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2019-2020年（新課程）高中數(shù)學 《2.2.3 待定系數(shù)法》評估訓練 新人教B版必修1 1．已知二次函數(shù)經(jīng)過(－1,0)，(1,0)，(2,3)點，則這個函數(shù)的解析式為(　　)． A．y＝x2－1 B．y＝1－x2 C．y＝x2＋1 D．y＝x2－1 解析　設(shè)y＝a(x－1)(x＋1)，把(2,3)代入得a＝1，∴y＝x2－1. 答案　A 2．已知f(x)＝x2＋1，g(x)是一次函數(shù)且是增函數(shù)，若f(g(x))＝9x2＋6x＋2，則g(x)為 (　　)． A．g(x)＝3x＋2 B．g(x)＝3x＋1 C．g(x)＝－3x＋2 D．g(x)＝3x－1 解析　設(shè)g(x)＝ax＋b(a≠0)，則a＞0，∴f(g(x))＝f(ax＋b)＝(ax＋b)2＋1＝9x2＋6x＋2，∴a＝3，b＝1. 答案　B 3．已知2x2＋x－3＝(x－1)(ax＋b)，則a，b的值分別為 (　　)． A．2,3 B．3,2 C．－2,3 D．－3,2 解析　(x－1)(ax＋b)＝ax2＋(b－a)x－b， 因為(x－1)(ax＋b)＝2x2＋x－3，所以解得 答案　A 4．如圖所示，拋物線y＝－x2＋2(m＋1)x＋m＋3與x軸交于A、B兩點，且OA＝3OB，則m＝________. 解析　設(shè)B(x0,0)(x0＜0)則A(－3x0,0)，則y＝－(x－x0)(x＋3x0)展開得解得m＝0或m＝－，由x0＜0得m＋1＞0，∴m＞－1，∴m＝0. 答案　0 5．已知a，b為常數(shù)，若f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，則5a－b＝________. 解析　f(ax＋b)＝(ax＋b)2＋4(ax＋b)＋3 ＝a2x2＋(2ab＋4a)x＋b2＋4b＋3， 又f(ax＋b)＝x2＋10x＋24， ∴，∴，或.∴5a－b＝2. 答案　2 6．某一次函數(shù)圖象經(jīng)過(8，－6)和(6,18)，且(6，－5)在某個正比例函數(shù)圖象上，求這兩個函數(shù)的解析式． 解　設(shè)一次函數(shù)解析式為y＝kx＋b(k≠0)，正比例函數(shù)解析式為y＝k′x(k′≠0)． 把(8，－6)，(6,18)分別代入y＝kx＋b得 解得 ∴一次函數(shù)的解析式為y＝－12x＋90. 把(6，－5)代入y＝k′x，得－5＝6k′，解得k′＝－. ∴正比例函數(shù)的解析式為y＝－x. 7．已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求此二次函數(shù)的解析式為 (　　)． A．f(x)＝4x2＋4x＋7 B．f(x)＝4x2－4x－7 C．f(x)＝－4x2－4x＋7 D．f(x)＝－4x2＋4x＋7 解析　設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則， ∴a＝－4，b＝4，c＝7. 答案　D 8．拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸的交點為(－1,0)、(3,0)，其形狀與拋物線y＝－2x2相同，則y＝ax2＋bx＋c的解析式為 (　　)． A．y＝－2x2－x＋3 B．y＝－2x2＋4x＋5 C．y＝－2x2＋4x＋8 D．y＝－2x2＋4x＋6 解析　拋物線與x軸交點為(－1,0)，(3,0)，則可設(shè)為y＝a(x＋1)(x－3)，又a＝－2，∴y＝－2(x＋1)(x－3)． 答案　D 9．若一次函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[－1,3]上的最小值為1，最大值為3，則f(x)的解析式為________． 解析　設(shè)f(x)＝kx＋b(k≠0)， 當k＞0時，，得. 當k＜0時，，解得. 答案　f(x)＝x＋或f(x)＝－x＋ 10．若二次函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1，則f(x)的表達式為________． 解析　由f(0)＝1可設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋1 (a≠0)， 故f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1，可得f(x＋1)－f(x)＝2ax＋a＋b＝2x，所以2a＝2，a＋b＝0，故a＝1，b＝－1，所以f(x)＝x2－x＋1. 答案　f(x)＝x2－x＋1 11．已知二次函數(shù)f(x)同時滿足下列條件： (1)f(1＋x)＝f(1－x)；(2)f(x)的最大值為15；(3)f(x)＝0的兩根的立方和等于17.求f(x)的解析式． 解　由條件f(1＋x)＝f(1－x)知f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，又f(x)的最大值為15，可設(shè)f(x)＝a(x－1)2＋15，其中a<0，由條件(3)可設(shè)f(x)＝0的兩根為x1，x2，則有x＋x＝17， 又f(x)＝ax2－2ax＋a＋15， 所以x1＋x2＝2，x1x2＝1＋， 所以x＋x＝(x1＋x2)3－3x1x2(x1＋x2) ＝23－32＝2－， 所以2－＝17，則a＝－6， 所以f(x)＝－6x2＋12x＋9. 12．(創(chuàng)新拓展)設(shè)x＝p(p＞0)時，二次函數(shù)f(x)有最大值5.二次函數(shù)g(x)的最小值為－2，且f(x)＋g(x)＝x2＋16x＋13，g(p)＝25.求g(x)的解析式和p的值． 解　由題設(shè)f(p)＝5，g(p)＝25，f(p)＋g(p)＝p2＋16p＋13，所以p2＋16p＋13＝30，解得p＝1或p＝－17(舍去)．由于f(x)在x＝1時有最大值5，故設(shè)f(x)＝a(x－1)2＋5，a＜0. 所以g(x)＝x2＋16x＋13－f(x)＝(1－a)x2＋2(a＋8)x＋8－a， 因為二次函數(shù)g(x)的最小值為－2，故＝－2， 所以a＝－2.從而g(x)＝3x2＋12x＋10.