2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 平面向量第四章平面向量.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 平面向量第四章平面向量 [考情展望] 1.在平面幾何圖形中考查向量運算的平行四邊形法則及三角形法則.2.以四種命題及充分必要條件為知識載體，考查向量的有關(guān)概念.3.借助共線向量定理探求點線關(guān)系或求參數(shù)的值． 一、向量的有關(guān)概念 1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或模)． 2．零向量：長度為0的向量，其方向是任意的． 3．單位向量：長度等于1個單位的向量． 4．平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共線向量．規(guī)定：0與任一向量平行． 5．相等向量：長度相等且方向相同的向量． 6．相反向量：長度相等且方向相反的向量． 二、向量的線性運算 向量 運算 定義 法則 (或幾何意義) 運算律 加法 求兩個向量和的運算 三角形法則 b＋a法則 (1)交換律：a＋b＝a＋(b＋c)． (2)結(jié)合律： (a＋b)＋c＝平行四邊形 減法 求a與b的相反向量－b的和的運算叫做a與b的差 三角形法則 a－b＝a＋(－b) 數(shù)乘 求實數(shù)λ與向量a的積的運算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)當(dāng)λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0. λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 向量加減法運算的兩個關(guān)鍵點： 加法的三角形法則關(guān)鍵是“首尾相接，指向終點”，并可推廣為多個向量相加的“多邊形法則”；減法的三角形法則關(guān)鍵是“起點重合，指向被減向量”． 三、平面向量共線定理 向量b與a(a≠0)共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)λ，使得b＝λa. 巧用系數(shù)判共線 ＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若A，B，C三點共線，則λ＋μ＝1；反之，也成立． 1．化簡－＋＋的結(jié)果為( ) A. B. C. D. 【答案】 D 2．下列給出的命題正確的是( ) A．零向量是唯一沒有方向的向量 B．平面內(nèi)的單位向量有且僅有一個 C．a(chǎn)與b是共線向量，b與c是平行向量，則a與c是方向相同的向量 D．相等的向量必是共線向量 【答案】 D 3．設(shè)a，b為不共線向量，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，則下列關(guān)系式中正確的是( ) A.＝ B.＝2 C.＝－ D.＝－2 【答案】 B 4．(xx福建高考)設(shè)M為平行四邊形ABCD對角線的交點，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點，則＋＋＋等于( ) A. B．2 C．3 D．4 【答案】 D 5．設(shè)a、b都是非零向量，下列四個條件中，使＝成立的充分條件是( ) A．a(chǎn)＝－b B．a(chǎn)∥b C．a(chǎn)＝2b D．a(chǎn)∥b且|a|＝|b| 【答案】 C 6．(xx四川高考)在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，＋＝λ，則λ＝ . 【答案】 2 考向一 [071] 平面向量的有關(guān)概念 給出下列四個命題： ①若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b； ②若＝，則四邊形ABCD為平行四邊形； ③若a與b同向，且|a|＞|b|，則a＞b； ④λ，μ為實數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線． 其中假命題的個數(shù)為( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 D 規(guī)律方法1 1.(1)易忽視零向量這一特殊向量，誤認(rèn)為④是正確的；(2)充分利用反例進行否定是對向量的有關(guān)概念題進行判定的行之有效的方法． 2．準(zhǔn)確理解向量的基本概念是解決這類題目的關(guān)鍵：(1)相等向量具有傳遞性，非零向量平行也具有傳遞性；(2)共線向量(平行向量)和相等向量均與向量的起點無關(guān)． 3．“向量”和“有向線段”是兩個不同的概念，向量只有兩個要素：大小、方向；而有向線段有三個要素：起點、方向、長度． 對點訓(xùn)練 給出下列四個命題： ①兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同； ②若a＝b，b＝c，則a＝c； ③若a∥b，b∥c，則a∥c； ④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b. 其中假命題的個數(shù)為( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 C 考向二 [072] 平面向量的線性運算 (1)在△ABC中，若D是AB邊上一點，且＝2，＝＋λ，則λ＝( ) A. B. C．－ D．－ (2)若O是△ABC所在平面內(nèi)一點，D為BC邊中點，且2＋＋＝0，那么( ) A.＝ B.＝2 C.＝3 D．2＝ 【答案】 (1)A (2)A 規(guī)律方法2 1.解答本例(1)的關(guān)鍵是利用向量的加法與減法把用、表示出來．解答本例(2)的關(guān)鍵是＋＝2. 2．進行向量的線性運算時，要盡可能轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，選用從同一頂點出發(fā)的基本向量或首尾相連的向量，運用向量加、減法運算及數(shù)乘運算來解． 對點訓(xùn)練 (1)(xx課標(biāo)全國卷Ⅰ)設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點，則＋＝( ) A. B. C. D. (2)(xx南京質(zhì)檢)已知D為三角形ABC邊BC的中點，點P滿足＋＋＝0，＝λ，則實數(shù)λ的值為 ． 【答案】 (1)C (2)－2 考向三 [073] 共線向量定理的應(yīng)用 設(shè)兩個非零向量e1和e2不共線． (1)如果＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，求證：A、C、D三點共線． (2)如果＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝3e1－ke2，且A、C、F三點共線，求k的值． 【嘗試解答】 (1)＝e1－e2，＝3e1＋2e2， ∴＝＋＝4e1＋e2， 又＝－8e1－2e2， 所以＝－2，∴與共線， 又∵與有公共點C， ∴A、C、D三點共線． (2)∵＝e1＋e2，＝2e1－3e2， ∴＝＋＝3e1－2e2. ∵A、C、F三點共線， ∴∥，從而存在實數(shù)λ，使得＝λ. ∴3e1－2e2＝3λe1－λke2， 又e1，e2是不共線的非零向量， ∴因此k＝2. 所以實數(shù)k的值為2. 規(guī)律方法3 1.向量b與非零向量a共線的充要條件是存在唯一實數(shù)λ，使b＝λa.要注意通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，要注意待定系數(shù)法和方程思想的運用． 2．證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線． 對點訓(xùn)練 (1)已知向量a，b不共線，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么( ) A．k＝1且c與d同向 B．k＝1且c與d反向 C．k＝－1且c與d同向 D．k＝－1且c與d反向 (2)對于非零向量a、b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( ) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】 (1)D (2)A 易錯易誤之八 忽視零向量的特殊性致誤 —————————— [1個示范例] —————— 下列命題正確的是( ) A．向量a、b共線的充要條件是有且僅有一個實數(shù)λ，使b＝λa B．在△ABC中，＋＋＝0 C．不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中兩個等號不可能同時成立 D．向量a、b不共線，則向量a＋b與向量a－b必不共線 【解析】 A不正確，當(dāng)a＝b＝0時，有無數(shù)個實數(shù)λ滿足b＝λa. 此處在求解時，常因忽視“共線向量定理中的條件a≠0”而致誤． B不正確，在△ABC中，＋＋＝0. 此處在求解時，常因混淆向量與數(shù)量的關(guān)系致誤，0是向量，其模為0，而0是數(shù)量，沒有方向． C不正確，當(dāng)b＝0時，不等式|a|≤|a|≤|a|顯然成立． 此處在求解時，常受代數(shù)不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|的影響，而忽略了向量中0的作用導(dǎo)致錯誤． D正確．∵向量a與b不共線，∴a，b，a＋b與a－b均不為零向量． 若a＋b與a－b平行，則存在實數(shù)λ，使a＋b＝λ(a－b)， 即(λ－1)a＝(1＋λ)b， ∴λ無解，故假設(shè)不成立， 即a＋b與a－b不平行，故選D. 【防范措施】 (1)共線向量定理中，b＝λa要求a≠0，否則λ值可能不存在． (2)向量的加減及數(shù)乘運算的結(jié)果，仍然是一個向量，而不是一個數(shù)． (3)應(yīng)熟練掌握向量不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|等號成立的條件． ———————— [1個防錯練] ——————— 下列說法不正確的有 ． ①若a∥b，則a與b的方向相同或相反； ②若λa＝0，則λ＝0； ③相反向量必不相等； ④若a＝e1＋λe2，b＝2e1，λ∈R，且λ≠0，則a∥b 的充要條件是e2＝0. 【解析】?、俨徽_，如a＝0. ②不正確，λa＝0，則λ＝0或a＝0. ③不正確，0＝－0. ④不正確，當(dāng)e1∥e2時該命題也成立． 【答案】?、佗冖邰? 課時限時檢測(二十五) 平面向量的基本概念及線性運算 (時間：60分鐘 滿分：80分) 一、選擇題(每小題5分，共30分) 1．若a＋c與b都是非零向量，則“a＋b＋c＝0”是“b∥(a＋c)”的( ) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】 A 2．已知兩個非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則下面結(jié)論正確的是( ) A．a(chǎn)∥b B．a(chǎn)⊥b C．|a|＝|b| D．a(chǎn)＋b＝a－b 【答案】 B 3．如圖4－1－1，正六邊形ABCDEF中，＋＋＝( ) 圖4－1－1 A．0 B. C. D. 【答案】 D 4．設(shè)a，b都是非零向量，下列四個條件中，一定能使＋＝0成立的是 ( ) A．a(chǎn)＝－b B．a(chǎn)∥b C．a(chǎn)＝2b D．a(chǎn)⊥b 【答案】 A 5．設(shè)a，b是兩個非零向量( ) A．若|a＋b|＝|a|－|b|，則a⊥b B．若a⊥b，則|a＋b|＝|a|－|b| C．若|a＋b|＝|a|－|b|，則存在實數(shù)λ，使得b＝λa D．若存在實數(shù)λ，使得b＝λa，則|a＋b|＝|a|－|b| 【答案】 C 6．已知△ABC和點M滿足＋＋＝0.若存在實數(shù)m使得＋＝m成立，則m＝( ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】 B 二、填空題(每小題5分，共15分) 7．如圖4－1－2所示，向量a－b＝ (用e1，e2表示)． 圖4－1－2 【答案】 e1－3e2 8．若||＝8，||＝5，則||的取值范圍是 ． 【答案】 [3,13] 9．已知向量a，b是兩個非零向量，則在下列四個條件中，能使a、b共線的條件是 (將正確的序號填在橫線上)． ①2a－3b＝4e，且a＋2b＝－3e； ②存在相異實數(shù)λ、μ，使λa＋μb＝0； ③xa＋yb＝0(實數(shù)x，y滿足x＋y＝0)． 【答案】?、佗? 三、解答題(本大題共3小題，共35分) 10．(10分)設(shè)a，b是不共線的兩個非零向量． (1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求證：A、B、C三點共線． (2)若8a＋kb與ka＋2b共線，求實數(shù)k的值． (3)若＝a＋b，＝2a－3b，＝2a－kb，且A、C、D三點共線，求k的值． 【解】 (1)證明?。剑絘＋2b， ＝－＝－a－2b. 所以＝－，又因為A為公共點， 所以A、B、C三點共線． (2)設(shè)8a＋kb＝λ(ka＋2b)， 則?或 所以實數(shù)k的值為4. (3)＝＋＝(a＋b)＋(2a－3b)＝3a－2b， 因為A、C、D三點共線，所以與共線． 從而存在實數(shù)λ使＝λ，即3a－2b＝λ(2a－kb)， 得解得λ＝，k＝， 所以k＝. 11．(12分)如圖4－1－3所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一點，若＝m＋，求實數(shù)m的值． 圖4－1－3 【解】 如題圖所示，＝＋， ∵P為BN上一點，則＝k， ∴＝＋k＝＋k(－) 又＝，即＝， 因此＝(1－k)＋， 所以1－k＝m，且＝， 解得k＝，則m＝1－k＝. 12．(13分)設(shè)O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三點，動點P滿足＝＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)．求點P的軌跡，并判斷點P的軌跡通過下述哪一個定點： ①△ABC的外心；②△ABC的內(nèi)心；③△ABC的重心； ④△ABC的垂心． 【解】 如圖，記＝，＝，則，都是單位向量， ∴||＝||，＝＋，則四邊形AMQN是菱形，∴AQ平分∠BAC，∵＝＋，由條件知＝＋λ， ∴＝λ(λ∈[0，＋∞))，∴點P的軌跡是射線AQ，且AQ通過△ABC的內(nèi)心． 第二節(jié) 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示 [考情展望] 1.考查用平面向量的坐標(biāo)運算進行向量的線性運算.2.考查應(yīng)用平面向量基本定理進行向量的線性運算.3.以向量的坐標(biāo)運算及共線向量定理為載體，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力． 一、平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于該平面內(nèi)任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一組基底． 二、平面向量的坐標(biāo)運算及向量平行的坐標(biāo)表示 1．平面向量的坐標(biāo)運算 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，則ab＝(x1x2，y1y2)． (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)， ||＝. (3)若a＝(x，y)，λ∈R，則λa＝(λx，λy)． 2．向量平行的坐標(biāo)表示 (1)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件為x1y2－x2y1＝0. (2)三點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)共線的充要條件為(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0. 共線向量的坐標(biāo)表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成＝，因為x2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為x1y2－x2y1＝0. 1．下列各組向量：①e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)；②e1＝(3,5)，e2＝(6,10)；③e1＝(2，－3)，e2＝(，－)，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量基底的是( ) A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】 A 2．若a＝(3,2)，b＝(0，－1)，則2b－a的坐標(biāo)是( ) A．(3，－4) B．(－3,4) C．(3,4) D．(－3，－4) 【答案】 D 3．已知a＝(4,5)，b＝(8，y)且a∥b，則y等于( ) A．5 B．10 C. D．15 【答案】 B 4．(xx福建高考)在下列向量組中，可以把向量a＝(3,2)表示出來的是( ) A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2) C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3) 【答案】 B 5．(xx廣東高考)設(shè)a是已知的平面向量且a≠0.關(guān)于向量a的分解，有如下四個命題： ①給定向量b，總存在向量c，使a＝b＋c； ②給定向量b和c，總存在實數(shù)λ和μ，使a＝λb＋μ c； ③給定單位向量b和正數(shù)μ，總存在單位向量c和實數(shù)λ，使a＝λb＋μ c； ④給定正數(shù)λ和μ，總存在單位向量b和單位向量c，使a＝λb＋μ c. 上述命題中的向量b，c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，則真命題的個數(shù)是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 B 6．(xx北京高考)向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖4－2－1所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則＝ . 圖4－2－1 【答案】 4 考向一 [074] 平面向量基本定理及其應(yīng)用 (1)在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，則λ＋μ＝ . 圖4－2－2 (2)如圖4－2－2，在四邊形ABCD中，AC和BD相交于點O，設(shè)＝a，＝b，若＝2，則＝ (用向量a和b表示)． 【答案】 (1) (2)a＋b 規(guī)律方法1 1.解答本例(1)的關(guān)鍵是根據(jù)平面向量基本定理列出關(guān)于λ，μ的方程組． 2．(1)利用平面向量基本定理表示向量時，要選擇一組恰當(dāng)?shù)幕讈肀硎酒渌蛄?，即用特殊向量表示一般向量．常與待定系數(shù)法、方程思想緊密聯(lián)系在一起解決問題． (2)利用已知向量表示未知向量，實質(zhì)就是利用三角形法則進行向量的加減運算，在解題時，注意方程思想的運用． 對點訓(xùn)練 (xx江蘇高考)設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2為實數(shù))，則λ1＋λ2的值為 ． 【答案】 考向二 [075] 平面向量的坐標(biāo)運算 已知O(0,0)，A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)． 設(shè)＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b， (1)求3a＋b－3c； (2)求滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m，n； (3)求M、N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)． 【嘗試解答】 a＝＝(3－(－2)，－1－4)＝(5，－5)， b＝＝(－3－3，－4－(－1))＝(－6，－3)， c＝＝(－2－(－3)，4－(－4))＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝(15，－15)＋(－6，－3)－(3,24) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)由a＝mb＋nc，得(5，－5)＝(－6m，－3m)＋(n,8n) ＝(－6m＋n，－3m＋8n)． ∴ 解得 (3)∵＝－＝3c， ∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M(0,20)． 又∵＝－＝－2b， ∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N(9,2)． ∴＝(9，－18)． 規(guī)律方法2 1.向量的坐標(biāo)運算主要是利用向量加減、數(shù)乘運算的法則進行．若已知有向線段兩端點的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)，注意方程思想的應(yīng)用． 2．平面向量的坐標(biāo)運算的引入為向量提供了新的語言——“坐標(biāo)語言”，實質(zhì)是“形”化為“數(shù)”．向量的坐標(biāo)運算，使得向量的線性運算都可用坐標(biāo)來進行，實現(xiàn)了向量運算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來． 對點訓(xùn)練 (1)(xx廣東高考)已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，則b－a＝( ) A．(－2,1) B．(2，－1) C．(2,0) D．(4,3) (2)(xx北京高考)已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，則2a－b＝( ) A．(5,7) B．(5,9) C．(3,7) D．(3,9) 【答案】 (1)B (2)A 考向三 [076] 平面向量共線的坐標(biāo)表示 (1)設(shè)向量a，b滿足|a|＝2，b＝(2,1)，且a與b的方向相反，則a的坐標(biāo)為 ． (2)向量a＝，b＝(cos α，1)，且a∥b，則cos 2α＝( ) A．－ B. C．－ D. 【答案】 (1)(－4，－2) (2)D 規(guī)律方法3 1.兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(a≠0)，則b＝λa. 2．向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù)．當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時，也可以利用坐標(biāo)對應(yīng)成比例來求解． 對點訓(xùn)練 (1)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ為實數(shù)，(a＋λb)∥c，則λ＝( ) A. B. C．1 D．2 (2)已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，若點A、B、C能構(gòu)成三角形，則實數(shù)m滿足的條件是 ． 【答案】 (1)B (2)m≠ 思想方法之十二 待定系數(shù)法在向量運算中的應(yīng)用 根據(jù)向量之間的關(guān)系，利用待定系數(shù)法列出一個含有待定系數(shù)的恒等式，然后根據(jù)恒等式的性質(zhì)求出各待定系數(shù)的值或消去這些待定系數(shù)，找出原來那些系數(shù)之間的關(guān)系，從而使問題得到解決． —————————— [1個示范例] —————— 如圖4－2－3所示，在△OAB中，＝， 圖4－2－3 ＝，AD與BC交于點M，設(shè)＝a，＝b，利用a和b表示向量. 【解】 設(shè)＝ma＋nb， 則＝－＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb. ＝－＝－＝b－a.因為A、M、D三點共線，所以存在實數(shù)λ，使＝λ，即(m－1)a＋nb＝－λa＋b. 所以消去λ，得m＋2n＝1，① 同理＝－＝ma＋nb－a＝a＋nb， ＝－＝b－a，因為C、M、B三點共線， 所以存在實數(shù)t，使＝t，即a＋nb＝t. 所以消去t，得4m＋n＝1，② 聯(lián)立①②，得m＝，n＝，所以＝a＋b., ———————— [1個對點練] ——————— 如圖4－2－4所示，M是△ABC內(nèi)一點，且滿足條件＋2＋3＝0，延長CM交AB于N，令＝a，試用a表示. 圖4－2－4 【解】 因為＝＋，＝＋， 所以由＋2＋3＝0，得 (＋)＋2(＋)＋3＝0， 所以＋3＋2＋3＝0. 又因為A，N，B三點共線，C，M，N三點共線， 由平面向量基本定理，設(shè)＝λ，＝μ， 所以λ＋3＋2＋3μ＝0. 所以(λ＋2)＋(3＋3μ)＝0. 由于和不共線，由平面向量基本定理， 得所以 所以＝－＝，＝＋＝2＝2a. 課時限時檢測(二十六) 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示 (時間：60分鐘 滿分：80分) 一、選擇題(每小題5分，共30分) 1．若向量＝(2,3)，＝(4,7)，則＝( ) A．(－2，－4) B．(2,4) C．(6,10) D．(－6，－10) 【答案】 A 2．(xx陜西高考)已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，則實數(shù)m等于( ) A．－ B. C．－或 D．0 【答案】 C 3．已知向量m＝(2,0)，n＝.在△ABC中，＝2m＋2n，＝2m－6n，D是BC邊的中點，則||等于( ) A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】 A 4．在△ABC中，點D在線段BC的延長線上，且＝，點O在線段CD上(與點C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，則x的取值范圍( ) A．(0,1) B. C．(－1,0) D. 【答案】 C 5．設(shè)向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a、3b－2a、c的有向線段首尾相接能構(gòu)成三角形，則向量c為( ) A．(1，－1) B．(－1,1) C．(－4,6) D．(4，－6) 【答案】 D 6．△ABC的三內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別為a，b，c，設(shè)向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，則角C的大小為( ) A. B. C. D. 【答案】 B 二、填空題(每小題5分，共15分) 7．若三點A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共線，則＋的值為 ． 【答案】 8．在△ABC中，若點D是邊AB上靠近點B的三等分點，若＝a，＝b，則等于 ． 【答案】 a＋b 9．已知A(－3,0)，B(0，)，O為坐標(biāo)原點，C在第二象限，且∠AOC＝30，＝λ＋，則實數(shù)λ的值為 ． 【答案】 1 三、解答題(本大題共3小題，共35分) 10．(10分)設(shè)坐標(biāo)平面上有三點A，B，C，i，j分別是坐標(biāo)平面上x軸、y軸正方向上的單位向量，若向量＝i－2j，＝i＋mj，那么是否存在實數(shù)m，使A，B，C三點共線． 【解】 法一 假設(shè)滿足條件的m存在，由A，B，C三點共線，得∥， ∴存在實數(shù)λ，使＝λ，即i－2j＝λ(i＋mj)， ∴∴m＝－2. ∴當(dāng)m＝－2時，A，B，C三點共線． 法二 假設(shè)滿足條件的m存在，根據(jù)題意可知i＝(1,0)，j＝(0,1)． ∴＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)，由A，B，C三點共線，得∥， 故1m－1(－2)＝0， 解得m＝－2. ∴當(dāng)m＝－2時，A，B，C三點共線． 11．(12分)已知點O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且＝＋t(t∈R)，問： (1)t為何值時，點P在x軸上？點P在二、四象限角平分線上？ (2)四邊形OABP能否成為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，請說明理由． 【解】 (1)∵O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)， ∴＝(1,2)，＝(3,3)， ＝＋t＝(1＋3t,2＋3t)． 若P在x軸上， 只需2＋3t＝0，t＝－； 若P在第二、四象限角平分線上，則 1＋3t＝－(2＋3t)，t＝－. (2)＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)， 若OABP是平行四邊形， 則＝， 即此方程組無解． 所以四邊形OABP不可能為平行四邊形． 12．(13分)如圖4－2－5，G是△OAB的重心，P，Q分別是邊OA、OB上的動點，且P，G，Q三點共線． 圖4－2－5 (1)設(shè)＝λ，將用λ，，表示； (2)設(shè)＝x，＝y(tǒng)，證明：＋是定值． 【解】 (1)＝＋＝＋λ ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ. (2)證明 一方面，由(1)，得 ＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x＋λy；① 另一方面，∵G是△OAB的重心， ∴＝＝(＋)＝＋.② 而，不共線， ∴由①②，得 解得 ∴＋＝3(定值)． 第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積 [考情展望] 1.以客觀題的形式考查平面向量數(shù)量積的計算，向量垂直條件與數(shù)量積的性質(zhì).2.以平面向量數(shù)量積為工具，與平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何等知識交匯命題，主要考查運算能力及數(shù)形結(jié)合思想． 一、平面向量的數(shù)量積 1．?dāng)?shù)量積的定義：已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為θ，則向量a與b的數(shù)量積是數(shù)量|a||b|cos θ，記作ab，即ab＝|a||b|cos θ.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0. 2．向量的投影：設(shè)θ為a與b的夾角，則向量a在b方向上的投影是|a|cos θ；向量b在a方向上的投影是|b|cos θ. 3．?dāng)?shù)量積的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積． 二、平面向量數(shù)量積的運算律 1．交換律：ab＝ba； 2．?dāng)?shù)乘結(jié)合律：(λa)b＝λ(ab)＝a(λb)； 3．分配律：a(b＋c)＝ab＋ac. 三、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角． 結(jié)論 幾何表示 坐標(biāo)表示 模 |a|＝ |a|＝ 數(shù)量積 ab＝|a||b|cos θ ab＝x1x2＋y1y2 夾角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的 充要條件 ab＝0 x1x2＋y1y2＝0 |ab|與|a||b|的 關(guān)系 |ab|≤|a||b|(當(dāng)且僅 當(dāng)a∥b時等號成立) |x1x2＋y1y2|≤ 1．已知a＝(1，－3)，b＝(4,6)，c＝(2,3)，則(bc)a等于 ( ) A．(26，－78) B．(－28，－42) C．－52 D．－78 【答案】 A 2．已知向量a、b滿足|a|＝1，|b|＝4，且ab＝2，則a與b的夾角為( ) A. B. C. D. 【答案】 C 3．已知向量a，b和實數(shù)λ，下列選項中錯誤的是( ) A．|a|＝ B．|ab|＝|a||b| C．λ(ab)＝λab D．|ab|≤|a||b| 【答案】 B 4．已知向量a，b滿足ab＝0，|a|＝1，|b|＝2，則|2a－b|＝( ) A．0 B．2 C．4 D．8 【答案】 B 5．(xx湖北高考)已知點A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，則向量在方向上的投影為( ) A. B. C．－ D．－ 【答案】 A 6．(xx課標(biāo)全國卷Ⅰ)已知兩個單位向量a，b的夾角為60，c＝ta＋(1－t)b，若bc＝0，則t＝ . 【答案】 2 考向一 [077] 平面向量數(shù)量積的運算 (1)(xx浙江高考)在△ABC中，M是BC的中點，AM＝3，BC＝10，則＝ . (2)已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則的值為 ；的最大值為 ． 【答案】 (1)－16 (2)1 1 規(guī)律方法1 1.平面向量的數(shù)量積的運算有兩種形式，一是依據(jù)長度與夾角，二是利用坐標(biāo)來計算． 2．要有“基底”意識，關(guān)鍵用基向量表示題目中所求相關(guān)向量，如本例(1)中用、表示、等．注意向量夾角的大小，以及夾角θ＝0，90，180三種特殊情形． 對點訓(xùn)練 (1)(xx江西高考)設(shè)e1，e2為單位向量， 且e1，e2的夾角為，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，則向量a在b方向上的投影為 ． (2)在邊長為1的正三角形ABC中，設(shè)＝2，＝3，則＝ . 【答案】 (1) (2)－ 考向二 [078] 平面向量的夾角與垂直 (1)(xx安徽高考)若非零向量a，b滿足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，則a與b夾角的余弦值為 ． (2)(xx山東高考)已知向量與的夾角為120，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，則實數(shù)λ的值為 ． 【答案】 (1)－ (2) 規(guī)律方法2 1.當(dāng)a，b以非坐標(biāo)形式給出時，求〈a，b〉的關(guān)鍵是借助已知條件求出|a|、|b|與ab的關(guān)系． 2．(1)非零向量垂直的充要條件：a⊥b?ab＝0?|a＋b|＝|a－b|?x1x2＋y1y2＝0.(2)本例(2)中常見的錯誤是不會借助向量減法法則把表示成－，導(dǎo)致求解受阻． 對點訓(xùn)練 (1)(xx重慶高考)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，則實數(shù)k＝( ) A．－ B．0 C．3 D. (2)(xx青島質(zhì)檢)已知向量與的夾角為120，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，則實數(shù)λ的值是 ． 【答案】 (1)C (2) 考向三 [079] 平面向量的模及其應(yīng)用 (1)設(shè)x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，則|a＋b|＝( ) A. B. C．2 D．10 【答案】 B (2)已知＝(cos θ，sin θ)，＝(1＋sin θ，1＋cos θ)，其中0≤θ≤π，求||的取值范圍及||取得最大值時θ的值． 【嘗試解答】 ∵＝－＝(1＋sin θ－cos θ，1＋cos θ－sin θ)， ∴|P|2＝(1＋sin θ－cos θ)2＋(1＋cos θ－sin θ)2 ＝4－4sin θcos θ＝4－2sin 2θ. ∵0≤θ≤π，∴－1≤sin 2θ≤1， ∴||2∈[2,6]，∴||∈[，]． 當(dāng)sin 2θ＝－1，即θ＝時，||取得最大值． 規(guī)律方法3 1.x1y2－x2y1＝0與x1x2＋y1y2＝0不同，前者是a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)共線的充要條件，而后者是它們垂直的充要條件． 2．求解向量的長度問題一般可以從兩個方面考慮： (1)利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解； (2)利用公式|a|＝及(ab)2＝|a|22ab＋|b|2把長度問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運算問題解決． 對點訓(xùn)練 (1)(xx江西高考)已知單位向量e1，e2的夾角為α，且cos α＝，若向量a＝3e1－2e2，則|a|＝ . (2)(xx四川高考)平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m＝( ) A．－2 B．－1 C．1 D．2 【答案】 (1)3 (2)D 易錯易誤之九 忽略向量共線條件致誤 —————————— [1個示范例] —————— (xx廣州模擬)已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a與a＋λb的夾角為銳角，則實數(shù)λ的取值范圍為 ． 【解析】 ∵a與a＋λb均為非零向量，且夾角為銳角， ∴a(a＋λb)＞0，即(1,2)(1＋λ，2＋λ)＞0， ∴(1＋λ)＋2(2＋λ)＞0，∴λ＞－， 當(dāng)a與 a＋λb共線時，存在實數(shù)m，使a＋λb＝ma， 此處在求解時，常因忽略“a與a＋λb共線”的情形致誤，出現(xiàn)錯誤的原因是誤認(rèn)為ab＞0與〈a，b〉為銳角等價． 即(1＋λ，2＋λ)＝m(1,2)， ∴，∴λ＝0，即當(dāng)λ＝0時，a與a＋λb共線． 綜上可知，λ的取值范圍為 【防范措施】 1.a，b的夾角為銳角并不等價于ab＞0，ab＞0等價于a與b夾角為銳角或0. 2．依據(jù)兩向量的夾角θ求向量坐標(biāo)中的參數(shù)時，要注意θ＝0或180的情形．其中cos 0＝1＞0，cos 180＝－1＜0. ———————— [1個防錯練] ——————— 已知a＝(2，－1)，b＝(λ，3)，若a與b的夾角為鈍角，則λ的取值范圍是 ． 【解析】 由ab＜0，即2λ－3＜0，解得λ＜. 又當(dāng)a∥b時，λ＝－6，故所求λ的范圍為λ＜且λ≠－6. 【答案】 課時限時檢測(二十七) 平面向量的數(shù)量積 (時間：60分鐘 滿分：80分) 一、選擇題(每小題5分，共30分) 1．(xx遼寧高考)已知點A(1,3)，B(4，－1)，則與向量同方向的單位向量為( ) A. B. C. D. 【答案】 A 2．(xx大綱全國卷)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，則λ＝( ) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 【答案】 B 3．若向量a, b，c滿足a∥b且a⊥c，則c(a＋2b)＝( ) A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】 D 4．已知|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝60，則|2a－b|＝( ) A．2 B．4 C．2 D．8 【答案】 A 5．已知△ABC為等邊三角形，AB＝2.設(shè)點P，Q滿足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R.若＝－，則λ＝( ) A. B. C. D. 【答案】 A 6．已知平面向量|a|＝2，|b|＝1，且(a＋b)⊥，則a與b的夾角為( ) A. B. C. D. 【答案】 A 二、填空題(每小題5分，共15分) 7．已知向量a＝(1,0)，b＝(1,1)，則向量b－3a與向量a夾角的余弦值為 ． 【答案】?。? 8．已知|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角為60，則a＋b在a方向上的投影為 ． 【答案】 2 9．設(shè)i、j是平面直角坐標(biāo)系(坐標(biāo)原點為O)內(nèi)分別與x軸、y軸正方向相同的兩個單位向量，且＝－2i＋j，＝4i＋3j，則△OAB的面積等于 ． 【答案】 5 三、解答題(本大題共3小題，共35分) 10．(10分)已知a＝(1,2)，b＝(x,1)， (1)若(2a＋b)∥(a－b)，求x的值； (2)若2a＋b與a－b的夾角是銳角，求x的取值范圍． 【解】 (1)∵a＝(1,2)，b＝(x,1)， ∴2a＋b＝(2＋x,5)， a－b＝(1－x,1)． 由(2a＋b)∥(a－b)可知 2＋x＝5－5x. 解得x＝. (2)由題意可知 (2a＋b)(a－b)＞0且2a＋b與a－b不共線， ∴ ∴＜x＜且x≠. 即所求x的取值范圍是 ∪. 11．(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形OABC是等腰梯形，A(6,0)，C(1，)，點M滿足＝，點P在線段BC上運動(包括端點)，如圖． 圖4－3－1 (1)求∠OCM的余弦值； (2)是否存在實數(shù)λ，使(－λ)⊥，若存在，求出滿足條件的實數(shù)λ的取值范圍，若不存在，請說明理由． 【解】 (1)由題意可得＝(6,0)，＝(1，)，＝＝(3,0)，＝(2，－)，＝(－1，－)． ∴cos∠OCM＝cos〈，〉＝＝. (2)設(shè)P(t，)，其中1≤t≤5，λ＝(λt，λ)， －λ＝(6－λt，－λ)，＝(2，－)， 若(－λ)⊥，則(－λ)＝0， 即12－2λt＋3λ＝0?(2t－3)λ＝12，若t＝，則λ不存在， 若t≠，則λ＝， ∵t∈∪，故λ∈(－∞，－12)∪. 12．(13分)已知點A(1,0)，B(0,1)， C(2sin θ，cos θ)． (1)若||＝||，求的值； (2)若(＋2)＝1，其中O為坐標(biāo)原點，求sin θcos θ的值． 【解】 ∵A(1,0)，B(0,1)，C(2sin θ，cos θ)， ∴＝(2sin θ－1，cos θ)，＝(2sin θ，cos θ－1)． (1)||＝||， ∴＝， 化簡得2sin θ＝cos θ， 所以tan θ＝，∴＝＝＝－5. (2)＝(1,0)，＝(0,1)，＝(2sin θ，cos θ)， ∴＋2＝(1,2)， ∵(＋2)＝1，∴2sin θ＋2cos θ＝1. ∴(sin θ＋cos θ)2＝， ∴1＋2sin θcos θ＝， ∴sin θcos θ＝－. 第四節(jié) 平面向量應(yīng)用舉例 [考情展望] 1.用向量的方法解決某些簡單的平面幾何證明問題.2.與三角函數(shù)、解析幾何等知識交匯命題，體現(xiàn)向量運算的工具性． 一、向量在平面幾何中的應(yīng)用 1．平面向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是用向量的線性運算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長度、夾角等問題． 2．用向量解決常見平面幾何問題的技巧 問題類型 所用知識 公式表示 線平行、點共線、相似等問題 共線向量定理 a∥b?a＝λb ?x1y2－x2y1＝0(b≠0) 其中a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2) 垂直問題 數(shù)量積的運算性質(zhì) a⊥b?ab＝0?x1x2＋y1y2＝0 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a，b 為非零向量 夾角問題 數(shù)量積的定義 cos θ＝(θ為向量a，b的夾角) 二、向量在物理中的應(yīng)用 1．向量的加法、減法在力的分解與合成中的應(yīng)用． 2．向量在速度的分解與合成中的應(yīng)用． 3．向量的數(shù)量積在合力做功問題中的應(yīng)用：W＝fs. 1．已知三個力f1，f2，f3作用于物體同一點，使物體處于平衡狀態(tài)，若f1＝(2,2)，f2＝(－2,3)，則|f3|為( ) A．2.5 B．4 C．2 D．5 【答案】 D 2．已知O是△ABC所在平面上一點，若＝＝，則O是△ABC的( ) A．內(nèi)心 B．重心 C．外心 D．垂心 【答案】 D 3．若＋2＝0，則△ABC為( ) A．鈍角三角形 B．銳角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【答案】 D 4．已知兩個力F1、F2的夾角為90，它們的合力F的大小為10 N，合力與F1的夾角為60，那么F1的大小為 ． 【答案】 5 N 5．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，＝1，則BC＝( ) A. B. C．2 D. 【答案】 A 6．(xx山東高考)在△ABC中，已知＝tan A，當(dāng)A＝時，△ABC的面積為 ． 【答案】 考向一 [080] 向量在平面幾何中的應(yīng)用 (1)在△ABC中，已知向量與滿足＝0，且＝，則△ABC為( ) A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰非等邊三角形 D．三邊均不相等的三角形 (2)設(shè)a，b，c為同一平面內(nèi)具有相同起點的任意三個非零向量，且a與b不共線，a⊥c，|a|＝|c|，則|bc|的值一定等于( ) A．以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積 B．以b，c為兩邊的三角形面積 C．以a，b為兩邊的三角形面積 D．以b，c為鄰邊的平行四邊形的面積 (3)已知△ABC的三邊長AC＝3，BC＝4，AB＝5，P為AB邊上任意一點，則(－)的最大值為 ． 【答案】 (1)A (2)D (3)9 規(guī)律方法1 1.向量在平面幾何中的三大應(yīng)用：一是借助運算判斷圖形的形狀；二是借助模、數(shù)量積等分析幾何圖形的面積；三是借助向量探尋函數(shù)的最值表達式，進而求最值． 2．平面幾何問題的向量解法 (1)坐標(biāo)法 把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，就賦予了有關(guān)點與向量具體的坐標(biāo)，這樣就能進行相應(yīng)的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決． (2)基向量法 適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量共線構(gòu)造關(guān)于設(shè)定未知量的方程來進行求解． 對點訓(xùn)練 (1)已知點O，N，P在△ABC所在平面內(nèi)，且||＝||＝||，＋＋＝0，＝＝，則點O，N，P依次是△ABC的( ) A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、內(nèi)心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、內(nèi)心 (注：三角形的三條高線交于一點，此點稱為三角形的垂心) (2)(xx課標(biāo)全國卷Ⅱ)已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點，則＝ . 【答案】 (1)C (2)2 考向二 [081] 平面向量在解析幾何中的應(yīng)用 (xx蘇州模擬)已知平面上一定點C(2,0)和直線l：x＝8，P為該平面上一動點，作PQ⊥l，垂足為Q，且＝0. (1)求動點P的軌跡方程； (2)若EF為圓N：x2＋(y－1)2＝1的任一條直徑，求的最大值． 【嘗試解答】 (1)設(shè)P(x，y)，則Q(8，y)． 由＝0， 得||2－||2＝0，即(x－2)2＋y2－(x－8)2＝0，化簡得＋＝1. 所以點P在橢圓上，其方程為＋＝1. (2)因＝(－)(－) ＝(－－)(－) ＝(－)2－2＝2－1， P是橢圓＋＝1上的任一點，設(shè)P(x0，y0)， 則有＋＝1，即x＝16－，又N(0,1)， 所以2＝x＋(y0－1)2＝－y－2y0＋17 ＝－(y0＋3)2＋20. 因為y0∈[－2，2]， 所以當(dāng)y0＝－3時，2取得最大值20，故的最大值為19. 規(guī)律方法2 1.平面向量與解析幾何交匯的題目，向量多用于“包裝”，解決此類問題的關(guān)鍵是利用向量的意義、運算脫去“向量外衣”，導(dǎo)出曲線上點的坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題． 2．向量工具作用：利用a⊥b?ab＝0(a，b為非零向量)，a∥b?a＝λb(b≠0)，可解決垂直、平行問題，特別地，向量垂直、平行的坐標(biāo)表示對于解決解析幾何中的垂直、平行問題是一種比較優(yōu)越的方法． 對點訓(xùn)練 (xx安徽高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量a，b，|a|＝|b|＝1，ab＝0，點Q滿足＝(a＋b)．曲線C＝{P|＝acos θ＋bsin θ，0≤θ<2π}，區(qū)域Ω＝{P|0下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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- 2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 平面向量第四章平面向量 2019 2020 年高 數(shù)學(xué) 一輪 復(fù)習(xí) 第四 平面 向量
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