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線性代數(shù),昆明理工大學(xué) 2011.1,2/11,2,第三章 n 維向量空間,向量組的線性相關(guān)性,向量組的秩,向量空間的基本概念,主要內(nèi)容：,向量的定義和運(yùn)算,3/11,3,第一節(jié) n維向量及其運(yùn)算,向量的定義,向量的運(yùn)算,4/11,一. 向量的定義,定義3.1.1.,記作,稱為n維向量，,其中每一個數(shù)稱為分量，,復(fù)向量。本書主要討論實(shí)向量。,分量為實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量，分量為復(fù)數(shù)的向量稱為,全體n維實(shí)向量記作,其分量就是向量在坐標(biāo)軸上的投影。,二維、三維向量就是平面上及空間中的幾何向量，,三維幾何向量在許多性質(zhì)上有相似之處。,向量就,沒有直觀的幾何意義了。稱其為向量，是因?yàn)樗c二、,5/11,以下是一些向量的例子：,（三維向量）,（二維向量）,（六維向量）,6/11,二. 向量的運(yùn)算,定義3.1.2.,設(shè)有兩個向量,記做,即,例如，,，則,,7/11,定義3.1.3.,設(shè)有兩個向量,k為數(shù)，定義加法及數(shù)乘運(yùn)算如下：,加法：,數(shù)乘：,向量的加法及數(shù)乘運(yùn)算稱為向量的線性運(yùn)算。,記,而,8/11,各分量都等于0的向量稱為零向量，記作0，即,文不難分辨清楚。）,（等式左邊的0是零向量，右邊分量中的0是數(shù)零，我們,已經(jīng)用“0”代表數(shù)零、零矩陣、零向量，以后從上、下,向量的加法及數(shù)乘運(yùn)算，有以下性質(zhì)（設(shè),（1）,（2）,（3）,（4）,9/11,（5）,（6）,（7）,（8）,此外，還有數(shù)乘的以下性質(zhì)：,最后這個性質(zhì)證明如下：,若,則有某個分量,，于是,從而,（9）,10/11,也可以記成一列,以上我們將向量記成一行，稱為行向量，n維向量,稱為列向量。,為節(jié)省篇幅，列向量常記作行向量的轉(zhuǎn)置：,11/11,乘運(yùn)算與矩陣的相等及加法、數(shù)乘運(yùn)算的定義相同。,從上面的定義可以看出，維向量的相等及加法、數(shù),今,而把n維列,以寫成列向量形式。但若看作行矩陣和列矩陣，并參與,但應(yīng)注意，一個向量既可以寫成行向量形式，也可,矩陣運(yùn)算，則應(yīng)當(dāng)看作不同的矩陣。,本 節(jié) 完,