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2019年高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2.2 雙曲線 課時作業(yè)9 雙曲線及其標準方程 新人教A版選修1-1 1．平面內(nèi)有兩個定點F1(－5,0)和F2(5,0)，動點P滿足|PF1|－|PF2|＝6，則動點P的軌跡方程是(　　) A.－＝1(x≤－4)　B.－＝1(x≤－3) C.－＝1(x≥4) D.－＝1(x≥3) 解析：由已知動點P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的雙曲線的右支，且a＝3，c＝5，b2＝c2－a2＝16， ∴所求軌跡方程為－＝1(x≥3)． 答案：D 2．已知雙曲線為＋＝1，則此雙曲線的焦距為(　　) A.　　　　B．2 C. D．2 解析：由已知λ＜0，a2＝2，b2＝－λ，c2＝2－λ，∴焦距2c＝2. 答案：D 3．已知雙曲線－＝1上的點P到(5,0)的距離為15，則點P到點(－5,0)的距離為(　　) A．7 B．23 C．5或25 D．7或23 解析：設(shè)F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)， 則由雙曲線的定義知：||PF1|－|PF2||＝2a＝8， 而|PF2|＝15，解得|PF1|＝7或23. 答案：D 4．在平面直角坐標系xOy中，已知△ABC的頂點A(－6,0)和C(6,0)，頂點B在雙曲線－＝1的左支上，則＝__________. 解析：如圖，＝＝＝＝＝. 答案： 5．如圖，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三內(nèi)角A，B，C滿足2sinA＋sinC＝2sinB，建立適當?shù)淖鴺讼担箜旤cC的軌跡方程． 解析：如圖所示，以AB邊所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系， 則A(－2，0)，B(2，0)． ∵2sinA＋sinC＝2sinB， 由正弦定理得，2|CB|＋|AB|＝2|AC|， 從而有|CA|－|CB|＝|AB|＝2＜|AB|. 由雙曲線的定義知，點C的軌跡為雙曲線的右支(除去雙曲線的右支與x軸的交點)． ∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6. 又A，B，C三點不共線， ∴頂點C的軌跡方程為－＝1(x＞)． (限時：30分鐘) 1．已知F1(－8,3)，F(xiàn)2(2,3)為定點，動點P滿足|PF1|－|PF2|＝2a，當a＝3和a＝5時，P點的軌跡分別為(　　) A．雙曲線和一條直線 B．雙曲線的一支和一條直線 C．雙曲線和一條射線 D．雙曲線的一支和一條射線 解析：易得|F1F2|＝10. 當a＝3時，2a＝6，即2a＜|F1F2|， ∴P點的軌跡為雙曲線的一支(靠近點F2)． 當a＝5時，2a＝10，即2a＝|F1F2|，此時P，F(xiàn)1，F(xiàn)2共線． ∴P點的軌跡是以F2為起點的一條射線． 答案：D 2．雙曲線－＝1的焦距為10，則實數(shù)m的值為(　　) A．－16　　　B．4　　　C．16　　　D．81 解析：∵2c＝10，∴c2＝25.∴9＋m＝25，∴m＝16. 答案：C 3．在方程mx2－my2＝n中，若mn＜0，則方程表示的曲線是(　　) A．焦點在x軸上的橢圓 B．焦點在x軸上的雙曲線 C．焦點在y軸上的橢圓 D．焦點在y軸上的雙曲線 解析：方程mx2－my2＝n可化為－＝1. ∵mn＜0，∴＜0，－＞0. 方程又可化為－＝1， ∴方程表示焦點在y軸上的雙曲線． 答案：D 4．已知雙曲線的方程為－＝1(a＞0，b＞0)，A，B在雙曲線的右支上，線段AB經(jīng)過雙曲線的右焦點F2，|AB|＝m，F(xiàn)1為另一焦點，則△ABF1的周長為(　　) A．2a＋2m B．4a＋2m C．a(chǎn)＋m D．2a＋4m 解析：由雙曲線定義得|AF1|－|AF2|＝2a， |BF1|－|BF2|＝2a， ∴|AF1|＋|BF1|－(|AF2|＋|BF2|)＝4a. ∴|AF1|＋|BF1|＝4a＋m. ∴△ABF1的周長是4a＋2m. 答案：B 5．已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝1的左、右焦點，點P在C上，∠F1PF2＝60，則|PF1||PF2|等于(　　) A．2　　　　B．4　　　　C．6　　　　D．8 解析：在△PF1F2中， |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60 ＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1||PF2|， 即(2)2＝22＋|PF1||PF2|， 解得|PF1||PF2|＝4. 答案：B 6．若雙曲線－＝1的右焦點坐標為(3,0)，則m＝__________. 解析：由已知a2＝m，b2＝3，∴m＋3＝9.∴m＝6. 答案：6 7．一動圓過定點A(－4,0)，且與定圓B：(x－4)2＋y2＝16相外切，則動圓圓心的軌跡方程為__________． 解析：設(shè)動圓圓心為點P，則|PB|＝|PA|＋4，即|PB|－|PA|＝4＜|AB|＝8. ∴點P的軌跡是以A，B為焦點，且2a＝4，a＝2的雙曲線的左支． 又∵2c＝8，∴c＝4.∴b2＝c2－a2＝12. ∴動圓圓心的軌跡方程為－＝1(x≤－2)． 答案：－＝1(x≤－2) 8．雙曲線－＝1上有一點P，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的焦點，且∠F1PF2＝，則△PF1F2的面積為__________． 解析： ∵ ∴|PF1||PF2|＝12， ∴S＝|PF1||PF2|sin＝3. 答案：3 9．已知雙曲線的一個焦點為F1(－，0)，點P位于雙曲線上，線段PF1的中點坐標為(0,2)，求雙曲線的標準方程． 解析：設(shè)雙曲線方程為－＝1(a＞0，b＞0)． 因為c＝，c2＝a2＋b2，所以b2＝5－a2，a2＜5. 所以－＝1. 由于線段PF1的中點坐標為(0,2)， 則P點坐標為(，4)， 代入雙曲線方程得－＝1， 解得a2＝1(a2＝25舍去)． 故雙曲線的標準方程為x2－＝1. 10．動圓C與定圓C1：(x＋3)2＋y2＝9，C2：(x－3)2＋y2＝1都外切，求動圓圓心C的軌跡方程． 解析： 如圖所示，由題意，得定圓圓心C1(－3,0)，C2(3,0)，半徑r1＝3，r2＝1，設(shè)動圓圓心為C(x，y)，半徑為r，則|CC1|＝r＋3，|CC2|＝r＋1. 兩式相減，得|CC1|－|CC2|＝2， ∴C點的軌跡為以C1，C2為焦點，實軸長為2的雙曲線的右支． ∵a＝1，c＝3，∴b2＝c2－a2＝8. ∴方程為x2－＝1(x≥1)． 11．如圖，已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)中，半焦距c＝2a，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點，P為雙曲線上的點，∠F1PF2＝60，S△F1PF2＝12，求雙曲線的標準方程． 解析：由題意，由于||PF1|－|PF2||＝2a，在△F1PF2中， 由余弦定理，得 cos60＝ ＝ ∴|PF1||PF2|＝4(c2－a2)＝4b2. ∴S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin60＝2b2＝b2. ∴b2＝12，b2＝12. 由c＝2a，c2＝a2＋b2，得a2＝4. ∴雙曲線的標準方程為－＝1.