(guò)原點(diǎn) O。 證法一：因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 F（） 所以經(jīng)過(guò)點(diǎn) F 的直線 AB 的方程為 代入拋物線方程得 0 設(shè) A（） 、B（） ，則 ∵ BC//軸，且點(diǎn) C 在準(zhǔn)線上 ∴ 點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 故直線 OC 的斜率為 112xypyk??? 即也是 OA 的斜率，所以直線 AC 經(jīng)過(guò)原點(diǎn) O 證法二：如圖所示，設(shè)軸與拋物線準(zhǔn)線的交點(diǎn)為 E，過(guò)點(diǎn) A 作 AD⊥，D 為垂足 則。連結(jié) AC，與 EF 相交于 N，則 ，根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，得， ∴ FABCFDEN???? ∴ 點(diǎn) N 是線段 EF 的中點(diǎn)，與拋物線的頂點(diǎn) O 重合 ∴ 直線 AC 經(jīng)過(guò)點(diǎn) O 證法三：設(shè) A（） 、B（） ，由已知 C 得 直線 AC 的方程為 )2(12pxyy???，把原點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得212pxy??? 利用得上面等式恒成立 ∴ 直線 AC 經(jīng)過(guò)點(diǎn) O 證法四：設(shè) A（） 、B（） ，由已知得 C（） ， ∴ 0)(2)(22)( 111121 ????????? pypypypyx 又 ∵ O 是公共點(diǎn) ∴ A、O、C 共線，即 AC 過(guò)點(diǎn) O [例 8] 如果拋物線上總有關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的相異兩點(diǎn)，試求的范圍。 方法一：設(shè)拋物線上關(guān)于對(duì)稱(chēng)的相異兩點(diǎn)坐標(biāo)為 A（） 、B（） ∵ 兩點(diǎn)都在拋物線上 ∴ （1）－（2） ，得 ∵ ∴ （3） （3）代入（2） ，得 ∵ ，且相異 ∴ ∴ ∴ 的取值范圍是（） 方法二：設(shè)拋物線上關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)所在直線方程為，代入，得 ∵ ，且兩點(diǎn)為相異兩點(diǎn) ∴ 即 （1） 設(shè)兩對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 A（） 、B（） 則， 又 ∵ ∴ ，即 （2） （2）代入（1） ，得 ∴ 的取值范圍是（） 【模擬試題】 （答題時(shí)間：60 分鐘） 一. 選擇題： 1. 等腰直角三角形 AOB 內(nèi)接于拋物線，O 為拋物線的頂點(diǎn)，OA⊥OB，則的面積是（ ） A. B. C. D. 2. 已知點(diǎn)（）在拋物線上，則的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 0 3. 已知 A、B 是拋物線上兩點(diǎn)，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若且的垂心恰是此拋物線的焦點(diǎn) F，則直 線 AB 的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知點(diǎn) A（） ，的焦點(diǎn)是 F，P 是上的點(diǎn)，為使取得最小值，P 點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ） A. B. C. D. 5. 拋物線與直線的一個(gè)交點(diǎn)是（1，2） ，則拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為（ ） A. B. C. D. 6. 拋物線的焦點(diǎn) F，點(diǎn) P 在拋物線上，若，則 P 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ） A. B. C. 或 D. 7. 過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于 A（） 、B（）兩點(diǎn)，如果，那么（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 8. 過(guò)拋物線（）的焦點(diǎn) F 作一直線交拋物線于 P、Q 兩點(diǎn)，若線段 PF 與 FQ 的長(zhǎng)分別是、 ，則的值為（ ） A. B. C. D. 二. 填空： 1. 過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，傾斜角為的直線被拋物線截得的弦長(zhǎng)為 。 2. 拋物線的焦點(diǎn)為 F，準(zhǔn)線交軸于點(diǎn) R，過(guò)拋物線上一點(diǎn) P（4，4）作 PQ⊥于點(diǎn) Q，則 梯形 PQRF 的面積是 。 3. 線段 AB 是拋物線的一條焦點(diǎn)弦，且，則線段 AB 的中點(diǎn) C 到直線的距離是 。 4. 拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，拋物線上點(diǎn) A（）到焦點(diǎn)的距離為 5，則拋物 線方程為 。 三. 解答題： 1. 已知拋物線上有三點(diǎn) A（） 、B（） 、C（）且，若線段 AB、BC 在軸上射影之長(zhǎng)相等， 求證：A、B、C 三點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離順次成等差數(shù)列。 2. 過(guò)拋物線的頂點(diǎn)作互相垂直的兩條直線，交拋物線于 A、B 兩點(diǎn)，求線段 AB 中點(diǎn)的軌 跡方程 3. 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為 F，經(jīng)過(guò)點(diǎn) F 的直線交拋物線于 A、B 兩點(diǎn)，點(diǎn) C 在拋物線的準(zhǔn)線 上，且 BC∥軸。證明：直線 AC 經(jīng)過(guò)原點(diǎn) O 【試題答案】 一. 1. B 2. B 3. D 4. A 5. B 6. C 7. B 8. C 二. 1. 16 2. 14 3. 4. 或或 三. 1. 證明：根據(jù)題意，得，即、 、成等差數(shù)列 又由拋物線的定義得， ， ∵ px2)p(x2BF????BFA31 ∴ 、 、成等差數(shù)列 2. 解：設(shè)線段 AB 的中點(diǎn)為 P（） ，OA 的斜率為，則直線的方程為 由得或 ??? ??k6yx2 依題意得 A 點(diǎn)的坐標(biāo)為 A（， ） ∵ OA⊥OB ∴ OB 的斜率為，直線 OB 的方程為 由 ??? ???x6y12 得或 ∴ B 點(diǎn)的坐標(biāo)為 線段 AB 的中點(diǎn) P（）滿(mǎn)足 ??? ????)k6(21yx2 即 ??? ????)2(k13yx2 （2）式平方后減去（1）3，得為所求。 3. 證明：∵ 拋物線的焦點(diǎn)為 F（） ∴ 經(jīng)過(guò)點(diǎn) F 的直線 AB 的方程可設(shè)為 代入拋物線方程，得 設(shè)，則是該方程的兩根 ∴ ∵ BC//軸，且點(diǎn) C 在準(zhǔn)線上 ∴ 點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（） ∴ 直線 OC 的斜率為 12xypk?? 即也是直線 OA 的斜率 ∴ 直線 AC 經(jīng)過(guò)原點(diǎn) O