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2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 專題3.2 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用試題（含解析） 【三年高考】 1．【xx江蘇，20】 已知函數(shù)有極值,且導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)是的零點(diǎn).（極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值） （1）求關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域； （2）證明：; （3）若,這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和不小于，求的取值范圍. 【答案】（1）（2）見解析（3） 列表如下 x + 0 – 0 + 極大值 極小值 故的極值點(diǎn)是. 從而， 因此，定義域?yàn)? （2）由（1）知，. 設(shè)，則. 當(dāng)時(shí)，，從而在上單調(diào)遞增. 因?yàn)?，所以，故，? 因此. 因此a的取值范圍為. 【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、極值及零點(diǎn) 【名師點(diǎn)睛】涉及函數(shù)的零點(diǎn)問題、方程解的個(gè)數(shù)問題、函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，一般先通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢(shì)等，再借助函數(shù)的大致圖象判斷零點(diǎn)、方程根、交點(diǎn)的情況，歸根到底還是研究函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、極值，然后通過數(shù)形結(jié)合的思想找到解題的思路. 2．【xx高考江蘇，19】已知函數(shù) （1）設(shè). ①求方程=2的根； ②若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值； （2）若，函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，求ab的值. 【答案】（1）①0 ②4 （2）1 【解析】 試題分析：（1）①根據(jù)指數(shù)間倒數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為一元二次方程，求方程根；②根據(jù)指數(shù)間平方關(guān)系，將不等式轉(zhuǎn)化為一元不等式，再利用變量分離轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值，最后根據(jù)基本不等式求最值；（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)情況，確定函數(shù)單調(diào)變化趨勢(shì)，結(jié)合圖象確定唯一零點(diǎn)必在極值點(diǎn)取得，從而建立等量關(guān)系，求出ab的值. 試題解析：（1）因?yàn)椋? ①方程，即，亦即， 所以，于是，解得. ②由條件知. 因?yàn)閷?duì)于恒成立，且， 所以對(duì)于恒成立. 而，且， 所以，故實(shí)數(shù)的最大值為4. （2）因?yàn)楹瘮?shù)只有1個(gè)零點(diǎn)，而， 所以0是函數(shù)的唯一零點(diǎn). 因?yàn)?，又由知? 所以有唯一解. 令，則， 從而對(duì)任意，，所以是上的單調(diào)增函數(shù)， 于是當(dāng)，；當(dāng)時(shí)，. 因而函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)，在上是單調(diào)增函數(shù). 下證. 若，則，于是， 又，且函數(shù)在以和為端點(diǎn)的閉區(qū)間上的圖象不間斷，所以在和之間存在的零點(diǎn)，記為. 因?yàn)?，所以，又，所以與“0是函數(shù)的唯一零點(diǎn)”矛盾. 若，同理可得，在和之間存在的非0的零點(diǎn)，矛盾. 因此，. 于是，故，所以. 【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)、基本不等式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性及零點(diǎn) 【名師點(diǎn)睛】對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖等確定其中參數(shù)的范圍．從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對(duì)稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢(shì)，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等．但需注意探求與論證之間區(qū)別，論證是充要關(guān)系，要充分利用零點(diǎn)存在定理及函數(shù)單調(diào)性嚴(yán)格說明函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù). 3.【xx高考江蘇，19】已知函數(shù). （1）試討論的單調(diào)性； （2）若（實(shí)數(shù)c是a與無關(guān)的常數(shù)），當(dāng)函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，a 的取值范圍恰好是，求c的值. 【答案】（1）當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)， 在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)， 在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． （2） 【解析】（1），令，解得，． 當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋ǎ?，所以函?shù)在上單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，， 所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，， 所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． （2）由（1）知，函數(shù)的兩個(gè)極值為，，則函數(shù)有三個(gè) 零點(diǎn)等價(jià)于，從而或． 又，所以當(dāng)時(shí)，或當(dāng)時(shí)，． 設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)，的取值范圍恰好是 ，則在上，且在上均恒成立， 從而，且，因此． 此時(shí)，， 因函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則有兩個(gè)異于的不等實(shí)根， 所以，且， 解得． 綜上． 【考點(diǎn)定位】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性、極值、函數(shù)零點(diǎn) 4.【xx課標(biāo)1，理21】已知函數(shù). （1）討論的單調(diào)性； （2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍. 【解析】 試題分析：（1）討論單調(diào)性，首先進(jìn)行求導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)式子特點(diǎn)后要及時(shí)進(jìn)行因式分解，在對(duì)按，進(jìn)行討論，寫出單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)第（1）題，若，至多有一個(gè)零點(diǎn).若，當(dāng)時(shí)，取得最小值，求出最小值，根據(jù)，，進(jìn)行討論，可知當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)，設(shè)正整數(shù)滿足，則 .由于，因此在有一個(gè)零點(diǎn).所以的取值范圍為. 【考點(diǎn)】含參函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍. 【名師點(diǎn)睛】研究函數(shù)零點(diǎn)問題常常與研究對(duì)應(yīng)方程的實(shí)根問題相互轉(zhuǎn)化.已知函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍，第一種方法是分離參數(shù)，構(gòu)造不含參數(shù)的函數(shù)，研究其單調(diào)性、極值、最值，判斷與其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而求出a的范圍；第二種方法是直接對(duì)含參函數(shù)進(jìn)行研究，研究其單調(diào)性、極值、最值，注意點(diǎn)是若有2個(gè)零點(diǎn)，且函數(shù)先減后增，則只需其最小值小于0，且后面還需驗(yàn)證有最小值兩邊存在大于0的點(diǎn). 5.【xx課標(biāo)II，理】已知函數(shù)，且。 (1)求； (2)證明：存在唯一的極大值點(diǎn)，且。 【答案】(1)； (2)證明略。 【解析】 （2）由（1）知 ，。 設(shè)，則。 當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ， 所以 在單調(diào)遞減，在 單調(diào)遞增。 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 【名師點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出 ，本專題在高考中的命題方向及命題角度 從高考來看，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行： (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系。 (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)。 (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題。 (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。 6.【xx課標(biāo)3，理21】已知函數(shù) . （1）若 ，求a的值； （2）設(shè)m為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)n ，求m的最小值. 【答案】(1) ； (2) 【解析】 試題分析：(1)由原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系可得x=a是在的唯一最小值點(diǎn)，列方程解得 ； (2)利用題意結(jié)合(1)的結(jié)論對(duì)不等式進(jìn)行放縮，求得，結(jié)合可知實(shí)數(shù) 的最小值為 【考點(diǎn)】 導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)證明不等式 【名師點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出 ，本專題在高考中的命題方向及命題角度 從高考來看，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行： (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系． (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)． (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題． (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 7.【xx山東，理20】已知函數(shù)，，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù). （Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程； （Ⅱ）令，討論的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時(shí)求出極值. 【答案】（Ⅰ）. （Ⅱ）綜上所述： 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 函數(shù)有極小值，極小值是； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)有極大值，也有極小值， 極大值是 極小值是； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增， 在上單調(diào)遞減，函數(shù)有極大值，也有極小值， 極大值是； 極小值是. （Ⅱ）由題意得 ， 因?yàn)? ， 令 則 所以在上單調(diào)遞增. 因?yàn)? 所以 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 極大值為， 當(dāng)時(shí)取到極小值，極小值是 ； ②當(dāng)時(shí)，， 所以 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增， 在上單調(diào)遞減，函數(shù)有極大值，也有極小值， 極大值是； 極小值是. 【考點(diǎn)】1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義.2.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值.3.分類討論思想. 【名師點(diǎn)睛】1.函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f ′(x0)的幾何意義是曲線y＝f (x)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線的斜率．相應(yīng)地，切線方程為y?y0＝f ′(x0)(x?x0)．注意：求曲線切線時(shí)，要分清在點(diǎn)P處的切線與過點(diǎn)P的切線的不同． 2. 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、分類討論思想.本題覆蓋面廣，對(duì)考生計(jì)算能力要求較高，是一道難題.解答本題，準(zhǔn)確求導(dǎo)數(shù)是基礎(chǔ)，恰當(dāng)分類討論是關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)是分類討論不全面、不徹底、不恰當(dāng)，或因復(fù)雜式子變形能力差，而錯(cuò)漏百出.本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、基本計(jì)算能力、分類討論思想等. 8.【xx北京，理19】已知函數(shù)． （Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程； （Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值． 【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值. 【解析】 所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減. 因此在區(qū)間上的最大值為，最小值為. 【考點(diǎn)】1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值. 【名師點(diǎn)睛】這道導(dǎo)數(shù)題并不難，比一般意義上的壓軸題要簡單很多，第二問比較有特點(diǎn)是需要求二階導(dǎo)數(shù)，因?yàn)椴荒芘袛嗪瘮?shù)的單調(diào)性，所以需要再求一次導(dǎo)數(shù)，設(shè) ，再求，一般這時(shí)就可求得函數(shù)的零點(diǎn)，或是恒成立，這樣就能知道函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求最值，從而判斷的單調(diào)性，求得最值. 9.【xx天津，理20】設(shè)，已知定義在R上的函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，為的導(dǎo)函數(shù). （Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）設(shè)，函數(shù)，求證：； （Ⅲ）求證：存在大于0的常數(shù)，使得對(duì)于任意的正整數(shù)，且 滿足. 【答案】 （1）增區(qū)間是，，減區(qū)間是.（2）（3）證明見解析 當(dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表： x + - + ↗ ↘ ↗ 所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是，，單調(diào)遞減區(qū)間是. （III）證明：對(duì)于任意的正整數(shù) ，，且， 令，函數(shù). 由（II）知，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn). 所以在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則. 由（I）知在上單調(diào)遞增，故， 于是. 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增， 所以在區(qū)間上除外沒有其他的零點(diǎn)，而，故. 又因?yàn)?，，均為整?shù)，所以是正整數(shù)， 從而. 所以.所以，只要取，就有. 【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 【名師點(diǎn)睛】判斷的單調(diào)性，只需對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出單調(diào)區(qū)間，有關(guān)函數(shù)的零點(diǎn)問題，先利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，了解函數(shù)的圖象的增減情況，再對(duì)極值點(diǎn)作出相應(yīng)的要求，可控制零點(diǎn)的個(gè)數(shù). 10.【xx浙江，20】（本題滿分15分）已知函數(shù)f(x)=（x–）（）． （Ⅰ）求f(x)的導(dǎo)函數(shù)； （Ⅱ）求f(x)在區(qū)間上的取值范圍． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）[0， ]． 【解析】 （Ⅱ）由 解得或． 因?yàn)? x [來源:] （） 1 （） （） - 0 + 0 - f（x） ↓ 0 ↑ ↓ 又，所以f（x）在區(qū)間[）上的取值范圍是． 【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的兩大方面的應(yīng)用：（一）函數(shù)單調(diào)性的討論：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來討論函數(shù)單調(diào)性時(shí)，首先考慮函數(shù)的定義域，再求出，有的正負(fù)，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（二）函數(shù)的最值（極值）的求法：由確認(rèn)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合極值點(diǎn)的定義及自變量的取值范圍，得出函數(shù)極值或最值． 11．【xx高考新課標(biāo)1文數(shù)改編】若函數(shù)在單調(diào)遞增,則a的取值范圍是 ． 【答案】 【解析】 試題分析：對(duì)恒成立, 故,即恒成立, 即對(duì)恒成立,構(gòu)造,開口向下的二次函數(shù)的最小值的可能值為端點(diǎn)值,故只需保證,解得． 考點(diǎn)：三角變換及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 【名師點(diǎn)睛】本題把導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)結(jié)合在一起進(jìn)行考查,有所創(chuàng)新,求解關(guān)鍵是把函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為不等式恒成立,再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題,注意與三角函數(shù)值域或最值有關(guān)的問題,要注意弦函數(shù)的有界性. 12．【xx高考四川文科改編】已知函數(shù)的極小值點(diǎn)，則= ． 【答案】2 【解析】 試題分析：，令得或，易得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故極小值為，由已知得． 考點(diǎn)：函數(shù)導(dǎo)數(shù)與極值. 【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的極值．在可導(dǎo)函數(shù)中函數(shù)的極值點(diǎn)是方程的解，但是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，需要通過這點(diǎn)兩邊的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性來判斷，在附近，如果時(shí)，，時(shí)，則是極小值點(diǎn)，如果時(shí)，，時(shí)，，則是極大值點(diǎn)， 13．【xx高考山東理數(shù)】(本小題滿分13分) 已知. （I）討論的單調(diào)性； （II）當(dāng)時(shí)，證明對(duì)于任意的成立. 【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析 【解析】 試題分析：（Ⅰ）求的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)a進(jìn)行分類討論，求的單調(diào)性； （Ⅱ）要證對(duì)于任意的成立，即證，根據(jù)單調(diào)性求解. 試題解析： （Ⅰ）的定義域?yàn)椋? . 當(dāng)， 時(shí)，，單調(diào)遞增； ，單調(diào)遞減. 當(dāng)時(shí)，. （1），， 當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減； （2）時(shí)，，在內(nèi)，，單調(diào)遞增； （3）時(shí)，， 當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減. 綜上所述， 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在 內(nèi)單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增； 當(dāng)，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，時(shí)， ，， 令，. 則， 由可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào). 又， 設(shè)，則在單調(diào)遞減， 因?yàn)椋? 所以在上存在使得 時(shí)，時(shí)，， 所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減， 由于，因此，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號(hào)， 所以， 即對(duì)于任意的恒成立。 考點(diǎn)：1.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值；2.分類討論思想. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、分類討論思想.本題覆蓋面廣，對(duì)考生計(jì)算能力要求較高，是一道難題.解答本題，準(zhǔn)確求導(dǎo)數(shù)是基礎(chǔ)，恰當(dāng)分類討論是關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)是分類討論不全面、不徹底、不恰當(dāng)，或因復(fù)雜式子變形能力差，而錯(cuò)漏百出.本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、基本計(jì)算能力、分類討論思想等. 14．【xx高考天津理數(shù)】 設(shè)函數(shù),，其中 (I)求的單調(diào)區(qū)間； (II) 若存在極值點(diǎn)，且，其中，求證：； （Ⅲ）設(shè)，函數(shù)，求證：在區(qū)間上的最大值不小于. 【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）詳見解析（Ⅲ）詳見解析 【解析】 試題分析：（Ⅰ）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)是否存在情況，分類討論：①當(dāng)時(shí)，有恒成立，所以的單調(diào)增區(qū)間為.②當(dāng)時(shí)，存在三個(gè)單調(diào)區(qū)間（Ⅱ）由題意得，計(jì)算可得再由及單調(diào)性可得結(jié)論（Ⅲ）實(shí)質(zhì)研究函數(shù)最大值：主要比較，的大小即可，分三種情況研究①當(dāng)時(shí)，，②當(dāng)時(shí)，，③當(dāng)時(shí)，. 試題解析：（Ⅰ）解：由，可得. 下面分兩種情況討論： （1）當(dāng)時(shí)，有恒成立，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為. （2）當(dāng)時(shí)，令，解得，或. 當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表： ＋ 0 － 0 ＋ 單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增 所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，. （Ⅱ）證明：因?yàn)榇嬖跇O值點(diǎn)，所以由（Ⅰ）知，且，由題意，得，即， 進(jìn)而. 又 ，且，由題意及（Ⅰ）知，存在唯一實(shí)數(shù)滿足 ，且，因此，所以； （Ⅲ）證明：設(shè)在區(qū)間上的最大值為，表示兩數(shù)的最大值.下面分三種情況同理： （1）當(dāng)時(shí)，，由（Ⅰ）知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上的取值范圍為，因此 ，所以. （2）當(dāng)時(shí)，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，，， 所以在區(qū)間上的取值范圍為，因此 . （3）當(dāng)時(shí)，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知， ，， 所以在區(qū)間上的取值范圍為，因此 . 綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最大值不小于. 考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)、證明不等式 【名師點(diǎn)睛】1.求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟 (1)確定函數(shù)f(x)的定義域(定義域優(yōu)先)； (2)求導(dǎo)函數(shù)f′(x)； (3)在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)求不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0的解集． (4)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)的解集確定函數(shù)f(x)的單調(diào)增(減)區(qū)間．若遇不等式中帶有參數(shù)時(shí)，可分類討論求得單調(diào)區(qū)間． 2．由函數(shù)f(x)在(a，b)上的單調(diào)性，求參數(shù)范圍問題，可轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問題，要注意“＝”是否可以取到． 15．【xx高考北京文數(shù)】（本小題13分） 設(shè)函數(shù) （I）求曲線在點(diǎn)處的切線方程； （II）設(shè)，若函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，求c的取值范圍； （III）求證：是有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要而不充分條件. 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）;（III）見解析. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)，求切線方程； （Ⅱ）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，由函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，求c的取值范圍； （III）從兩方面必要性和不充分性證明，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù). 試題解析：（I）由，得． 因?yàn)?，? 所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為． （II）當(dāng)時(shí)，， 所以． 令，得，解得或． 與在區(qū)間上的情況如下： 所以，當(dāng)且時(shí)，存在，， ，使得． 由的單調(diào)性知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)． （III）當(dāng)時(shí)，，， 此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以不可能有三個(gè)不同零點(diǎn)． 當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，記作． 當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增． 所以不可能有三個(gè)不同零點(diǎn)． 綜上所述，若函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，則必有． 故是有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要條件． 當(dāng)，時(shí)，，只有兩個(gè)不同 點(diǎn)， 所以不是有三個(gè)不同零點(diǎn)的充分條件． 因此是有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要而不充分條件． 考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線；函數(shù)的零點(diǎn) 【名師點(diǎn)睛】 1．證明不等式問題可通過作差或作商構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)證明． 2．求參數(shù)范圍問題的常用方法：(1)分離變量；(2)運(yùn)用最值． 3．方程根的問題：可化為研究相應(yīng)函數(shù)的圖象，而圖象又歸結(jié)為極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間的討論． 4．高考中一些不等式的證明需要通過構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵． 16．【xx高考新課標(biāo)Ⅲ文數(shù)】設(shè)函數(shù)． （I）討論的單調(diào)性； （II）證明當(dāng)時(shí)，； （III）設(shè)，證明當(dāng)時(shí)，. 【答案】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析． 【解析】 試題分析：（Ⅰ）首先求出導(dǎo)函數(shù)，然后通過解不等式或可確定函數(shù)的單調(diào)性（Ⅱ）左端不等式可利用（Ⅰ）的結(jié)論證明，右端將左端的換為即可證明；（Ⅲ）變形所證不等式，構(gòu)造新函數(shù)，然后通過利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性來處理． 試題解析：（Ⅰ）由題設(shè)，的定義域?yàn)?，，令，解? 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減. ………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，在處取得最大值，最大值為， 所以當(dāng)時(shí)，， 故當(dāng)時(shí)，，，即. ………………7分 （Ⅲ）由題設(shè)，設(shè)，則． 令，解得. 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減. ……………9分 由（Ⅱ）知，，故．又，故當(dāng)時(shí)，， 所以當(dāng)時(shí)，. ………………12分 考點(diǎn)：1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2、不等式的證明與解法． 【思路點(diǎn)撥】求解導(dǎo)數(shù)中的不等式證明問題可考慮：（1）首先通過利用研究函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性進(jìn)行證明；（2）根據(jù)不等式結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)，通過求導(dǎo)研究新函數(shù)的單調(diào)性或最值來證明． 17．【xx高考福建，文12】“對(duì)任意，”是“”的_______________條件.（在充分而不必要條件、必要而不充分條件、充分必要條件和既不充分也不必要條件四個(gè)中選擇一個(gè)填空） 【答案】必要而不充分條件 【解析】當(dāng)時(shí)，，構(gòu)造函數(shù)，則．故在單調(diào)遞增，故，則； 當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，構(gòu)造函數(shù)，則，故在遞增，故，則．綜上所述，“對(duì)任意，”是“”的必要不充分條件． 18.【xx高考北京，文19】（本小題滿分13分）設(shè)函數(shù)，． （I）求的單調(diào)區(qū)間和極值； （II）證明：若存在零點(diǎn)，則在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn)． 【解析】（Ⅰ）由，（）得.由解得. 與在區(qū)間上的情況如下： 所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；在處取得極小值. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，在區(qū)間上的最小值為.因?yàn)榇嬖诹泓c(diǎn)，所以，從而.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以是在區(qū)間上的唯一零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，，所以在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn).綜上可知，若存在零點(diǎn)，則在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn). 19.【xx高考山東，文20】設(shè)函數(shù). 已知曲線 在點(diǎn)處的切線與直線平行. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）是否存在自然數(shù)，使得方程在內(nèi)存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，請(qǐng)說明理由； （Ⅲ）設(shè)函數(shù)（表示，中的較小值），求的最大值. 【解析】（I）由題意知，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，所以，又所以. （II）時(shí)，方程在內(nèi)存在唯一的根.設(shè) 當(dāng)時(shí)，.又所以存在，使. 因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，， 所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.所以時(shí)，方程在內(nèi)存在唯一的根. （III）由（II）知，方程在內(nèi)存在唯一的根，且時(shí)，，時(shí)，，所以.當(dāng)時(shí)，若 若由可知故當(dāng)時(shí)，由可得時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減；可知且.綜上可得函數(shù)的最大值為. 【xx年高考命題預(yù)測(cè)】 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用是高考的熱點(diǎn)，年年都出題，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度中檔左右，解答題作為把關(guān)題存在，在考查導(dǎo)數(shù)的概念及其運(yùn)算的基礎(chǔ)上，又注重考查解析幾何的相關(guān)知識(shí)．導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的工具，導(dǎo)數(shù)進(jìn)入新教材之后，給函數(shù)問題注入了生機(jī)和活力，開辟了許多解題新途徑，拓展了高考對(duì)函數(shù)問題的命題空間．所以把導(dǎo)數(shù)與函數(shù)綜合在一起是順理成章的事情，對(duì)函數(shù)的命題已不再拘泥于一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)等，對(duì)研究函數(shù)的目標(biāo)也不僅限于求定義域，值域，單調(diào)性，奇偶性，對(duì)稱性，周期性等，而是把高次多項(xiàng)式函數(shù)，分式函數(shù)，指數(shù)型，對(duì)數(shù)型函數(shù)，以及初等基本函數(shù)的和、差、積、商都成為命題的對(duì)象，試題的命制往往融函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，不等式，方程等知識(shí)于一體，通過演繹證明，運(yùn)算推理等理性思維，解決單調(diào)性，極值，最值，切線，方程的根，參數(shù)的范圍等問題，這類題難度很大，綜合性強(qiáng)，內(nèi)容新，背景新，方法新，是高考命題的豐富寶藏．解題中需用到函數(shù)與方程思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與劃歸思想．在xx年高考仍將以導(dǎo)數(shù)的幾何意義為背景設(shè)置成的導(dǎo)數(shù)的綜合題為主要考點(diǎn)．也有可能利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義出一道中等難度試題，如求切線，或求參數(shù)值，重點(diǎn)考查運(yùn)算及數(shù)形結(jié)合能力，以及構(gòu)造新函數(shù)等能力． 【xx年高考考點(diǎn)定位】 高考對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要有導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求最值，證明不等式，證明恒成立，以及存在性問題等，難度較大，往往作為把關(guān)題存在． 考點(diǎn)一、借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性 【備考知識(shí)梳理】一般地，函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系：在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減； 【規(guī)律方法技巧】求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟.（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（2）令解不等式，得的范圍就是單調(diào)增區(qū)間;令解不等式，得的范圍就是單調(diào)減區(qū)間（3）對(duì)照定義域得出結(jié)論. 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1.若函數(shù)f (x)＝mx2＋lnx－2x在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_________． 【答案】[,＋∞) 【解析】 f (x)＝2mx＋－2≥0對(duì)x＞0恒成立，2mx2＋1－2x≥0∴2m≥＝－＋，令t＝＞0∴2m≥－t2＋2t，∵max＝1，∴2m≥1，∴m≥． 2．已知函數(shù)． （1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)減區(qū)間； （2）若方程恰好有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，求實(shí)數(shù)的最大值． 【解析】（1）當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)，，由，解得，所以的單調(diào)減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，，由，解得或，所以的單調(diào)減區(qū)間為， 綜上：的單調(diào)減區(qū)間為，． （2） 當(dāng)時(shí)，，則，令，得或， x 0 + 0 － 0 + ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 所以有極大值，極小值，當(dāng)時(shí)， 同（1）的討論可得，在上增，在上減，在上增，在上減，在上增，且函數(shù)有兩個(gè)極大值點(diǎn)， ， ， 且當(dāng)時(shí)，， 所以若方程恰好有正根， 則（否則至少有二個(gè)正根）．又方程恰好有一個(gè)負(fù)根，則．令，則， 所以在時(shí)單調(diào)減，即，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到．所以，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到．且此時(shí)，即，所以要使方程恰好有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，的最大值為． 考點(diǎn)二、借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 【備考知識(shí)梳理】若滿足，且在的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)，則是的極值點(diǎn)，是極值，并且如果在兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，則是的極大值點(diǎn)，是極大值；如果在兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”，則是的極小值點(diǎn)，是極小值 【規(guī)律方法技巧】求函數(shù)的極值的步驟:(1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f′(x) .(2)求方程f′(x)=0的根.(3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格.檢查f′(x)在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號(hào)，那么f(x)在這個(gè)根處無極值. 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1.已知函數(shù)，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù) （1）若函數(shù)的圖像在處的切線與直線垂直，求的值． （2）關(guān)于的不等式在上恒成立，求的取值范圍． （3）討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)． 【答案】（1）（2）（3）當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有三個(gè)極值點(diǎn)． 【解析】 試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義得，而，因此（2）不等式恒成立問題，一般利用變量分離，轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值：，因此（3）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)：，這是一個(gè)三次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積，因此導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)為一個(gè)或三個(gè)，即只有一個(gè)極值點(diǎn)或有三個(gè)極值點(diǎn).再分類討論：當(dāng)與x軸有且僅有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，分兩種情形，一是為單調(diào)遞增函數(shù)（無極值），二是極值同號(hào)．當(dāng)與x軸有且僅有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，極值異號(hào)． 試題解析：(1) 由題意，， 因?yàn)榈膱D象在處的切線與直線垂直， 所以，解得. (2) 法一：由，得， 即對(duì)任意恒成立， 即對(duì)任意恒成立， 因?yàn)椋裕? 記，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且， 所以，即的取值范圍是． 法二：由，得， 即在上恒成立， 因?yàn)榈葍r(jià)于， ①當(dāng)時(shí)，恒成立， 所以原不等式的解集為，滿足題意． ②當(dāng)時(shí)，記，有， 所以方程必有兩個(gè)根，且， 原不等式等價(jià)于，解集為，與題設(shè)矛盾， 所以不符合題意． 綜合①②可知，所求的取值范圍是． (3) 因?yàn)橛深}意，可得， 所以只有一個(gè)極值點(diǎn)或有三個(gè)極值點(diǎn). 令， ①若有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，所以函數(shù)的圖象必穿過x軸且只穿過一次， 即為單調(diào)遞增函數(shù)或者極值同號(hào)． ?。┊?dāng)為單調(diào)遞增函數(shù)時(shí)，在上恒成立，得…12分 ⅱ）當(dāng)極值同號(hào)時(shí)，設(shè)為極值點(diǎn)，則， 由有解，得，且， 所以， 所以 ， 同理，， 所以， 化簡得， 所以，即， 所以． 所以，當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)； ②若有三個(gè)極值點(diǎn)，所以函數(shù)的圖象必穿過x軸且穿過三次，同理可得； 綜上，當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)， 當(dāng)時(shí)，有三個(gè)極值點(diǎn)． 2.函數(shù)在區(qū)間上存在極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ． 【答案】； 考點(diǎn)三、借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值 【備考知識(shí)梳理】求函數(shù)最值的步驟：（1）求出在上的極值.（2）求出端點(diǎn)函數(shù)值. （3）比較極值和端點(diǎn)值，確定最大值或最小值. 【規(guī)律方法技巧】 1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問題是要養(yǎng)成列表的習(xí)慣，這樣能使解答過程直觀條理； 2、會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的圖象提取相關(guān)信息； 3、極值點(diǎn)不一定是最值點(diǎn)，最值點(diǎn)也不一定是極值點(diǎn)，但若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則這個(gè)極值點(diǎn)也一定是最值點(diǎn). 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1.已知函數(shù)，． （1）求的單調(diào)增區(qū)間和最小值； （2）若函數(shù)與函數(shù)在交點(diǎn)處存在公共切線，求實(shí)數(shù)的值； （3）若時(shí)，函數(shù)的圖象恰好位于兩條平行直線，之間，當(dāng)與間的距離最小時(shí)，求實(shí)數(shù)的值． 【答案】（1）；（2） ；（3） 【解析】 試題分析：（1）求出的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極值，也為最值；（2）分別求出導(dǎo)數(shù)，設(shè)公切點(diǎn)處的橫坐標(biāo)為，分別求出切線方程，再聯(lián)立解方程，即可得到a；（3）求出兩直線的距離，再令，求出導(dǎo)數(shù)，運(yùn)用單調(diào)性即可得到最小值，進(jìn)而說明當(dāng)d最小時(shí)，． 試題解析：（1）因?yàn)?，由，得? 所以的單調(diào)增區(qū)間為， 又當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)減， 當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)增， 所以的最小值為． （2）因?yàn)?，? 設(shè)共切點(diǎn)處的橫坐標(biāo)為，則與相切的直線方程為：， 與相切的直線方程為：， 所以， 解之得，由（1）知，所以． （3）若直線過，則k=2，此時(shí)有（為切點(diǎn)處的橫坐標(biāo)）， 所以， 當(dāng)時(shí)，有 ，且， 所以兩平行線間的距離 令 ，因?yàn)?， 所以當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)減； 當(dāng)時(shí)，，則在 上單調(diào)增， 所以有最小值h（x）=0，即函數(shù)的圖象均在 的上方， 令 ， 則 ， 所以當(dāng)時(shí)，， 所以當(dāng)d最小時(shí)， ． 2.已知函數(shù)(其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，，． ⑴記函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間； ⑵若對(duì)于任意的，，，均有成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍． 【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為：，，減區(qū)間為；（2）． 【解析】 試題分析：（1）求單調(diào)區(qū)間的方法是求出的解，確定（或）的取值區(qū)間，即函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，此可用列表方法得出（同時(shí)可得出極值）；（2）本小題不等式或有絕對(duì)值符號(hào)，有兩個(gè)參數(shù)，由于函數(shù)是增函數(shù)，因此設(shè)，則有，原問題等價(jià)于恒成立， 分兩個(gè)問題，恒成立和恒成立，前面轉(zhuǎn)化為，可以考慮函數(shù)在上是單調(diào)遞增的，后面一個(gè)轉(zhuǎn)化為，可以考慮函數(shù)在上是單調(diào)遞增的． 試題解析：⑴， ， 得或， 列表如下：（，） 極大值 [來源:] 極小值 ……………………………………………………………………………………4分 的單調(diào)增區(qū)間為：，，減區(qū)間為； ⑵設(shè)，是單調(diào)增函數(shù)，， ； ①由得：， 即函數(shù)在上單調(diào)遞增， 在上恒成立， 在上恒成立； 令，， 時(shí)，；時(shí)，； ， ； ②由得：， 即函數(shù)在上單調(diào)遞增， 在上恒成立， 在上恒成立； 函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，， ， 綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為． 【兩年模擬詳解析】 1. 【蘇北三市（連云港、徐州、宿遷）xx屆高三年級(jí)第三次調(diào)研考試】已知函數(shù)，. （1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）設(shè)函數(shù)，.若函數(shù)的最小值是，求的值； （3）若函數(shù)，的定義域都是，對(duì)于函數(shù)的圖象上的任意一點(diǎn)，在函數(shù)的圖象上都存在一點(diǎn)，使得，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的取值范圍. 【答案】（1）見解析（2）1（3） 【解析】 解:(1) 當(dāng)時(shí)，，． 因?yàn)樵谏蠁握{(diào)增，且， 所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，． 所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是． （2），則，令得， 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)減； 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)增． 所以． ①當(dāng)，即時(shí)， 函數(shù)的最小值， 即，解得或（舍），所以； ②當(dāng)，即時(shí)， 函數(shù)的最小值，解得（舍）． 綜上所述，的值為1． （3）由題意知，，． 考慮函數(shù)，因?yàn)樵谏虾愠闪ⅲ? 所以函數(shù)在上單調(diào)增，故． 所以，即在上恒成立， 即在上恒成立． 設(shè)，則在上恒成立， 所以在上單調(diào)減，所以． 設(shè)， 則在上恒成立， 所以在上單調(diào)增，所以． 綜上所述，的取值范圍為． 2. 【xx學(xué)年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研（二）】已知函數(shù)，，為實(shí)數(shù)，，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，. （1）當(dāng)，時(shí)，設(shè)函數(shù)的最小值為，求的最大值； （2）若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解，求的取值范圍. 【答案】（1）（2） 【解析】 解：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)， 則 ， 令，得，因?yàn)闀r(shí)，， 所以 ， 令， 則，令，得， 且當(dāng)時(shí)，有最大值1， 所以的最大值為1（表格略），（分段寫單調(diào)性即可），此時(shí). （2）由題意得，方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解， 所以在區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解， 即函數(shù)圖象與函數(shù)圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)， 因?yàn)?，令，得? 所以當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，， 所以，滿足的關(guān)系式為，即的取值范圍為. 3. 【南京市、鹽城市xx屆高三年級(jí)第一次模擬】(本小題滿分16分) 設(shè)函數(shù)，（） （1）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的方程（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）； （2）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間； （3）當(dāng)時(shí)，記，是否存在整數(shù)，使得關(guān)于的不等式有解？若存在，請(qǐng)求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由. （參考數(shù)據(jù)：，） 【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為；時(shí)，的增區(qū)間為.（III）的最小值為. 【解析】 解：（1）當(dāng)時(shí)，方程即為，去分母，得 ，解得或， …………2分 故所求方程的根為或. ………4分 （2）因?yàn)椋? 所以（）， ……6分 ①當(dāng)時(shí)，由，解得； ②當(dāng)時(shí)，由，解得； ③當(dāng)時(shí)，由，解得； ④當(dāng)時(shí)，由，解得； ⑤當(dāng)時(shí)，由，解得. 綜上所述，當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為； 當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為； 時(shí)，的增區(qū)間為. ………10分 （3）方法一：當(dāng)時(shí)，，， 所以單調(diào)遞增，，， 所以存在唯一，使得，即， ……………12分 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，， 所以， 記函數(shù)，則在上單調(diào)遞增， ……14分 所以，即， 由，且為整數(shù)，得， 所以存在整數(shù)滿足題意，且的最小值為. ………16分 方法二：當(dāng)時(shí)，，所以， 由得，當(dāng)時(shí)，不等式有解， ……………12分 下證：當(dāng)時(shí)，恒成立，即證恒成立. 顯然當(dāng)時(shí)，不等式恒成立， 只需證明當(dāng)時(shí)，恒成立. 即證明.令， 所以，由，得， ………14分 當(dāng)，；當(dāng)，； 所以. 所以當(dāng)時(shí)，恒成立. 綜上所述，存在整數(shù)滿足題意，且的最小值為. .……………16分 4. 【鎮(zhèn)江市xx屆高三年級(jí)第一次模擬】已知函數(shù)，（為常數(shù)）． （1）若函數(shù)與函數(shù)在處有相同的切線，求實(shí)數(shù)的值； （2）若，且，證明：； （3）若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【答案】（1）（2）詳見解析（3） 【解析】 解：（1），則且. ……1分 所以函數(shù)在處的切線方程為：， ……2分 從而，即. ……4分 （2）由題意知：設(shè)函數(shù)，則. ……5分 設(shè)，從而對(duì)任意恒成立， ……6分 所以，即， 因此函數(shù)在上單調(diào)遞減， ……7分 即， 所以當(dāng)時(shí)，成立. ……8分 設(shè)函數(shù)， 從而對(duì)任意，不等式恒成立. 又， 當(dāng)，即恒成立時(shí)， 函數(shù)單調(diào)遞減. ……10分 設(shè)，則， 所以，即，符合題意； ……12分 當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增. 于是，不等式對(duì)任意恒成立，不符合題意； ……13分 當(dāng)時(shí)，設(shè)， 則 ……14分 當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增， 所以， 故當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增. 于是當(dāng)時(shí)，成立，不符合題意； ……15分 綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為：. ……16分 5. 【xx年第二次全國大聯(lián)考江蘇卷】（本小題滿分16分）設(shè)函數(shù) （1）若不等式對(duì)恒成立，求的值； （2）若在內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求負(fù)數(shù)的取值范圍； （3）已知，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，總存在實(shí)數(shù)，使得成立，求正實(shí)數(shù)的取值集合． 【解析】解（1）若 ，則當(dāng)時(shí)，，不合題意； 若 ，則當(dāng)時(shí)，，不合題意； 若 ，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿足題意，因此的值為 ……………4分 （2）, 令，則 所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此………6分 (i)當(dāng)時(shí)， 在內(nèi)至多有一個(gè)極值點(diǎn)； (ii) 當(dāng)時(shí)，由于 所以 ，而，因此在上無零點(diǎn)，在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，從而在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，在內(nèi)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)；………………………8分 (iii)當(dāng)時(shí)，因此在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，從而在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，在內(nèi)有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn)； 綜上負(fù)數(shù)的取值范圍為………………………10分 （3）因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)，總存在實(shí)數(shù)，使得成立，所以函數(shù)的值域?yàn)椋? 在上是增函數(shù)，其值域?yàn)?………………11分 對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)， 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)． 若，則函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，其值域?yàn)椋? 又，不符合題意，舍去；………………13分 若，則函數(shù)在上是增函數(shù)，值域?yàn)椋? 由題意得，即 ① 記則 當(dāng)時(shí)，，在上為單調(diào)減函數(shù)． 當(dāng)時(shí)，，在上為單調(diào)增函數(shù)， 所以，當(dāng)時(shí)，有最小值， 從而恒成立(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，) ②………………15分 由①②得，，所以 綜上所述，正實(shí)數(shù)的取值集合為．………………16分 6. 【xx年第三次全國大聯(lián)考江蘇卷】（本小題滿分16分） 已知函數(shù)，常數(shù) （1）若，求函數(shù)在點(diǎn)處切線方程； （2）若對(duì)，恒有，求的取值范圍； （3）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)且，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【解析】（1）由得，所以當(dāng)時(shí)，， 因此切線斜率為，切線方程為即．………4分 （2）由題意得在上單調(diào)遞減． 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，皆為上單調(diào)增函數(shù)，不合題意； 當(dāng)時(shí)，． 當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞減； 所以，即的取值范圍為………………………9分 （3）由（2）知當(dāng)時(shí)，皆為上單調(diào)增函數(shù)，至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意． 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；所以取最小值． 若，則至多一個(gè)零點(diǎn)，因此即解得 當(dāng)時(shí)，，而，在上單調(diào)遞減，所以在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；而，，在上單調(diào)遞增，所以在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；所以有兩個(gè)零點(diǎn)． 當(dāng)時(shí)，，而，在上單調(diào)遞減，所以在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；，因?yàn)? ，所以，即，又，在上單調(diào)遞增，所以在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；因此有兩個(gè)零點(diǎn)． 綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為………………………16分 7. 【xx年第一次全國大聯(lián)考江蘇卷】（本小題滿分16分）設(shè)函數(shù)，其中，且. （1） 求值； （2） 若，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，求證：當(dāng)時(shí)，； （3） 若函數(shù)為上的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【解析】（1）依題意.……………2分 （2）記，則， 設(shè),則當(dāng)時(shí),因此函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，且， 所以由零點(diǎn)存在定理知，在上存在唯一的零點(diǎn),……………5分 令得， 列表： ↘ 極小值 ↗ 所以，故……………8分 （3）依題意，，記. 當(dāng)時(shí)， ①若為上的單調(diào)增函數(shù)，則，即在上恒成立 因?yàn)闉樯系膯握{(diào)增函數(shù) 所以，從而，舍去. ……………10分 ②若為上的單調(diào)減函數(shù)，則，即在上恒成立 因?yàn)椋? 所以在上不恒成立，舍去. ……………12分 當(dāng)時(shí)， ①若為上的單調(diào)增函數(shù)，則，即在上恒成立 由得， 列表： + 0 - ↗ 極大值 ↘ 所以 所以，即，故……………14分 ②若為上的單調(diào)減函數(shù)，則，即在上恒成立 由①知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)， 所以，不成立，舍去 綜上，……………16分 8. 【xx學(xué)年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研（一）】已知函數(shù)（為正實(shí)數(shù)，且為常數(shù)）. （1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （2）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 解：（1），. ……1分 因在上單調(diào)遞增，則，恒成立. 令，則， ……2分 x － ＋ 減 極小值 增 因此，，即. ……6分 （2）當(dāng)時(shí)，由（1）知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增. ……7分 又，當(dāng)，；當(dāng)時(shí)，. ……9分 故不等式恒成立． ……10分 若，， 設(shè)，令，則. …12分 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，則， 則，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減， ……14分 則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，矛盾. ……15分 因此，. ……16分 9. 【xx年高考原創(chuàng)押題預(yù)測(cè)卷01（江蘇卷）】（本小題滿分16分） 已知函數(shù)． （1）求曲線與直線垂直的切線方程； （2）求的單調(diào)遞減區(qū)間； （3）若存在，使函數(shù)成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【答案】（1）；（2）減區(qū)間為和；（3）. 【解析】 （1）由已知，2分 設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，令，解得，所以，因此切線方程為，即；4分 （2）函數(shù)的定義域?yàn)椋? ，由，解得或， 所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和．8分 （3）因?yàn)椋? 由已知，若存在使函數(shù)成立， 則只需滿足當(dāng)時(shí)，即可．9分 又， 則，10分 ①若，則在上恒成立， 所以在上單調(diào)遞增， ， ∴，又∵，∴．13分 ②若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 所以在上的最小值是，15分 又∵，而，所以一定滿足條件， 綜上所述，的取值范圍是．16分 10. 【xx年高考原創(chuàng)押題預(yù)測(cè)卷02（江蘇卷）】（本小題滿分16分）已知函數(shù)． （Ⅰ）若函數(shù)的最小值為，求的值； （Ⅱ）設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅲ）設(shè)函數(shù)與函數(shù)的圖像的一個(gè)公共點(diǎn)為,若過點(diǎn)有且僅有一條公切線，求點(diǎn)的坐標(biāo)及實(shí)數(shù)的值． （Ⅱ）因（），故----------（5分） ①若，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增；--------（6分） ②若，則當(dāng)，即，也即時(shí)，在時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；在時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；在時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；------------------------------------------------------（8分） 當(dāng)，即，也即時(shí)，在時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；在時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；在時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.---------------------------------------------------（10分） 綜上： 當(dāng)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是和 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是和.--------（11分） (Ⅱ)設(shè)點(diǎn),因,故,即;--------(12分) 又設(shè)切線方程為,將代入可得;將代入可得,借助切線唯一可得,即,也即,所以方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.---------------------------(13分) 構(gòu)造函數(shù),顯然函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn). 下證當(dāng)與時(shí),函數(shù)都是單調(diào)函數(shù),且都沒有零點(diǎn). -----------(14分) 因,故當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增;且,故在區(qū)間上無零點(diǎn);當(dāng)時(shí), ,函數(shù)單調(diào)遞減;且,故在區(qū)間上無零點(diǎn).即方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,所以可得,由可得.-----------------(16分) 11. 【xx年高考原創(chuàng)押題預(yù)測(cè)卷03（江蘇卷）】（本小題滿分14分）某地政府為科技興市，欲將如圖所示的一塊不規(guī)則的非農(nóng)業(yè)用地規(guī)劃建成一個(gè)矩形的高科技工業(yè)園區(qū)．已知，曲線段是以點(diǎn)為頂點(diǎn)且開口向上的拋物線的一段，如果要使矩形的相鄰兩邊分別落在上，且一個(gè)頂點(diǎn)落在曲線段上，問應(yīng)如何規(guī)劃才能使矩形工業(yè)園區(qū)的用地面積最大？并求出最大用地面積． 【解析】如圖，以所在的直線為軸，過點(diǎn)且垂直于的直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．依題意設(shè)拋物線方程為，由題意點(diǎn)，代入可得，則曲線段的方程為．-----------------（3分） 設(shè)是曲線段上的任意一點(diǎn)，如圖，則，所以該工業(yè)園區(qū)的面積，---------------（5分） 則，故當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，----------------------------（10分） ，此時(shí)．-------（12） 答：當(dāng)工業(yè)園區(qū)規(guī)劃成長為，寬為時(shí)，園區(qū)的面積最大，其最大值為．-----（14分） 12. 【xx年高考原創(chuàng)押題預(yù)測(cè)卷03（江蘇卷）】（本小題滿分16分）設(shè)． (Ⅰ) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； (Ⅱ) 若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍； (Ⅲ) 若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且，證明：． 【解析】（Ⅰ）首先，函數(shù)定義域?yàn)?，因，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；------（3分） 當(dāng)，且時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，--------------------------------------------------（4分） 故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是．-------------------------------------------------------------（5分） （Ⅱ）由題設(shè)有兩個(gè)零點(diǎn)，顯然，故，記，當(dāng)時(shí)，單調(diào)增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)減．-------------------------（7分） 所以當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，所求實(shí)數(shù)的取值范圍是．----（9分） （Ⅲ）構(gòu)造函數(shù)，-----（12分） 則當(dāng)時(shí)，單調(diào)增，所以，即，------（14分） 又由（Ⅱ）知，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，就是方程的兩個(gè)根，因此滿足，所以，且，又時(shí)，單調(diào)增，所以，從而有----------------------（16分） 13. 【南京市、鹽城市xx屆高三年級(jí)第二次模擬】（本小題滿分16分） 已知函數(shù)f (x)＝ex－ax－1，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a∈R． （1）若a＝e，函數(shù)g (x)＝(2－e)x． ①求函數(shù)h(x)＝f (x)－g (x)的單調(diào)區(qū)間； ②若函數(shù)F(x)＝的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍； （2）若存在實(shí)數(shù)x1，x2∈[0，2]，使得f(x1)＝f(x2)，且|x1－x2|≥1， 求證：e－1≤a≤e2－e． 解：（1）當(dāng)a＝e時(shí)，f (x)＝ex－ex－1． ① h (x)＝f (x)－g (x)＝ex－2x－1，h′ (x)＝ex－2． 由h′ (x)＞0得x＞ln2，由h′ (x)＜0得x＜ln2． 所以函數(shù)h(x)的單調(diào)增區(qū)間為 (ln2，＋∞)，單調(diào)減區(qū)間為 (－∞，ln2)． ………………… 3分 ② f ′ (x)＝ex－e． 當(dāng)x＜1時(shí)，f′ (x)＜0，所以f (x)在區(qū)間(－∞，1)上單調(diào)遞減； 當(dāng)x＞1時(shí)，f′ (x)＞0，所以f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增． 1 當(dāng)m≤1時(shí)，f (x)在(－∞，m]上單調(diào)遞減，值域?yàn)閇em－em－1，＋∞)， g(x)＝(2－e