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2019-2020年高二數(shù)學(xué)下 第12章《圓錐曲線》學(xué)案 滬教版 圓錐曲線 第 第一 二定 定義 義 標(biāo)準(zhǔn)方程 的關(guān)系 橢 圓 性質(zhì) 對(duì)稱性 焦點(diǎn) 頂點(diǎn) 離心率 準(zhǔn)線 焦半徑 直線與橢圓的位置關(guān)系 相交 相切 相離 第 第一 二定 定義 義 標(biāo)準(zhǔn)方程 的關(guān)系 雙曲線 性質(zhì) 對(duì)稱性 焦點(diǎn) 頂點(diǎn) 離心率 準(zhǔn)線 焦半徑 直線與雙曲線的位置關(guān)系 相交 相切 相離 漸近線 拋物線 定義 標(biāo)準(zhǔn)方程 性質(zhì) 對(duì)稱性 焦點(diǎn) 頂點(diǎn) 離心率 準(zhǔn)線 焦半徑 直線與拋物線的位置關(guān)系 相交 相切 相離 【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】 3．1 橢圓 【考點(diǎn)透視】 一、考綱指要 1．熟練掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)及參數(shù)方程． 2．考查橢圓的離心率，直線的方程，平面向量的坐標(biāo)表示，方程思想等數(shù)學(xué)思想方法和綜合解題能力. 二、命題落點(diǎn) 圓錐曲線是解析幾何的重點(diǎn)，也是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，高考中主要出現(xiàn)三種類型的試題：①考查圓錐曲線的概念與性質(zhì)；②求曲線方程和軌跡；③關(guān)于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的問(wèn)題，主要考查直線方程,平面向量及橢圓的幾何性質(zhì)等基本知識(shí),考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題以及推理能力. 【典例精析】 例1：（xx全國(guó)1）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上，斜率為1且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，與共線． （1）求橢圓的離心率； （2）設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且，證明為定值． 解析:（1）設(shè)橢圓方程為,則直線AB的方程代入,化簡(jiǎn)得． 令,則． 由與共線, 得　　,又， ． 即,所以 ，， 故離心率． （2）由（１）知,所以橢圓可化為 設(shè),由已知得， 在橢圓上,， 即 ① 由（1）知， 又代入①，得． 故為定值,定值為1 ． 例2：（xx上海）如圖，點(diǎn)、分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且位于軸上方，． （1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)； （2）設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離的最小值． 解析:（1）由已知可得點(diǎn)A（－6，0），F(xiàn)（4，0） 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是 ， 由已知得 由于 （2）直線AP的方程是 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（m，0），則M到直線AP的距離是， 于是橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d，有 由于 例3：（xx福建）已知方向向量為的直線l過(guò)點(diǎn)（）和橢圓的焦點(diǎn)，且橢圓C的中心關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上. （1）求橢圓C的方程； O E （2）是否存在過(guò)點(diǎn)E（－2，0）的直線m交橢圓C于點(diǎn)M、N，滿足cot∠MON≠0（O為原點(diǎn)）.若存在，求直線m的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 解析:（1）直線， ① 過(guò)原點(diǎn)垂直的直線方程為， ② 解①②得 ∵橢圓中心（0，0）關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上， ∵直線過(guò)橢圓焦點(diǎn)，∴該焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）. 故橢圓C的方程為 ③ （2）設(shè)M（），N（）. 當(dāng)直線m不垂直軸時(shí)，直線代入③，整理得 O E M N O E M N 點(diǎn)O到直線MN的距離． 即 即 整理得 當(dāng)直線m垂直x軸時(shí)，也滿足. 故直線m的方程為 或或 經(jīng)檢驗(yàn)上述直線均滿足.所以所求直線方程為 或或 【常見(jiàn)誤區(qū)】 解析幾何問(wèn)題，基本上都與方程思想相結(jié)合，因而要注意直線方程與曲線方程聯(lián)立起來(lái)，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，或直接解出根，是高考常用的方法，要注意有關(guān)方法的練習(xí)、歸納，要注意運(yùn)算的優(yōu)化，要注意利用數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含性質(zhì),這也是考生思維的一個(gè)障礙點(diǎn). 【基礎(chǔ)演練】 1．(xx廣東) 若焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為，則m= （ ） A． B． C． D． 2．(xx福建) 設(shè)的最小值是 （ ） A． B． C．－3 D． 3．(xx全國(guó)3) 設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、、F2，過(guò)F2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是 （　?。? A． B． C． 　 D． 4．(xx江蘇) 點(diǎn)在橢圓的左準(zhǔn)線上，過(guò)點(diǎn)P且方向?yàn)榈墓饩€經(jīng)直線反射后通過(guò)橢圓的左焦點(diǎn),則這個(gè)橢圓的離心率為 （ ） A． B． C． D． 5．（xx重慶）已知是圓為圓心）上一動(dòng)點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交BF于P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為 . 6．如圖所示, 底面直徑為的圓柱被與底面成的平面所截， 其截口是一個(gè)橢圓，則這個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng) ， 短軸長(zhǎng) ，離心率為 ． 7．(xx遼寧) Ｑ y x O P 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是 、，是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿足， 點(diǎn)Ｐ是線段與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)Ｔ在線段上，并且 滿足． （1）設(shè)為點(diǎn)Ｐ的橫坐標(biāo)，證明 ； （2）求點(diǎn)Ｔ的軌跡Ｃ的方程； （3）試問(wèn)：在點(diǎn)Ｔ的軌跡Ｃ上，是否存在點(diǎn)Ｍ，使△的面積．若存在，求∠的正切值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 8．(xx湖南) ．已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，離心率為e. 直線l：y＝ex＋a與x軸．y軸分別交于點(diǎn)A、B，M是直線l與橢圓C的一個(gè)公共點(diǎn)，P是點(diǎn)F1關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)＝λ. （1）證明：λ＝1－e2； （2）若，△PF1F2的周長(zhǎng)為6，寫(xiě)出橢圓C的方程； （3）確定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形. 9．(xx湖北) 設(shè)A、B是橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N（1，3）是線段AB的中點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn). （1）確定的取值范圍，并求直線AB的方程； （2）試判斷是否存在這樣的，使得A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上？并說(shuō)明理由. 3．2 雙曲線 【考點(diǎn)透視】 一、考綱指要 熟練掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)． 二、命題落點(diǎn) 1．考查了圓錐曲線中雙曲線的漸近線方程與準(zhǔn)線方程，以及標(biāo)準(zhǔn)方程中a,b,c之間的關(guān)系,兩漸近線間的夾角的求法，如例1. 2．雙曲線的第一、第二定義在解題中的靈活運(yùn)用,如例2; 3．考查等邊三角形的性質(zhì)，焦點(diǎn)三角形公式及離心率公式，靈活運(yùn)用焦點(diǎn)三角形公式避免了繁瑣的運(yùn)算，突出觀察研究能力的考查，如例3. 【典例精析】 例1： (xx湖南) 已知雙曲線－＝1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線與一條漸近線交于點(diǎn)A，△OAF的面積為（O為原點(diǎn)），則兩條漸近線的夾角（ ）　 A．30　 B．45　 C．60　 D．90 解析:雙曲線的右焦點(diǎn)F(c,0)，右準(zhǔn)線方程為x=,一條漸近線方程為y=x，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)（，），△OAF的面積S△OAF=OF│YA│=c=ab,又題意已知S△OAF=a2,所以a=b,兩條漸近線間的夾角為900 . 答案： D 例2：(xx全國(guó)3)已知雙曲線的焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)M在雙曲線上且則點(diǎn)M到x軸的距離為 （　　） A． B． C． D． 解析: 設(shè)M到x軸的距離為h，∵， 又∵， 由雙曲線定義得， 再由，∴. 答案： C 例3：（xx福建）已知F1、F2是雙曲線的兩焦點(diǎn)，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率是( ) A． B． C． D． 解析:令，邊MF1交雙曲線于點(diǎn)N，連結(jié)N易知 答案： D 例4.（xx山東）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線與兩條漸近線交于P、兩點(diǎn)，如果是直角三角形，則雙曲線的離心率. 解析:如圖所示， 且， ,在中， ．　　?、? 　　②　　?、? 將②③代入①式化簡(jiǎn)得： 答案: 【常見(jiàn)誤區(qū)】 1．對(duì)雙曲線離心率、雙曲線漸近線等基本知識(shí)考察時(shí), 應(yīng)想法利用已知曲線構(gòu)造等式,從而解出的比值,即雙曲線的離心率.這一點(diǎn)考生常不能注意到,致使離心率求解出錯(cuò),如例3、例4. 2．解題過(guò)程中,特別是客觀題中,應(yīng)注意雙曲線第一第二定義的應(yīng)用,此問(wèn)題考生常會(huì)忽視,如例1、例2. 【基礎(chǔ)演練】 1．（xx廣東）已知雙曲線，則雙曲線右支上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離與點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離之比等于 （ ） A． B． C．2 D． 4 2． (xx天津) 設(shè)雙曲線以橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為焦點(diǎn)，其準(zhǔn)線過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，則雙曲線的漸近線的斜率為 （ ） A． B． C． D． 3．平面內(nèi)有兩個(gè)定點(diǎn)和一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)命題甲，是定值，命題乙：點(diǎn)的軌跡是雙曲線，則命題甲是命題乙的 （ ） A．充分但不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 4．雙曲線和它的共軛雙曲線的離心率分別為，則應(yīng)滿足的關(guān)系是 （ ?。? A． B． C． D． 5．(xx浙江) 過(guò)雙曲線(a＞0，b＞0)的左焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線相交于M、N兩點(diǎn)，以MN為直徑的圓恰好過(guò)雙曲線的右頂點(diǎn)，則雙曲線的離心率等于_________． 6．(xx江西) 以下幾個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中：①設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；②設(shè)定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)點(diǎn)弦AB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓；③方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；④雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn).其中真命題的序號(hào)為 （寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)） 7．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，左準(zhǔn)線為，能否在雙曲線的左支上求一點(diǎn)，使是到的距離與的等比中項(xiàng)？若能，求出的坐標(biāo)，若不能，說(shuō)明理由． 8．過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作雙曲線在第一、第三象限的漸近線的垂線，垂足為， 與雙曲線的左、右支的交點(diǎn)分別為． （1）求證：在雙曲線的右準(zhǔn)線上； （2）求雙曲線離心率的取值范圍． 9．是否同時(shí)存在滿足下列條件的雙曲線，若存在，求出其方程，若不存在，說(shuō)明理由． （1）漸近線方程為， （2）點(diǎn)到雙曲線上動(dòng)點(diǎn)的距離最小值為． 3．3 拋物線 【考點(diǎn)透視】 一、考綱指要 掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)． 二、命題落點(diǎn) 1．考察拋物線過(guò)焦點(diǎn)的性質(zhì),如例1; 2．拋物線上張直角問(wèn)題的探究, 考察拋物線上互相垂直的弦的應(yīng)用，如例2; 3．定值及定點(diǎn)問(wèn)題是解幾問(wèn)題研究的重點(diǎn)內(nèi)容,此類問(wèn)題在各類考試中是一個(gè)熱點(diǎn)，如例3. 【典例精析】 例1：(xx全國(guó)3) 設(shè)兩點(diǎn)在拋物線上，是AB的垂直平分線， （1）當(dāng)且僅當(dāng)取何值時(shí)，直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F？證明你的結(jié)論； （2）當(dāng)直線的斜率為2時(shí)，求在y軸上截距的取值范圍. 解析:（1）∵拋物線，即，∴， ∴焦點(diǎn)為 （i）直線的斜率不存在時(shí)，顯然有=0; （ii）直線的斜率存在時(shí)，設(shè)為k， 截距為b, 即直線：y=kx+B． 由已知得： 即的斜率存在時(shí)，不可能經(jīng)過(guò)焦點(diǎn) 所以當(dāng)且僅當(dāng)=0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F （2）設(shè)在y軸上截距為b， 即直線：y=2x+b，AB：．由得， ∴，且， ∴， ∴． 所以在y軸上截距的取值范圍為 例2：（xx廣東）x y O A B 在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線上異于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩不同動(dòng)點(diǎn)Ａ、Ｂ滿足（如圖所示） （1）求得重心（即三角形三條中線的交點(diǎn)） 的軌跡方程； （2）的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出 最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解析:?。?）∵直線的斜率顯然存在， ∴設(shè)直線的方程為， ，依題意得 ，① ∴，②　 ③ ∵，∴，即 ，④ 由③④得，，∴ ∴設(shè)直線的方程為 ∴①可化為 ，∴ ⑤， 設(shè)的重心G為，則 ⑥ ， ⑦， 由⑥⑦得 ，即，這就是的重心的軌跡方程． （2）由弦長(zhǎng)公式得 把②⑤代入上式，得 ， 設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則， ∴ ， ∴ 當(dāng)，有最小值， ∴的面積存在最小值，最小值是 ． 例3：(xx江西) M是拋物線上y2=x上的一點(diǎn)，動(dòng)弦ME、MF分別交x軸于A、B兩點(diǎn)，且MA=MB． （1）若M為定點(diǎn)，證明：直線EF的斜率為定值； （2）若M為動(dòng)點(diǎn)，且∠EMF=90，求△EMF的重心G的軌跡方程. 解析：（1）設(shè)M（y,y0），直線ME的斜率為k(k>0)， 則直線MF的斜率為－k，方程為 ∴由，消， 解得， ∴(定值)． 所以直線EF的斜率為定值． （2）直線ME的方程為 由得 同理可得 設(shè)重心G（x, y），則有 消去參數(shù)得 【常見(jiàn)誤區(qū)】 1．運(yùn)算正確率太低, 這是考生在解解析幾何問(wèn)題中常出現(xiàn)的問(wèn)題, 即會(huì)而不對(duì). 2．拋物線中的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程求解過(guò)程中常誤求出二倍關(guān)系; 3．定點(diǎn)與定值問(wèn)題總體思路不能定位,引入?yún)⒆兞窟^(guò)多,沒(méi)有求簡(jiǎn)意識(shí),使問(wèn)題復(fù)雜化. 【基礎(chǔ)演練】 1．(xx湖北) 雙曲線的離心率為2，有一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則mn的值為 （　　） A． B． C． D． 2． (xx遼寧) 已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，離心率為．若它的一條準(zhǔn)線與拋物線 的準(zhǔn)線重合，則該雙曲線與拋物線的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是 （ ） A． B． C． D．21 3．（xx全國(guó)1）已知雙曲線的一條準(zhǔn)線與拋物線的準(zhǔn)線重合，則該雙曲線的離心率為 （ ） A． B． C． D． 4．(xx江蘇) 拋物線上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是（ ） A． B． C． D．0 5．（xx上海）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于5，則這樣的直線 條. 6． (xx重慶) 連接拋物線上任意四點(diǎn)組成的四邊形可能是 （填寫(xiě)所有正確選項(xiàng)的序號(hào)）. ①菱形 ②有3條邊相等的四邊形 ③梯形 ④平行四邊形 ⑤有一組對(duì)角相等的四邊形 7．拋物線以軸為準(zhǔn)線，且過(guò)點(diǎn)，證明：不論點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置如何變化，拋物線頂點(diǎn)的軌跡的離心率是定值． 8. 已知拋物線，過(guò)動(dòng)點(diǎn)且斜率為的直線與該拋物線交于不同兩點(diǎn)，， （1）求取值范圍； （2）若線段垂直平分線交軸于點(diǎn)，求面積的最大值 9．(xx北京春,理22)已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)P(1,0),且與定直線相切,點(diǎn)C在l上. （1）求動(dòng)圓圓心的軌跡M的方程； （2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P,且斜率為－的直線與曲線M相交于A,B兩點(diǎn). (i)問(wèn)：△ABC能否為正三角形？若能,求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不能,說(shuō)明理由； (ii)當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí),求這種點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍. 3．4直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 【考點(diǎn)透視】 一、考綱指要 1．掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判定方法，能夠把研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究方程組的解的問(wèn)題； 2．會(huì)利用直線與圓錐曲線的方程所組成的方程組消去一個(gè)變量，將交點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問(wèn)題，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系及判別式解決問(wèn)題; 3．能利用弦長(zhǎng)公式解決直線與圓錐曲線相交所得的弦長(zhǎng)的有關(guān)問(wèn)題，會(huì)運(yùn)用圓錐曲線的第二定義求焦點(diǎn)弦長(zhǎng)； 4．體會(huì)“設(shè)而不求”、“方程思想”和“待定系數(shù)”等方法. 二、命題落點(diǎn) 1．考查直線與橢圓相切、直線方程、直線到直線的距離等知識(shí)，如例1; 2．考查直線與圓、圓錐曲線的位置關(guān)系.處理直線與曲線的位置關(guān)系的一般方法是方程思想:由直線方程與曲線方程聯(lián)立方程組,通過(guò)判別式△確定解的個(gè)數(shù)(交點(diǎn)個(gè)數(shù)),而直線與圓可以用圓心到直線距離與半徑的大小關(guān)系進(jìn)行判定,如例2; 3．考查橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓方程，兩條直線的夾角、點(diǎn)的坐標(biāo)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力，如例3. 【典例精析】 例1：(xx山東) 設(shè)直線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的直線為，若與橢圓的交點(diǎn)為A、B、，點(diǎn)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則使的面積為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 解析:如右圖,根據(jù)題意易得 與關(guān)系O對(duì)稱 設(shè)過(guò)圓上一點(diǎn)且平行與的直線方程為 聯(lián)立得： 若與橢圓相切則可求得： 即,到的最小距離為　?、? 到的最大距離為　　　　② ，（為P到AB的距離），，． 由①②式可知滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè). 答案: B 例2：(xx北京春)若直線mx+ ny-3=0與圓x2+y2=3沒(méi)有公共點(diǎn),則m,n滿足的關(guān)系式為_(kāi)______;以(m,n)為點(diǎn)P的坐標(biāo),過(guò)點(diǎn)P的一條直線與橢圓的公共點(diǎn)有____個(gè). 解析: ∵直線mx+ny-3=0與圓x2+y2=3沒(méi)有公共點(diǎn),∴>,解得00)與直線l:x+y=1相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B． （1）求雙曲線C的離心率e的取值范圍; （2）設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)為P,且求a的值. 8．（xx重慶）已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為（2，0），右頂點(diǎn)為 （1）求雙曲線C的方程； （2）若直線與雙曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且（其中O為原點(diǎn)）. 求k的取值范圍. 9． (xx全國(guó)３)設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是F1(-c,0)與F2(c,0)(c>0),且橢圓上存在點(diǎn)P,使得直線PF1與直線PF2垂直. （1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍； （2）設(shè)L是相應(yīng)于焦點(diǎn)F2的準(zhǔn)線,直線PF2與L相交于點(diǎn)Q.若,求直線PF2的方程. 3．5 軌跡方程的求法 【考點(diǎn)透視】 一、考綱指要 1．掌握求軌跡方程的兩種基本方法——直接法和定義法； 2．掌握直接法求軌跡方程的基本步驟; 3．掌握求軌跡方程的另幾種方法——相關(guān)點(diǎn)法（代入法）、參數(shù)法（交軌法）； 4．學(xué)會(huì)用適當(dāng)?shù)膮?shù)去表示動(dòng)點(diǎn)的軌跡，掌握常見(jiàn)的消參法． 二、命題落點(diǎn) 1．運(yùn)用向量坐標(biāo)運(yùn)算考察軌跡方程的求解，如例1; 2．考查橢圓與拋物線的基礎(chǔ)知識(shí),即標(biāo)準(zhǔn)方程與圖形的基本關(guān)系,同時(shí),考查代數(shù)式的恒等變形及簡(jiǎn)單的邏輯推理能力,如例2; 3．考查圓錐曲線的概念、方程與性質(zhì),以及向量、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用,考查考生的推理能力和運(yùn)算能力.如例3求直線l的斜率,要充分利用條件“”實(shí)施幾何特征向數(shù)量 關(guān)系的轉(zhuǎn)化：首先向量特征可轉(zhuǎn)化為定比分點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題,但要注意內(nèi)、外分點(diǎn)兩種情形的討論；其次設(shè)直線斜率為k,用k、m表示出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；最后由Q點(diǎn)在橢圓上,列方程即可求解. 【典例精析】 例1：(xx遼寧,6)已知點(diǎn)A(-2,0)、B(3,0),動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿足,則點(diǎn)P的軌跡是（ ） A．圓　 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線 解析 ∵=(x+2,y),=(x-3,y),∴=(x+2)(x-3)+y2=x2,化簡(jiǎn),得y2=x+6. 答案：D 例2：(xx北京春)在同一坐標(biāo)系中,方程與　的曲線大致是（ ） A B C D 解析:將方程與轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程：,．因?yàn)?因此,所以有：橢圓的焦點(diǎn)在y軸,拋物線的開(kāi)口向左,得D選項(xiàng)． 答案: D 例3：(xx江蘇)已知橢圓的中心在原點(diǎn),離心率為,一個(gè)焦點(diǎn)是F(-m,0)(m是大于0的常數(shù)). （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)Q是橢圓上的一點(diǎn),且過(guò)點(diǎn)F、Q的直線與y軸交于點(diǎn)M.若,求直線的斜率. 解析：(1)設(shè)所求橢圓方程為(a>b>0).由已知條件,得c=m, ,所以a=2m, b=m, 故所求橢圓方程是. （2）設(shè)Q(x0,y0),直線l:y=k(x+m),則點(diǎn)M(0,km).　當(dāng)時(shí),由于F(-m,0),M(0,km),由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式,得 x0=, y0=. 又點(diǎn)Q在橢圓上,∴,解得 k=2. 當(dāng)時(shí),x0=, y0=. 于是 ,解得 k=0.故直線l的斜率是0或2. 【常見(jiàn)誤區(qū)】 1．曲線的定義是定義法求軌跡方程的關(guān)鍵, 但考生在解題中常忽略定義法求軌跡,致使簡(jiǎn)易的軌跡方程求法變得復(fù)雜; 2．軌跡與軌跡方程是不同的概念, 求軌跡時(shí)需要將軌跡的方程及具體形狀焦點(diǎn)等位置關(guān)系說(shuō)清楚,軌跡方程則需要注明一些帶有限制條件的點(diǎn),或方程求解過(guò)程中忽略的一些軌跡,這一點(diǎn)要切記. 【基礎(chǔ)演練】 1．(xx京皖春)到兩個(gè)坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是 （ ） A．x-y=0 B．x+y=0 C．|x|-y=0 D．|x|-|y|=0 2．(xx全國(guó)４)已知橢圓的中心在原點(diǎn),離心率e=,且它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2=-4x的焦點(diǎn)重合,則此橢圓方程為 （ ） A． B． C． D． 3．(xx浙江)曲線y2=4x關(guān)于直線x=2對(duì)稱的曲線方程是 （ ） A．y2=8-4x 　 B．y2=4x-8 C．y2=16-4x D．y2=4x-16 4．(xx京皖春,3)已知橢圓的焦點(diǎn)是F1,F2,P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),如果延長(zhǎng)F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是 （ ） A．圓 B．橢圓 C．雙曲線的一支 D．拋物線 5．(xx成都調(diào)研)在直角坐標(biāo)系中,到兩個(gè)坐標(biāo)軸的距離之和為定值1的點(diǎn)的軌跡是 . 6．(xx南通三模)設(shè)雙曲線 (a,b＞0)兩焦點(diǎn)為F1、、F2,點(diǎn)Q為雙曲線上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn),過(guò)焦點(diǎn)F1作∠F1QF2的平分線的垂線,垂足為P,則P點(diǎn)軌跡是 . 7．(xx北京春)已知點(diǎn)A(2,8), B(x1,y1),C(x2,y2)在 拋物線y2=2px上,△ABC的重心與此拋物線的焦點(diǎn)F重 合(如圖) （1）寫(xiě)出該拋物線的方程和焦點(diǎn)F的坐標(biāo); （2）求線段BC中點(diǎn)M的坐標(biāo); （3）求BC所在直線的方程. 8．(xx遼寧) 設(shè)橢圓方程為,過(guò)點(diǎn)M(0,1)的直線l交橢圓于點(diǎn)A、B,O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P滿足,點(diǎn)N的坐標(biāo)為,當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí),求： （1）動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程； （2）的最小值與最大值. 9．(xx重慶) 設(shè)是一常數(shù),過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于相異兩點(diǎn)A、B,以線段AB為直徑作圓H(H為圓心).試證拋物線頂點(diǎn)在圓H的圓周上；并求圓H的面積最小時(shí)直線AB的方程. 3．6 圓錐曲線的應(yīng)用 【考點(diǎn)透視】 一、考綱指要 1．會(huì)按條件建立目標(biāo)函數(shù)研究變量的最值問(wèn)題及變量的取值范圍問(wèn)題，注意運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”、“幾何法”求某些量的最值． 2．進(jìn)一步鞏固用圓錐曲線的定義和性質(zhì)解決有關(guān)應(yīng)用問(wèn)題的方法． 二、命題落點(diǎn) 1．考查地理位置等特殊背景下圓錐曲線方程的應(yīng)用,修建公路費(fèi)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為距離最值問(wèn)題數(shù)學(xué)模型求解，如例1; 2．考查直線、拋物線等基本知識(shí),考查運(yùn)用解析幾何的方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，如例2; 3．考查雙曲線的概念與方程，考查考生分析問(wèn)題和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，如例3. B A Q P C M 東 北 【典例精析】 例1：(xx福建)如圖,B地在A地的正東方向4km處,C地在B地的北偏東300方向2km處,河流的沿岸PQ(曲線)上任意一點(diǎn)到A的距離比到B的距離遠(yuǎn)2km.現(xiàn)要在曲線PQ上選一處M建一座碼頭,向B、C兩地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物.經(jīng)測(cè)算,從M到B、M到C修建公路的費(fèi)用分別是a萬(wàn)元/km、2a萬(wàn)元/km,那么修建這兩條公路的總費(fèi)用最低是（ ） A．(2-2)a萬(wàn)元 B．5a萬(wàn)元 B A Q P C M 東 北 E G H D C． (2+1)a萬(wàn)元 D．(2+3)a萬(wàn)元 解析:設(shè)總費(fèi)用為y萬(wàn)元,則y=aMB+2aMC ∵河流的沿岸PQ(曲線)上任意一點(diǎn)到A的距離比到B的距離遠(yuǎn)2km., ∴曲線PG是雙曲線的一支,B為焦點(diǎn),且a=1,c=2. 過(guò)M作雙曲線的焦點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線l的垂線,垂足為D(如圖).由雙曲線的第二定義,得=e,即MB=2MD． ∴y= a2MD+ 2aMC=2a(MD+MC)≥2aCE.(其中CE是點(diǎn)C到準(zhǔn)線l的垂線段). ∵CE=GB+BH=(c-)+BCcos600=(2-)+2=. ∴y≥5a(萬(wàn)元). 答案:B． 例2：(xx北京,理17)如圖,過(guò)拋物線y2=2px(p>0)上一定點(diǎn)P(x0,y0)(y0>0),作兩條直線分別交拋物線于A(x1，y1),B(x2，y2). （1）求該拋物線上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離; （2）當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí), 求的值,并證明直線AB的斜率是非零常數(shù). 解析:(１)當(dāng)y=時(shí),x=. 又拋物線y2=2px的準(zhǔn)線方程為x=-,由拋物線定義得, 所求距離為. （2）設(shè)直線PA的斜率為kPA,直線PB的斜率為kPB． 由y12=2px1,y02=2px0,相減得:, 故.同理可得, 由PA、PB傾斜角互補(bǔ)知 , 即, 所以, 故. 設(shè)直線AB的斜率為kAB, 由,,相減得 , 所以. 將代入得, 所以kAB是非零常數(shù). 例3：(xx廣東)某中心接到其正東、正西、正北方向三個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的報(bào)告：正西、正北兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)同時(shí)聽(tīng)到了一聲巨響,正東觀測(cè)點(diǎn)聽(tīng)到的時(shí)間比其他兩觀測(cè)點(diǎn)晚4s.已知各觀測(cè)點(diǎn)到該中心的距離都是1020m,試確定該巨響發(fā)生的位置.(假定當(dāng)時(shí)聲音傳播的速度為340m/s,相關(guān)各點(diǎn)均在同一平面上) x y O C P A A BN 解析：如圖,以接報(bào)中心為原點(diǎn)O,正東、正北方向?yàn)閤軸、y軸正向,建立直角坐標(biāo)系.設(shè)A、B、C分別是西、東、北觀測(cè)點(diǎn),則A(－1020,0),B(1020,0),C(0,1020). 設(shè)P(x,y)為巨響發(fā)生點(diǎn),由A、C同時(shí)聽(tīng)到巨響聲,得|PA|=|PC|, 故P在AC的垂直平分線PO上,PO的方程為y=－x,因B點(diǎn)比A點(diǎn)晚4s聽(tīng)到爆炸聲,故|PB|－|PA|=3404=1360. 由雙曲線定義知P點(diǎn)在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線上, 依題意得a=680,c=1020,∴b2=c2-a2=10202-6802=53402, 故雙曲線方程為.用y=－x代入上式,得x=680, ∵|PB|>|PA|,∴x=-680,y=680,　即P(-680,680),　故PO=680. 答：巨響發(fā)生在接報(bào)中心的西偏北450距中心680 m處. 【常見(jiàn)誤區(qū)】 1．圓錐曲線實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題多帶有一定的實(shí)際生活背景, 考生在數(shù)學(xué)建模及解模上均不同程度地存在著一定的困難, 回到定義去, 將實(shí)際問(wèn)題與之相互聯(lián)系,靈活轉(zhuǎn)化是解決此類難題的關(guān)鍵; 2．圓錐曲線的定點(diǎn)、定量、定值等問(wèn)題是隱藏在曲線方程中的固定不變的性質(zhì), 考生往往只能浮于表面分析問(wèn)題,而不能總結(jié)出其實(shí)質(zhì)性的結(jié)論,致使問(wèn)題研究徘徊不前,此類問(wèn)題解決需注意可以從特殊到一般去逐步歸納,并設(shè)法推導(dǎo)論證. 【基礎(chǔ)演練】 1．(xx重慶) 若動(dòng)點(diǎn)（）在曲線上變化，則的最大值為 （ ） A． B． C． D．2 2．(xx全國(guó))設(shè),則二次曲線的離心率的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 3．(xx精華教育三模)一個(gè)酒杯的軸截面是一條拋物線的一部分,它 的方程是x2＝2y,y∈[0,10] 在杯內(nèi)放入一個(gè)清潔球,要求清潔球能 擦凈酒杯的最底部(如圖),則清潔球的最大半徑為（ ） A． B．1 C． D．2 4． (xx泰州三模)在橢圓上有一點(diǎn)P,F1、F2是橢圓的左右焦點(diǎn),△F1PF2為直角三角形,則這樣的點(diǎn)P有 （ ） A．2個(gè) B．4個(gè) C．6個(gè) D．8個(gè) 5．(xx湖南) 設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn),且橢圓上至少有21個(gè)不同的點(diǎn)Pi(i=1,2,3,…),使|FP1|,|FP2|, |FP3|,…組成公差為d的等差數(shù)列,則d的取值范圍為 . 6．(xx上海) 教材中“坐標(biāo)平面上的直線”與“圓錐曲線”兩章內(nèi)容體現(xiàn)出解析幾何的本質(zhì)是 . 7．(xx浙江)已知雙曲線的中心在原點(diǎn), 右頂點(diǎn)為A(1,0),點(diǎn)P、Q在雙曲線的右支上, 點(diǎn)M(m,0)到直線AP的距離為1, （1）若直線AP的斜率為k,且|k|[], 求實(shí)數(shù)m的取值范圍； （2）當(dāng)m=+1時(shí),△APQ的內(nèi)心恰好是點(diǎn)M, 求此雙曲線的方程. 8． (xx上海) 如圖, 直線y=x與拋物 線y=x2-4交于A、B兩點(diǎn), 線段AB的垂直平 分線與直線y=-5交于Q點(diǎn). （1）求點(diǎn)Q的坐標(biāo)； （2）當(dāng)P為拋物線上位于線段AB下方 (含A、B) 的動(dòng)點(diǎn)時(shí), 求ΔOPQ面積的最大值. 9．(xx北京春) 2003年10月15日9時(shí),“神舟”五號(hào)載人飛船發(fā)射升空,于9時(shí)9分50秒準(zhǔn)確進(jìn)入預(yù)定軌道,開(kāi)始巡天飛行.該軌道是以地球的中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓.選取坐標(biāo)系如圖所示,橢圓中心在原點(diǎn).近地點(diǎn)A距地面200km,遠(yuǎn)地點(diǎn)B距地面350km.已知地球半徑R＝6371km. （1）求飛船飛行的橢圓軌道的方程; （2）飛船繞地球飛行了十四圈后,于16日5時(shí)59分返回艙與推進(jìn)艙分離,結(jié)束巡天飛行,飛船共巡天飛行了約,問(wèn)飛船巡 天飛行的平均速度是多少km/s？(結(jié)果精確 到1km/s)(注:km/s即千米/秒) 本章測(cè)試題 一、選擇題（每小題5分，共60分．） 1．如果三點(diǎn)在同一條直線上，那么的值是 （　?。? A．－6 B．－7 C．－8 D．－9 2．有5輛6噸的汽車(chē)和4輛4噸的汽車(chē)，要運(yùn)送最多貨物，完成這項(xiàng)運(yùn)輸任務(wù)的線性目標(biāo) 函數(shù)是 （　?。? A． B． C． D． 3．曲線與曲線一定有 （　?。? A．相等的長(zhǎng)軸 B．相等的焦距 C．相等的離心率 D．相同的準(zhǔn)線 4．將直線繞著它與軸的交點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角后，在軸上的截距是 （　?。? A． B． C． D． 5．在同一坐標(biāo)系中，方程的曲線大致是 （ 　 ） 6．雙曲線的漸近線為,且過(guò)點(diǎn),則此雙曲線的共軛雙曲線的方程為 （　 ） A． B． C． D． 7．已知直線相切，則三條邊長(zhǎng)分別為的三角形 （　?。? A．是銳角三角形 B．是直角三角形 C．是鈍角三角形 D．不存在 8．一動(dòng)圓圓心在拋物線上,且動(dòng)圓恒與直線相切,則動(dòng)圓必過(guò)定點(diǎn)（　 ） A． B． C． D． 9．翰林匯已知,直線：，直線： ，與的位置關(guān)系是 （　　） A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直 10．橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)三等分它的兩條準(zhǔn)線間的距離，那么它的離心率是 （　?。? A． B． C． D． 11．已知拋物線的焦點(diǎn)弦的兩端點(diǎn)為,,則式子 的值一定等于 （　?。? A． B． C． D． 12．已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為直線與其相交于M、N兩點(diǎn)， MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為則此雙曲線的方程是 （　?。? A． B． C． D． 二、填空題（每小題4分，共16分．） 13．拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，且焦點(diǎn)在直線 上，則此拋物線方程為_(kāi)_________________. 14．如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)， 點(diǎn)P在橢圓上，△POF2是面積為的正三角形，則 的值是 . 15．若直線沿軸負(fù)方向平移3個(gè)單位，再沿軸正方向平移一個(gè)單位后，又回到原來(lái)的位置，那么直線的斜率為. 16．給出問(wèn)題：F1、F2是雙曲線=1的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上.若點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距 離等于9，求點(diǎn)P到焦點(diǎn)F2的距離.某學(xué)生的解答如下： 雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為8，由||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17. 該學(xué)生的解答是否正確？若正確，請(qǐng)將他的解題依據(jù)填在下面空格內(nèi)，若不正確，將正確的結(jié)果填在下面空格內(nèi). ___________________________________________________________________________. 三、解答題（本題共74分．） 17．（本小題滿分12分）已知橢圓的焦點(diǎn)為和，直線是橢圓的一條準(zhǔn)線. （1）求橢圓的方程； （2）又設(shè)在此橢圓上，且，求的值. 18．（本小題滿分12分）已知圓， （1）若為圓上任一點(diǎn)，，求的最大值和最小值； （2）求的最大值和最小值； （3）求的最大值. 19．（本小題滿分12分）已知點(diǎn)、，為坐標(biāo)原點(diǎn). （1）若點(diǎn)在線段上，且，求的面積； （2）若原點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，延長(zhǎng)到，且.已知直線：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求直線的傾斜角. 20．（本小題滿分12分）如圖，為拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線內(nèi)一定點(diǎn)，為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且的最小值為8. （1）求該拋物線方程； P （2）如果過(guò)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)， A 且，求直線傾斜角的取值范圍. O F 21．（本題滿分1２分） 如圖，某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車(chē)道，車(chē)道總寬22米，要求通行車(chē)輛限高4.5米，隧道全長(zhǎng)2.5千米，隧道的拱線近似地看成半個(gè)橢圓形狀. （1）若最大拱高為6米，則隧道設(shè)計(jì)的拱 寬是多少？ （2）若最大拱高不小于6米，則應(yīng)如何設(shè) 計(jì)拱高和拱寬，才能使半個(gè)橢圓形隧道的 土方工程量最??？ （半個(gè)橢圓的面積公式為，柱體體積為：底面積乘以高.） 22．（本題滿分14分）在以為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為的直角頂點(diǎn).已知，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于零. （1）求向量的坐標(biāo)； （2）求圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程； （3）是否存在實(shí)數(shù)，使拋物線上總有關(guān)于直線對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)？若不存 在，說(shuō)明理由：若存在，求的取值范圍. 參考答案 3．1 橢圓 1. B 2. C 3. D 4. A 5. 6. 7. Ｑ y x O P （1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 由P在橢圓上，得 由，所以 （2）設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)（，0）和點(diǎn)（－，0）在軌跡上. 當(dāng)|時(shí)，由，得.又，所以T為線段F2Q的中點(diǎn).在△QF1F2中，，所以有綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是 ③ ④ （3）C上存在點(diǎn)M（）使S=的充要條件是 由④得 上式代入③得 于是，當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)M，使S=；當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件的點(diǎn)M. 當(dāng)時(shí)，記，由知 ，所以 8. （1）因?yàn)锳、B分別是直線l：與x軸、y軸的交點(diǎn)，所以A、B的坐標(biāo)分別 . 所以點(diǎn)M的坐標(biāo)是（）. 由 即 （2）當(dāng)時(shí)，，所以 由△MF1F2的周長(zhǎng)為6，得所以 橢圓方程為 （3） 因?yàn)镻F1⊥l，所以∠PF1F2=90+∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即 設(shè)點(diǎn)F1到l的距離為d，由得 所以即當(dāng)△PF1F2為等腰三角形. 9. （1）依題意，可設(shè)直線AB的方程為，整理得 ① 設(shè)①的兩個(gè)不同的根， ②　是線段AB的中點(diǎn)，得解得k=-1，代入②得，>12，即的取值范圍是（12，+）.于是，直線AB的方程為 （2）代入橢圓方程，整理得 ③ ③的兩根， 于是由弦長(zhǎng)公式可得 ④ 將直線AB的方程 ⑤ 同理可得 ⑥ 假設(shè)在>12，使得A、B、C、D四點(diǎn)共圓，則CD必為圓的直徑，點(diǎn)M為圓心.點(diǎn)M到直線AB的距離為 ⑦ 于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得 故當(dāng)時(shí)，A、B、C、D四點(diǎn)均在以M為圓心，為半徑的圓上. 3．2 雙曲線 1.C 2. C 3. B 4. D 5. 2 6. ③④ 7. ∵雙曲線中，，∴，設(shè)滿足條件，則，得， ，與三角形兩邊之和大于第三邊矛盾．不存在滿足條件的點(diǎn)． 8. 雙曲線在第一、第三象限的漸近線方程為： ① 設(shè)方程為．∵在上，∴， 方程為 ②， 聯(lián)立①②得，即在雙曲線的右準(zhǔn)線上． （2）由，得， 與雙曲線的左、右支的交點(diǎn)分別為， ， ，，∴，∴． 9. 由雙曲線漸近線方程設(shè)雙曲線方程為，∴，設(shè)， ∵， 當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，有， ①當(dāng)時(shí)，，，， ②當(dāng)時(shí)，，，無(wú)解， ③當(dāng)時(shí)，，，， 所求雙曲線方程為． 3．3 拋物線 1. A 2. B 3. D 4. B 5. 有且僅有兩條 6. ②③⑤ 7. 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)拋物線的定義可知，點(diǎn)到點(diǎn) 的距離等于點(diǎn)到軸的距離，則① 又設(shè)拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵為線段的中點(diǎn)，則, 代入①得， 即拋物線的頂點(diǎn)的軌跡方程為：， ∵，∴拋物線頂點(diǎn)的軌跡是橢圓，其中長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，短半軸長(zhǎng)為， 則半焦距，所以它的離心率為定值. 8. （1）由題知的方程為，設(shè)， 由，得， ∴，得， ∵， ∴，， 得，∴取值范圍． （2）的中點(diǎn)，∴線段垂直平分線方程：， ∴， ， 當(dāng)時(shí)面積的最大值． 9. (1)依題意,曲線M是以點(diǎn)P為焦點(diǎn),直線l為準(zhǔn)線的拋物線,所以曲線M的方程為. (2)(i)由題意得,直線AB的方程為 消y得 所以A點(diǎn)坐標(biāo)為,B點(diǎn)坐標(biāo)為(3,), 假設(shè)存在點(diǎn)C(－1,y),使△ABC為正三角形, 則|BC|=|AB|且|AC|=|AB|, 即 由①－②得 但不符合①,所以由①,②組成的方程組無(wú)解. 因此,直線l上不存在點(diǎn)C,使得△ABC是正三角形. (ii)設(shè)C(－1,y)使△ABC成鈍角三角形,由, 即當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－1,)時(shí),A,B,C三點(diǎn)共線,故. 又, , . 當(dāng),即,即為鈍角. 當(dāng),即,即為鈍角.又 ,即 ,即 . 該不等式無(wú)解,所以∠ACB不可能為鈍角. 因此,當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí),點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是. 3．4 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 1. C 2. C 3. B 4. A 5. (-∞,-) 6. [-1,3] 7. (1)由C與l相交于兩個(gè)不同的點(diǎn),故知方程組 有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.消去y并整理得 (1-a2)x2+2a2x-2a2=0. ① 雙曲線的離心率 （2）設(shè) 由于x1，x2都是方程①的根， 且1-a2≠0, 8. （1）設(shè)雙曲線方程為 由已知得 故雙曲線C的方程為 （2）將 由直線l與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)得 即 ① 設(shè)，則 而 于是 ② 由①、②得 故k的取值范圍為 9. (1)由題設(shè)有m>0,c=.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),由PF1⊥PF2,得 化簡(jiǎn)得 x02+y02=m. ①; 將①與聯(lián)立,解得由 所以m的取值范圍是m≥1. (2)準(zhǔn)線L的方程為設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x1,y1),則 ∴ ② 將 代入②,化簡(jiǎn)得 由題設(shè),得 , 無(wú)解. 將 代入②，化簡(jiǎn)得 由題設(shè),得 . 解得m=2. 從而,得到PF2的方程 3．5 軌跡方程的求法 1. D 2. A 3. C 4. A 5. 正方形 6. 圓的一部分 7. (1)由點(diǎn)A(2,8)在拋物線上,有 解得 所以拋物線方程為,焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(8,0) (2)如圖,由F(8,0)是的重心,M是BC的中點(diǎn),所以F是線段AM的定比分點(diǎn),且，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為,則． 解得,所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為． (3)由于線段BC的中點(diǎn)M不在x軸上,所以BC所在的直線不垂直于x軸. 設(shè)BC所成直線的方程為 由消x得 所以. 由(２)的結(jié)論得, 解得. 因此BC所在直線的方程為 ,即. 8. (1)直線l過(guò)點(diǎn)M(0,1)設(shè)其斜率為k,則l的方程為記、由題設(shè)可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)、是方程組 的解. 將①代入②并化簡(jiǎn)得,,所以于是＝＝．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為則消去參數(shù)k得 ③ 當(dāng)k不存在時(shí),A、B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0),也滿足方程③,所以點(diǎn)P的軌跡方程為 (2)由點(diǎn)P的軌跡方程知所以＝＝ ＝,故當(dāng),取得最小值,最小值為時(shí),取得最大值,最大值為 9. 由題意,直線AB不能是水平線, 故可設(shè)直線方程為：. 又設(shè),則其坐標(biāo)滿足 消去x得 , 由此得, 因此. 即OA⊥OB． 故O必在圓H的圓周上.又由題意圓心H()是AB的中點(diǎn), 故, 由前已證,OH應(yīng)是圓H的半徑,且. 從而當(dāng)k=0時(shí),圓H的半徑最小,亦使圓H的面積最小. 此時(shí),直線AB的方程為：x=2p. 8．6 圓錐曲線的應(yīng)用 1. A 2. D 3. B 4. A 5. 6. 用代數(shù)的方法研究圖形的幾何性質(zhì)． 7. (1)由條件得直線AP的方程即 因?yàn)辄c(diǎn)M到直線AP的距離為1, ∴ 即. ∵∴ 解得+1≤m≤3或-1≤m≤1-. ∴m的取值范圍是 (2)可設(shè)雙曲線方程為由得.又因?yàn)镸是ΔAPQ的內(nèi)心,M到AP的距離為1,所以∠MAP=45,直線AM是∠PAQ的角平分線,且M到AQ、PQ的距離均為1.因此,(不妨設(shè)P在第一象限)直線PQ方程為.直線AP的方程y=x-1,∴解得P的坐標(biāo)是(2+,1+),將P點(diǎn)坐標(biāo)代入得,,所以所求雙曲線方程為 即 8. ⑴解方程組,得或,即A(－4,－2),B(8,4), 從而AB的中點(diǎn)為M(2,1).由kAB=,直線AB的垂直平分線方程y－1=-2(x－2).令y=－5, 得x=5, ∴Q(5,－5) (2) 直線OQ的方程為x+y=0, 設(shè)P(x, x2－4).∵點(diǎn)P到直線OQ的距離d==, ,∴SΔOPQ＝＝.∵P為拋物線上位于線段AB下方的點(diǎn), 且P不在直線OQ上, ∴－4≤x<4－4或4－40,得v=8,故=（6，8）. （2）由=（10，5），得B（10，5），于是直線OB方程： 由條件可知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x－3)2+(y+1)2=10, 得圓心（3，－1），半徑為.設(shè)圓心（3，－1）關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)為（x ,y）則 故所求圓的方程為(x－1)2+(y－3)2=10. （3）設(shè)P (x1,y1), Q (