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2019-2020年高二數(shù)學(xué) 邏輯用語(yǔ)知識(shí)精講 文 人教實(shí)驗(yàn)A版選修1-1 【本講教育信息】 一. 教學(xué)內(nèi)容： 邏輯用語(yǔ) 二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)： 1. 命題：真命題、假命題 2. 四種命題：逆命題與否命題 互為逆否命題 互為逆否命題的兩個(gè)命題 同真同假。 3. 充要條件：，則稱是的充分條件，是的必要條件。 4. 邏輯聯(lián)結(jié)詞：或、且、非 、中至少一個(gè)為真為真 、中至少一個(gè)為假為假 真（或假）為假（或真） 5. 全稱量詞：“任意”、“全部”、“所有” 6. 存在量詞：“存在一個(gè)”、“至少一個(gè)” 【典型例題】 [例1] 下列語(yǔ)句中是命題的有 ，其中真命題的有 。 ① 等邊三角形是等腰三角形”； ② ； ③ ； ④ 一個(gè)數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)； ⑤“大角所對(duì)的邊大于小角所對(duì)的邊”； ⑥“為有理數(shù)，則xy也都是有理數(shù)”。 解：命題①③④⑤⑥；真命題① [例2] 命題“若，則x與y成反比例關(guān)系”的否命題是（ ） A. 若，則x與y成正比例關(guān)系 B. 若，則x與y成反比例關(guān)系 C. 若x與y不成反比例關(guān)系，則 D. 若，則x與y不成反比例關(guān)系 解答：選D。條件及結(jié)論同時(shí)否定、位置不變 [例3] 寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷它們的真假。 （1）兩條平行線不相交 （2）兩條對(duì)角線不相等的平行四邊形不是矩形 （3）若，則 解：（1）逆命題：若兩條直線不相交，則它們平行，為真命題。 否命題：若兩條直線不平行，則它們相交，為真命題。 逆否命題：若兩條直線相交，則它們不平行，為真命題。 （2）逆命題：若平行四邊形不是矩形，則它的兩條對(duì)角線不相等，為真命題。 否命題：若平行四邊形兩條對(duì)角線相等，則它是矩形，為真命題。 逆否命題：若平行四邊形為矩形，則它的兩條對(duì)角線相等，為真命題。 （3）逆命題：若，則，為假命題。 否命題：若，則，為假命題。 逆否命題：若，則，為真命題。 [例4] 已知下列三個(gè)方程：，至少有一個(gè)方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍。 解：先求使三個(gè)方程都沒有實(shí)根的實(shí)數(shù)的取值范圍： 由 得 解得： ∴ 所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是：或 正確使用原命題與逆否命題等價(jià) [例5] 已知是方程的兩根，，則是的（ ） A. 充分但不必要條件 B. 必要但不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 分析：利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)換 解：∵ 是方程的兩根 ∴ 的值分別為 ∴ 說明：，但，事實(shí)上只要取，作為反例即可說明這一點(diǎn)，因此選A。 判斷命題為假命題可以通過舉反例。 [例6] 設(shè)命題甲為：，命題乙為，那么甲是乙的（ ） A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 分析：先解不等式再判定。 解：解不等式得 ∵ ，但 ∴ 甲是乙的充分不必要條件，選A。 一般情況下，如果條件甲為，條件乙為 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，甲為乙的充分條件，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，甲為乙的必要條件 當(dāng)且僅當(dāng)A=B時(shí)，甲為乙的充要條件 [例7] 若A是B成立的充分條件，D是C成立的必要條件，C是B成立的充要條件，則D是A成立的（ ） A. 充分條件 B. 必要條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 分析：通過B、C作為橋梁聯(lián)系A(chǔ)、D 解：∵ A是B的充分條件 ∴ ① ∵ D是C成立的必要條件 ∴ ② ∵ C是B成立的充要條件 ∴ ③ 由①③得 ④ 由②④得 ∴ D是A成立的必要條件，選B。 [例8] 是的必要條件還是充分條件？試說明理由。 解：（1）當(dāng)時(shí)，可得，即 則或，即或 故不能推得且（有可能得到），即且并非的必要條件。 （2）當(dāng)且則分成兩種情況討論：或，不論哪一種情況均可化為。 ∴ 且是的充分條件。 [例9] 設(shè)是方程的兩個(gè)實(shí)根，試分析且是兩根均大于1的什么條件？ 分析：把充要條件和方程中根與系數(shù)的關(guān)系問題相聯(lián)系：解題時(shí)需要搞清楚條件與分別指什么，然后再驗(yàn)證是還是還是。 解：根據(jù)韋達(dá)定理得： 判定條件是 結(jié)論是 （還要注意條件中，需滿足的大前提） （1）由，得 ∴ （2）為了證明 可以舉出反例：取 它滿足，但不成立 上述討論可知：是的必要但不充分條件 [例10] 分別寫出由下列各種命題構(gòu)成的“或”“且”“非”形式的復(fù)合命題： （1）：李明是高中一年級(jí)學(xué)生 ：李明是共青團(tuán)員 （2） ：是無(wú)理數(shù) 解：（1）或：李明是高中一年級(jí)學(xué)生或是共青團(tuán)員 且：李明是高中一年級(jí)學(xué)生且是共青團(tuán)員 非：李明不是高中一年級(jí)學(xué)生 （2）或：是大于2或是無(wú)理數(shù) 且：是大于2且是無(wú)理數(shù) 非：不大于2 [例11] 命題① 梯形不是平行四邊形；② 等腰三角形的底角相等；③ 有兩個(gè)內(nèi)角互補(bǔ)的四邊形是梯形或圓內(nèi)接四邊形或是平行四邊形；④ 60是5或2的公倍數(shù)。其中復(fù)合命題有（ ） A. ①③④ B. ③④ C. ③ D. ①③ 分析：②是簡(jiǎn)單命題，其余的均為復(fù)合命題。 解：選A。 [例12] 命題：的否定是 答案： 命題：的否定是 答案： [例13] 寫出下列命題的否定。 （1）所有自然數(shù)的平方是正數(shù)； （2）任何實(shí)數(shù)x都是的根； （3）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，存在實(shí)數(shù)y，使； （4）有些質(zhì)數(shù)是奇數(shù) 解：（1）存在自然數(shù)的平方是負(fù)數(shù)或0； （2）存在實(shí)數(shù)x，它不是的根； （3）存在實(shí)數(shù)x，同時(shí)存在實(shí)數(shù)y，使 （4）任何質(zhì)數(shù)都不是奇數(shù)。 [例14] 是的充要條件的是（ ） A. B. C. 四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直平分，四邊形是正方形 D. 關(guān)于x的方程有惟一解 分析：逐個(gè)驗(yàn)證命題是否等價(jià) 解：對(duì)A，，，所以是的既不充分也不必要條件；對(duì)B，但，是q的充分非必要條件；對(duì)C，pq且qp，p是q的必要非充分條件；對(duì)D，pq且，即，p是q的充要條件，選D。 說明：當(dāng)0時(shí)，有無(wú)數(shù)個(gè)解。 [例15]“”是“”的（ ） A. 充分條件 B. 必要條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 解：在這里“”是條件，而 所以 但 因此“”是“”故選B。 【模擬試題】（答題時(shí)間：30分鐘） 1. 命題“若，則”的否命題是（ ） A. 若，則 B. 若，則 C. 若，則 D. 若，則 2. 命題“若，則”（這里都是實(shí)數(shù)）與它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個(gè)數(shù)為（ ） A. 4個(gè) B. 3個(gè) C. 2個(gè) D. 0個(gè) 3. 下列說法 （1）四種命題中真命題的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù) （2）若一個(gè)命題的逆命題是真命題，則它的否命題一定是真命題 （3）逆命題與否命題之間是互為逆否的關(guān)系 （4）若一個(gè)命題的逆否命題是假命題，則它的逆命題與否命題都是假命題 其中正確的有（ ） A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè) 4. 是正數(shù)的充分必要條件是（ ） A. B. C. D. 且 5. 下列說法正確的是（ ） A. 是的充分而不必要條件 B. 是的充要條件 C. 若，則p是q的充分條件 D. 一個(gè)四邊形是矩形的充分條件是：它是平行四邊形 6. 的充要條件是（ ） A. B. C. 且 D. 或 7. 命題，命題，則p是q的（ ） A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 8. 設(shè)：“為偶數(shù)”，q：“為偶數(shù)”，下列四個(gè)命題：①若p則q，② 若則，③ 若則，④ 若則中真命題的個(gè)數(shù)為（ ） A. 0個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè) 9. ，求下列命題中① ，② ，③ ，④ 且，⑤ 或，⑥ 且，⑦ 或，⑧ 且互為充要條件的有（ ） A. 3對(duì) B. 4對(duì) C. 5對(duì) D. 6對(duì) 10. 設(shè)集合，那么“”是“”的（ ） A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件 11. 原命題：“若”，則“且”，試寫出原命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷真假。 【試題答案】 1. A 2. C 3. C 4. D 5. B 6. C 7. D 8. B 9. B 10. B 11. 答：逆命題：若“且”，則“” 否命題：若“”，則“或” 逆否命題：若：“且”，則“” 原命題，逆否命題為假命題；逆命題，否命題為真命題。