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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)21 直線、平面之間的位置關(guān)系練習(xí) 1.（xx湖北高考文科Ｔ4）用，，表示三條不同的直線，表示平面，給出下列命題： ①若∥，∥，則∥； ②若⊥，⊥，則⊥； ③若∥，∥，則∥； ④若⊥，⊥，則∥. 其中真命題的序號(hào)是（ ） （A）①② （B）②③ （C）①④ （D）③④ 【命題立意】本題主要考查立體幾何中的線線、線面關(guān)系，考查考生的邏輯推理和空間想象能力． 【思路點(diǎn)撥】空間中線線平行具有傳遞性，線線垂直不具有傳遞性，線面平行不具有傳遞性. 【規(guī)范解答】選C.由空間直線的平行公理知①正確；⊥，⊥時(shí)，與可以平行、相交也可以異面，故②錯(cuò)；∥，∥時(shí)，與可以平行、相交也可以異面，故③錯(cuò)；由直線與平面垂直的性質(zhì)定理知④正確. 2.（xx江西高考文科Ｔ１１）如圖，是正方體的棱的中點(diǎn)，給出下列命題 ①過點(diǎn)有且只有一條直線與直線，都相交； ②過點(diǎn)有且只有一條直線與直線，都垂直； ③過點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線，都相交； ④過點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線，都平行. 其中真命題是：（ ） （A）②③④ （B）①③④ （C）①②④ （D）①②③ 【命題立意】本題主要考查空間中線與線的位置關(guān)系、線與 面的位置關(guān)系，考查空間想象力． 【思路點(diǎn)撥】由線與線、線與面關(guān)系定理直接判斷. 【規(guī)范解答】選C.①如圖：設(shè)分別為，的中點(diǎn)， 則平面平面,這個(gè)交線是唯一的， 且.正確. ②這條唯一成立的直線是,正確；③顯然平面, 平面BDD1B1等與直線，都相交，錯(cuò)誤;④這樣的唯 一平面是過且與上、下底面都平行的平面，正確.故選C. 3.（xx全國高考卷Ⅰ文科Ｔ6）直三棱柱中，若，，則異面直線與所成的角等于（ ） (A) (B) (C) (D) 【命題立意】本小題主要考查直三棱柱的性質(zhì)、異面直線所成的角、異面直線所成的角 的求法. 【規(guī)范解答】選C. 如圖：延長(zhǎng)到，使得，連結(jié),則為平行四邊形，∴就是異面直線與所成的角，又三角形為等邊三角形， ∴. 【方法技巧】求兩條異面直線所成的角的方法： （1）兩條異面直線所成的角，是借助平面幾何中的角的概念予以定義的，是研究空間兩條直線的基礎(chǔ). （2）“等角定理”為兩條異面直線所成角的定義提供了可能性與唯一性，過空間任一點(diǎn)，引兩條直線分別平行于兩條異面直線，它們所成的銳角（或直角）都是相等的，而與所取點(diǎn)的位置無關(guān). （3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積公式：求解. 4.（xx全國高考卷Ⅰ理科Ｔ7）正方體中，與平面所成角的余弦值 為（ ） (A) (B) (C) (D) 【命題立意】本小題主要考查正方體的性質(zhì)、直線與平面所成的角、點(diǎn)到平面的距離的求法，突出考查學(xué)生的空間想象能力和運(yùn)算能力. 【思路點(diǎn)撥】畫出正方體圖形，利用輔助線并結(jié)合正方體的性質(zhì)，找到線面垂直關(guān)系確定與平面所成角. 【規(guī)范解答】選D.設(shè)上下底面的中心分別為；如圖：則∥， 與平面所成角就是與平面所成角， . 【方法技巧】求立體幾何中的線面角的方法： （1）定義法：先作出斜線在平面內(nèi)的射影，則斜線與射影的夾角就是斜線與平面所成的夾角，然后在直角三角形中，求出這個(gè)角的某種函數(shù)值， 最后求出這個(gè)角. （2）公式法：利用公式 （3）向量法： 5.（xx全國高考卷Ⅱ文科Ｔ8）已知三棱錐中，底面為邊長(zhǎng)等于的等邊三角形， 垂直于底面，,那么直線與平面所成角的正弦值為（ ） (A) (B) (C) (D) 【命題立意】本題考查線面角的概念及其求法. 【思路點(diǎn)撥】先找到與面垂直的平面，再作出該平面的垂線，找 到直線在平面上的射影，然后作出所求的線面角求解. 【規(guī)范解答】 選D，如圖： 取的中點(diǎn)，連結(jié) ，， 過作，連結(jié),則即所求， ,, 所以,. 【方法技巧】正確作出線面角是解決此類問題的關(guān)鍵,作線面角的方法是先找到平面的垂線，可以利用面面垂直的性質(zhì)，過一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)向另一平面作交線的垂線，這樣就找到該斜線在平面內(nèi)的射影，從而找到線面角.在求角的函數(shù)值時(shí)注意計(jì)算要準(zhǔn)確. 6.（xx江西高考理科Ｔ１０）過正方體的頂點(diǎn)作直線，使與棱所成的角都相等，這樣的直線可以作( ). (A)1條 (B)2條 (C)3條 (D)4條 【命題立意】本題主要考查空間中線面關(guān)系，空間角的概念，考查考生的空間想象能力． 【思路點(diǎn)撥】建立空間想象能力是關(guān)鍵. 【規(guī)范解答】選Ｄ．第一類：過點(diǎn)位于三條棱之間的直線有一條體對(duì)角線；第二類：在圖形外部和每條棱的外角和另2條棱夾角相等，有3條，合計(jì)4條. 故選D. 7.（xx重慶高考文科Ｔ9）到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點(diǎn)（ ）. (A)只有1個(gè) (B)恰有3個(gè) （C）恰有4個(gè) （D）有無窮多個(gè) 【命題立意】本小題考查異面直線、空間距離等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力，考查推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法. 【思路點(diǎn)撥】把兩條異面直線放在一個(gè)幾何模型內(nèi)，尋找符合題意的點(diǎn). 【規(guī)范解答】選D.如圖：在正方體 中， 直線與直線是兩條互相垂直的異面直線， 則符合題意的點(diǎn)有正方體的中心，點(diǎn)，點(diǎn) ，的中點(diǎn)等4個(gè)點(diǎn)；進(jìn)一步思考，在平面中，到點(diǎn)的距離就是到直線的距離，所以問題可以轉(zhuǎn)化為在平面中，到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離的點(diǎn)的軌跡是拋物線，所以符合題意的點(diǎn)有無數(shù)個(gè). 【方法技巧】構(gòu)造幾何模型——正方體，可以簡(jiǎn)捷解答. 8.（xx重慶高考理科Ｔ１0）到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點(diǎn)，在過其中一條直線且平行于另一條直線的平面內(nèi)的軌跡是( ). (A)直線 (B)橢圓 (C)拋物線 (D)雙曲線 【命題立意】本小題考查立體幾何中的線線、線面的垂直關(guān)系，考查空間想象能力，考查圓錐曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想. 【思路點(diǎn)撥】把空間問題轉(zhuǎn)化到一個(gè)平面上，抓住互相垂直的兩條異面直線的距離是定值，利用空間幾何體模型，建立平面直角坐標(biāo)系進(jìn)行推導(dǎo). 【規(guī)范解答】選D.異面直線，是已知互相垂直的異面直線，以正方體為模型，如圖所示，設(shè)，的距離是，，在直角坐標(biāo)系中，設(shè)，那么，所以，所以，點(diǎn)P的軌跡為雙曲線. 【方法技巧】借助于正方體這個(gè)模型是解題的關(guān)鍵，注意到兩條異面直線之間的距離為定值，尋找等量關(guān)系和即可求出軌跡方程. 9.（xx全國高考卷Ⅱ理科Ｔ11）到正方體的三條棱AB,CC1，A1D1所在直線的距離相等的點(diǎn)( ). （A）有且只有1個(gè) （B）有且只有2個(gè) （C）有且只有3個(gè) （D）有無數(shù)個(gè) 【命題立意】本題考查了空間直線、平面間的距離. 【思路點(diǎn)撥】建立空間直角坐標(biāo)系，利用距離公式求解. 【規(guī)范解答】 選D，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，由點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，則，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，得方程組，顯然時(shí)這個(gè)方程恒成立，即這個(gè)方程組有無窮多組解，故這樣的點(diǎn)有無窮多個(gè). 【方法技巧】利用方程思想求解.方程組中的每個(gè)方程都是雙曲拋物面的方程，本題中符合要求的點(diǎn)的集合就是兩個(gè)雙曲拋物面的交線.在一些錯(cuò)誤解答中認(rèn)為其軌跡為柱面或者是平面是本質(zhì)性的錯(cuò)誤.這個(gè)題作為選擇題，的目的是考查考生空間想象能力和直覺猜想能力. 10.（xx全國高考卷Ⅱ理科Ｔ9）已知正四棱錐中，，那么當(dāng)該棱錐的體積最大時(shí)，它的高為（ ）. （A）1 （B） （C）2 （D）3 【命題立意】本題考查了立體幾何棱錐的體積計(jì)算與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用. 【思路點(diǎn)撥】列出關(guān)于棱錐高的函數(shù)表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求最大值. 【規(guī)范解答】 選C，如圖：設(shè)棱錐的高為,底面邊長(zhǎng)為, 則,， ，，令， 得時(shí)棱錐的體積最大. 11.（xx江西高考理科Ｔ１６）如圖，在三棱錐中，三條 棱兩兩垂直，且，分別經(jīng)過三條棱 作一個(gè)截面平分三棱錐的體積，截面面積依次為，則的大小 關(guān)系為________________． 【命題立意】本題主要考查棱錐的基本知識(shí)，考查空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系，考查面積和體積的問題，考查兩數(shù)大小的比較，考查空間想象力． 【思路點(diǎn)撥】先確定截面的位置，如圖： ∵,∴. 即為底面的高，則, 過棱的截面若要平分三棱錐的體積，只要平分底面即可， 故取的中點(diǎn),則截面平分三棱錐的體積.過棱的截面同理. 再確定截面面積，最后比較大小. 【規(guī)范解答】依次取的中點(diǎn)，則截面三角形所在平面均平分三棱錐的體積，設(shè)，則=，又因?yàn)?，即，所以，?同理可得. 【答案】. 【方法技巧】為了便于計(jì)算，可取特殊值，如. 12. (xx四川高考理科Ｔ15）如圖，二面角的大小是60，線段.， 與所成的角為30.則與平面所成的角的正弦值是 . 【命題立意】本題考查了空間幾何體的二面角，線面角的求法問題. 【思路點(diǎn)撥】首先作出與平面所成的角，二面角的平面角，然后利用具有已知條件的直角三角形求邊. 【規(guī)范解答】如圖：過點(diǎn)作,垂足為，連結(jié)，則就是與平面所成的角. 再過作,垂足為，連結(jié)，則就是二面角 的平面角.即，設(shè)，在中， ∵,∴， 在，. 在中， 【答案】 【方法技巧】本題主要利用三垂線定理及其逆定理把要求的角作出來再求解. 13.（xx全國卷Ⅰ理科Ｔ19）如圖，四棱錐中，， //，，, ， 為棱上的一點(diǎn)，平面平面. （1）證明：； （2）求二面角的大小 . 【命題立意】“似曾相識(shí)燕歸來”. 本小題主要考查空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算能力立體幾何中的兩種主要的處理方法：傳統(tǒng)方法與向量的方法仍處于各自半壁江山的狀況，在這里一定會(huì)照顧雙方的利益.學(xué)生在備考中也應(yīng)注意這一點(diǎn)，兩種方法都應(yīng)重視，不可偏頗. 【思路點(diǎn)撥】本題很常規(guī)，給人感覺很熟悉，尤其給出，底面為直角梯形，，這就為解答提供很大的方便，大部分考生會(huì)考慮到用建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量解答.再者，此題與xx年全國高考數(shù)學(xué)卷Ⅱ第19題，xx全國高考數(shù)學(xué)卷Ⅰ第18題非常類似，給人似曾相識(shí)的感覺，如果考前接觸過這道試題，解決今年的這道考題不會(huì)有太大的困難. 【規(guī)范解答】方法一：(1)連結(jié),取的中點(diǎn),連結(jié),由此知,即 為直角三角形,故,又,故,所以, , . 作,為垂足,因平面平面,故,.與平面內(nèi)的兩條相交直線，都垂直. ,,,, , ,. 所以, . (2)由,, ,,知 ,又, 故是等腰三角形. 取中點(diǎn),連結(jié),則,. 連結(jié),則∥,. 所以,是二面角的平面角. 連結(jié),,, .所以,二面角的大小為. 方法二:以 為坐標(biāo)原點(diǎn),射線為軸的正半軸,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系. 則, ,,. (1),.設(shè)平面的法向量為,由, 得,.故,.令, 則，.又設(shè), 則. ,. 設(shè)平面的法向量, 由, 得. 故,.令,則.由平面平面，,,,.故. (2)由(I)知,取中點(diǎn),則,, 故,由此得.又,故,由此得 ,向量與的夾角等于二面角的平面角. 于是,所以,二面角的大小為. 【方法技巧】求二面角的方法 求二面角的方法 說明 定義法 在棱上任取一點(diǎn)，過這點(diǎn)在兩個(gè)平面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條垂線所成的角即為二面角的平面角 垂面法 利用二面角的棱垂直于二面角所在的平面 三垂線定理 自二面角的一個(gè)平面上一點(diǎn)向另一個(gè)面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)（即斜足），斜足與面上一點(diǎn)連線和斜足與垂足連線所夾的角，即為 二面角的平面角. 14. （xx湖北高考文科Ｔ18）如圖，在四面體中，，，且. （1）設(shè)為的中點(diǎn)，在上且，證明：； （2）求二面角的平面角的余弦值. 【命題立意】本題主要考查空間直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系以及二面角等，同時(shí)考查考生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力． 【思路點(diǎn)撥】（1）由三垂線定理，可先在上找一點(diǎn)，使,再證明即可. （2）可利用三垂線法作出二面角的平面角，再解直角三角形即可(也可利用空間向量求解). 【規(guī)范解答】方法一：（1）在平面內(nèi)過點(diǎn)作交于,連接.在等腰中，120,30, 在 30,,在中120- 90=30，.又, 為的中點(diǎn).在中，分別為的 中點(diǎn)，.由，知：，又，，由知：. （2）連接.由知：.又平面,.由知：.是在平面內(nèi)的射影.在等腰直角中，為的中點(diǎn)， .由三垂線定理知：.因此為二面角的平面角.在等腰直角中，,.在中，.在中，. ∴. 方法二: (1)取為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸， 軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示） 則, ∵為的中點(diǎn)，∴. ,又由已知可得, 又,, .故.即. (2)記平面的法向量為，則由且,得，故可取，又平面的法向量為，，二面角的平面角是銳角，記為，則 . 【方法技巧】1.空間中的兩直線異面垂直往往可通過三垂線定理或線面垂直兩個(gè)途徑來實(shí)現(xiàn)，也可由已有的線線垂直，借用線線平行實(shí)現(xiàn)新的線線垂直. 2.求二面角的大小一般有以下五種辦法： ①三垂線法（過其中一個(gè)半平面內(nèi)某點(diǎn)易作出另一個(gè)半平面的垂線時(shí)最適合用此法）. ②垂面法（有一個(gè)平面與二面角的棱垂直時(shí)適合用此法）. ③定義法. ④射影面積法（無棱二面角或容易找出一個(gè)半平面內(nèi)的某個(gè)圖形在另一個(gè)半平面內(nèi)的射影時(shí)適合用此法）. ⑤向量法. 15.（xx上海高考理科Ｔ21）如圖所示，為了制作一個(gè)圓柱形燈籠，先要制作4個(gè)全等的矩形骨架，總計(jì)耗用9.6米鐵絲，骨架把圓柱底面8等份，再用平方米塑料片制成圓柱的側(cè)面和下底面（不安裝上底面）. (1)當(dāng)圓柱底面半徑取何值時(shí)，取得最大值？并求出該最大值（結(jié)果精確到0.01平方米）; （2）在燈籠內(nèi)，以矩形骨架的頂點(diǎn)為點(diǎn)，安裝一些霓虹燈，當(dāng)燈籠的底面半徑為0.3米時(shí)，求圖中兩根直線與所在異面直線所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示） 【命題立意】本題是個(gè)應(yīng)用題，主要考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力，涉及函數(shù)求最值，立體幾何中求角等問題． 【思路點(diǎn)撥】（1）建立關(guān)于的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值； （2）按求異面直線所成的角的步驟進(jìn)行． 【規(guī)范解答】（1）設(shè)圓柱形燈籠的高為，則， 所以 所以（1.2-2r） ． 所以，當(dāng)時(shí)S有最大值． 最大值為（平方米） （2）由（1）知時(shí)，， 如圖，連接， 易得，且相互平行，所以四邊形為平行四邊形， 所以∥，且，所以為異面直線與所成的角，中可得，，所以；同理可得；在中，，，，由余弦定理, 可得， 所以．異面直線與所成的角為． 【方法技巧】求異面直線所成的角按如下步驟進(jìn)行: （1）作角：通過作輔助線，作出或找到異面直線所成的角； （2）證明：由異面直線所成的角的定義證明前面所作的角是滿足條件的角； （3）指角：指明前面作（找）的角就是所求的角（這里僅一句話即可）； （4）求角：在三角形中求出這個(gè)角的大?。? 16.（xx湖北高考理科Ｔ18）如圖, 在四面體中，, ,120，且. (1) 設(shè)為的中點(diǎn).證明：在上存在一點(diǎn),使, 并計(jì)算的值； (2) 求二面角的平面角的余弦值. 【命題立意】本題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系、二面角的求法等，同時(shí)考查考生的空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力． 【思路點(diǎn)撥】(1)由,利用三垂線定理在上找一點(diǎn)，使，過作，交上一點(diǎn)即為所求的點(diǎn).在中即可計(jì)算的值. (2)由(Ⅰ)利用三垂線法作出二面角的平面角，再解直角三角形求出二面角的平面角的余弦值.(也可利用空間向量求解) 【規(guī)范解答】方法一:(1)在平面內(nèi)過點(diǎn)作交于,連接.,., .取為的中點(diǎn)，則. 在等腰中，,, 在,,在中， ,. (2)連接.由知：.又平面,.由知：.是在平面內(nèi)的射影.在等腰直角中，為的中點(diǎn)， .由三垂線定理知：.因此為二面角的平面角.在等腰直角中，,.在中，.在中，. ∴cos. 方法二: (1)取為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示） 則, ∵為的中點(diǎn)，∴. 設(shè),且（0，1）， ,=+=,,,,即，，因此存在點(diǎn),使得. (2)記平面的法向量為，則由且,得，故可取，又平面的法向量為，，二面角的平面角是銳角，記為，則cos=. 【方法技巧】1.空間中的兩直線異面垂直往往可通過三垂線定理或線面垂直兩個(gè)途徑來實(shí)現(xiàn). 2.求二面角的大小一般有以下四種辦法： ①三垂線法（過其中一個(gè)半平面內(nèi)某點(diǎn)易做出另一個(gè)半平面的垂線時(shí)最適合用此法）. ②垂面法（有一個(gè)平面與二面角的棱垂直時(shí)適合用此法）. ③定義法. ④射影面積法（無棱二面角或容易找出一個(gè)半平面內(nèi)的某個(gè)圖形在另一個(gè)半平面內(nèi)的射影時(shí)適合用此法） 17.（xx全國高考卷Ⅱ理科Ｔ19）如圖，直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，為上的一點(diǎn)，． （1）證明：為異面直線與的公垂線； （2）設(shè)異面直線與的夾角為45，求二面角的大?。? 【命題立意】本題考查了立體幾何公垂線概念及二面角概念及其求法. 【思路點(diǎn)撥】（1）由公垂線的定義，需證明； （2）利用面面垂直的性質(zhì)，先作出二面角的平面角，再解直角三角形. 【規(guī)范解答】（1）如圖：連結(jié),設(shè)與的交點(diǎn)為, 因?yàn)闉檎叫?，?且, 又所以 又為的中點(diǎn)，故 設(shè)為的中點(diǎn)，連結(jié)，由知, 又由底面， 得， 連結(jié)，則∥,故 ,由三垂線定理，得. 又DE與異面直線AB1，CD都相交. 所以為異面直線與的公垂線. （2）因?yàn)椋蕿楫惷嬷本€與的夾角，故. 設(shè)則 作 為垂足，因?yàn)榈酌?，? 又作,K 為垂足，連結(jié) ，由三垂線定理，得 因此 ∠ 為二面角A1的平面角. = , 所以二面角的大小為.