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2019-2020年高二上學(xué)期期末試題 數(shù)學(xué)理 含答案 一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分） 1．已知復(fù)數(shù)滿足方程（為虛數(shù)單位），則 A． B． C． D． 2．已知函數(shù)，若，則的值等于 A． B． C． D． 3．如圖，函數(shù)y＝f(x)的圖象，則該函數(shù)在的瞬時(shí)變化率大約是 A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 x y O y=(x) 第5題圖 4．過曲線圖象上一點(diǎn)(2,2)及鄰近一點(diǎn)(2,2) 作割線，則當(dāng)時(shí)割線的斜率為 A． B． C．1 D． 5．若二次函數(shù)f(x)的圖象與x軸有兩個(gè)異號交點(diǎn)，它的導(dǎo)函數(shù)(x)的 圖象如右圖所示，則函數(shù)f(x)圖象的頂點(diǎn)在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．已知向量=(2,4,5)，=(3,x,y) 分別是直線l1、l2的方向向量，若l1∥l2，則 A．x=6、y=15 B．x=3、y= C．x=3、y=15 D．x=6、y= 7．對于兩個(gè)復(fù)數(shù)，，有下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為 第8題圖 A．1 B．2 C．3 D．4 8．如圖，在棱長為2的正方體中，O是底面ABCD 的中心，E、F分別是、AD的中點(diǎn)，那么異面直線OE和 所成的角的余弦值等于 A． B． C． D． 9．已知函數(shù)，則 A． B． C． D． 10．已知雙曲線(a>0，b>0)的一條漸近線方程是y=x，它的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y2=24x的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為 A． B． C． D． 11．已知不等式恒成立，則k的最大值為 A．e B． C． D． 12．對于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)y=f(x)的“拐點(diǎn)”．某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對稱中心． 設(shè)函數(shù)，則= A．xx B．2013 C． D．1007 第二卷（非選擇題，共90分） 二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分） 13．已知復(fù)平面上的正方形的三個(gè)頂點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，那么第四個(gè)頂點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)是 ▲ ． 14．若直線的方向向量，平面的一個(gè)法向量，則直線與平面所成角的正弦值等于 ▲ ． 15．橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別是，過作傾斜角為的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為，若垂直于，則橢圓的離心率為 ▲ ． 第16題圖 16．如圖，直線將拋物線與軸所圍圖形 分成面積相等的兩部分，則= ▲ ． 三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 17．（本題滿分12分）已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸重合，且兩個(gè)坐標(biāo)系的單位長度相同．已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的極坐標(biāo)方程為． (Ⅰ)若直線l的斜率為-1，求直線l與曲線C交點(diǎn)的極坐標(biāo)； (Ⅱ)若直線l與曲線C相交弦長為，求直線l的參數(shù)方程（標(biāo)準(zhǔn)形式）． 18．（本題滿分12分）已知函數(shù)f(x)= ex－ax－1． (Ⅰ)若a=1，求證：； (Ⅱ)求函數(shù)y=f(x)的值域． 第19題圖 19．（本題滿分12分）如圖，直三棱柱中，，，D是棱上的動(dòng)點(diǎn)． (Ⅰ)證明：； (Ⅱ)若平面BDC1分該棱柱為體積相等的兩個(gè)部分， 試確定點(diǎn)D的位置，并求二面角的大?。? 20．（本題滿分12分）一塊長為、寬為的長方形鐵片，鐵片的四角截去四個(gè)邊長均為的小正方形，然后做成一個(gè)無蓋方盒． (Ⅰ)試把方盒的容積V表示為的函數(shù)； (Ⅱ)試求方盒容積V的最大值． 21．（本題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知兩點(diǎn)和，動(dòng)點(diǎn)M滿足，設(shè)點(diǎn)M的軌跡為C，半拋物線：（），設(shè)點(diǎn)． (Ⅰ)求C的軌跡方程； (Ⅱ)設(shè)點(diǎn)T是曲線上一點(diǎn)，曲線在點(diǎn)T處的切線與曲線C相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，求△ABD的面積的最大值及點(diǎn)T的坐標(biāo)． 22．（本小題滿分12分）已知函數(shù)，． (Ⅰ)若，求函數(shù)的極值； (Ⅱ)設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； (Ⅲ)若在區(qū)間上不存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 海南中學(xué)xx第一學(xué)期期末考試高二數(shù)學(xué)（理科） 參考解答與評分標(biāo)準(zhǔn) 一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分） 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C D B D D C B B C A A 二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分） 13．； 14．； 15．； 16．． 三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 17．（本題滿分12分）已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸重合，且兩個(gè)坐標(biāo)系的單位長度相同，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的極坐標(biāo)方程為． (Ⅰ)若直線l的斜率為-1，求直線l與曲線C交點(diǎn)的極坐標(biāo)； (Ⅱ)若直線l與曲線C相交弦長為，求直線l的參數(shù)方程（標(biāo)準(zhǔn)形式）． 17．解：(Ⅰ)直線l的方程：y1=1(x+1)，即y=x；（1分） C：ρ=4cos θ，即x2+y24x=0，（2分） 聯(lián)立方程得2x24x=0，∴A(0,0)，B(2,2)；（4分） 極坐標(biāo)為A(0,0)，B；（5分） (Ⅱ) C：(x2)2+y2=4，弦心距，（6分） 設(shè)直線l的方程為kxy+k+1=0，∴ ，∴k=0或k=．（8分） ∴直線l： (t為參數(shù))或 (t為參數(shù))（10分） 18．（本題滿分12分）已知函數(shù)f(x)= ex－ax－1． (Ⅰ)若a=1，求證：； (Ⅱ)求函數(shù)y=f(x)的值域． 18．解：(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)= ex－x－1，由得 x () 0 f’(x) 0 + f(x) 單調(diào)減 極小值 單調(diào)增 ∴，從而，即證恒成立；（6分） (Ⅱ)f(x)的定義域?yàn)镽，. 若，則，所以f(x)在R上單調(diào)遞增，值域?yàn)镽；（8分） 若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，； 所以，f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， ，值域?yàn)椋?2分） 第19題圖 19．（本題滿分12分）如圖，直三棱柱中，，，D是棱上的動(dòng)點(diǎn)． (Ⅰ)證明：； (Ⅱ)若平面BDC1分該棱柱為體積相等的兩個(gè)部分， 試確定點(diǎn)D的位置，并求二面角的大?。? 19．解：(Ⅰ)∵C1C⊥平面ABC，∴C1C⊥BC（1分） 又，即BC⊥AC，AC∩C1C = C ∴BC⊥平面ACC1A1， 又DC1平面ACC1A1，∴BC⊥DC1；（4分） (Ⅱ)∵， 依題意， ∴，D為AA1中點(diǎn)； （7分） （法1）取的中點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接 ，面面面 ，得點(diǎn)與點(diǎn)重合，且是二面角的平面角． （10分） 設(shè)，則，，得二面角的大小為． （12分） （法2）以C為空間坐標(biāo)原點(diǎn)，CA為x軸正向、CB為y軸正向、CC1為z軸正向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AC的長為1，則A(1,0,0)、B(0,1,0)、D(1,0,1)、A1(1,0,2)、B1(0,1,2)、C1(0,0,2)． （8分） 作AB中點(diǎn)E，連結(jié)CE，則CE⊥AB，從而CE⊥平面A1BD，平面A1BD的一個(gè)法向量 （9分） 設(shè)平面BC1D的一個(gè)法向量為，則 ∴，令，得，∴ ∴ 故二面角為． （12分） 20．（本題滿分12分）一塊長為、寬為的長方形鐵片，鐵片的四角截去四個(gè)邊長均為的小正方形，然后做成一個(gè)無蓋方盒． (Ⅰ)試把方盒的容積V表示為的函數(shù)； (Ⅱ)試求方盒容積V的最大值． 20．解：(Ⅰ)依題意，折成無蓋方盒的長為、寬為、高為，故體積 ，其中常數(shù)；（5分） (Ⅱ)由（6分）得，（7分） 在定義域內(nèi)列極值分布表（10分） x (0, ) f’(x) + 0 f(x) 單調(diào)增 極大值 單調(diào)減 ∴．（12分） 21．（本題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知兩點(diǎn)和，動(dòng)點(diǎn)M滿足，設(shè)點(diǎn)M的軌跡為C，半拋物線：（），設(shè)點(diǎn)． (Ⅰ)求C的軌跡方程； (Ⅱ)設(shè)點(diǎn)T是曲線上一點(diǎn)，曲線在點(diǎn)T處的切線與曲線C相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，求△ABD的面積的最大值及點(diǎn)T的坐標(biāo)． 21．解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，由，得， 所以的軌跡方程是；（4分） （Ⅱ）拋物線為，設(shè)（），則，所以切線為： ，即，聯(lián)立，, 判別式△，設(shè)，，則，過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，于是，得，則， 故△ABD的面積，此時(shí)．（12分） 22．（本小題滿分12分）已知函數(shù)，． (Ⅰ)若，求函數(shù)的極值； (Ⅱ)設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； (Ⅲ)若在區(qū)間上不存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 22．解：(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，，列極值分布表 ∴在上遞減，在上遞增，∴的極小值為； …… 3分 (Ⅱ) ∴ …… 4分 ①當(dāng)時(shí)，，∴在上遞增； ②當(dāng)時(shí)，， ∴在上遞減，在上遞增； ……… 7分 (Ⅲ)先解區(qū)間上存在一點(diǎn)，使得成立 在上有解當(dāng)時(shí)， ……… 8分 由(Ⅱ)知 ①當(dāng)時(shí)，在上遞增，∴ ∴ ②當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增 (ⅰ)當(dāng)時(shí)，在上遞增，∴，∴無解 (ⅱ)當(dāng)時(shí)， 在上遞減 ∴，∴； (ⅲ)當(dāng)時(shí)， 在上遞減，在上遞增 ∴ 令，則 ∴在遞減，∴，∴無解， 即無解； 綜上：存在一點(diǎn)，使得成立，實(shí)數(shù)的取值范圍為：或． 所以不存在一點(diǎn)，使得成立，實(shí)數(shù)的取值范圍為． ………… 12分