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2019-2020 年高中數(shù)學(xué) 橢圓的幾何性質(zhì)知識(shí)精講 文 蘇教版選修 1-1 【本講教育信息】 一. 教學(xué)內(nèi)容： 橢圓的幾何性質(zhì) 二. 教學(xué)目標(biāo)： 通過(guò)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的討論，使學(xué)生掌握橢圓的幾何性質(zhì)，能正確地畫(huà)出橢圓的圖形， 并了解橢圓的一些實(shí)際應(yīng)用． 通過(guò)對(duì)橢圓的幾何性質(zhì)的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決實(shí)際問(wèn)題的能力． 使學(xué)生掌握利用方程研究曲線(xiàn)性質(zhì)的基本方法，加深對(duì)直角坐標(biāo)系中曲線(xiàn)與方程的關(guān) 系概念的理解，這樣才能解決隨之而來(lái)的一些問(wèn)題，如弦、最值問(wèn)題等． 三. 重點(diǎn)、難點(diǎn)： 重點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)及初步運(yùn)用． 難點(diǎn)：橢圓離心率的概念的理解． 四. 知識(shí)梳理 1、幾何性質(zhì) （1）范圍，即| x|≤ a，| y|≤ b，這說(shuō)明橢圓在直線(xiàn) x＝ a 和直線(xiàn) y＝ b 所圍成的矩 形里．注意結(jié)合圖形講解，并指出描點(diǎn)畫(huà)圖時(shí)，就不能取范圍以外的點(diǎn)． （2）對(duì)稱(chēng)性 把 x 換成－ x，或把 y 換成－ y，或把 x、 y 同時(shí)換成－ x、－ y 時(shí)，方程都不變，所以 圖形關(guān)于 y 軸、 x 軸或原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) （3）頂點(diǎn) 在中，須令 x＝0，得 y＝ b，點(diǎn) B1（0，－ b） 、 B2（0， b）是橢圓和 y 軸的兩個(gè)交點(diǎn)； 令 y＝0，得 x＝ a，點(diǎn) A1（－ a，0） 、 A2（ a，0）是橢圓和 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)．橢圓有四個(gè) 頂點(diǎn) A1（－ a，0） 、 A2（ a，0） 、 B1（0，－ b） 、 B2（0， b） ． ①線(xiàn)段 A1A2、線(xiàn)段 B1B2分別叫橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，它們的長(zhǎng)分別等于 2a 和 2b； ② a、 b 的幾何意義： a 是長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)， b 是短半軸的長(zhǎng)； （4）離心率 教師直接給出橢圓的離心率的定義：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸的比 橢圓的離心率 e 的取值范圍：∵ a＞ c＞0，∴ 0＜ e＜1． 當(dāng) e 接近 1 時(shí)， c 越接近 a，從而 b 越接近 0，因此橢圓越扁； 當(dāng) e 接近 0 時(shí)， c 越接近 0，從而 b 越接近 a，因此橢圓接近圓； 當(dāng) e＝0 時(shí)， c＝0， a＝ b 兩焦點(diǎn)重合，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程成為 x2＋ y2＝ a2，圖形就是圓 了． 2、性質(zhì)歸納為如下表： 標(biāo)準(zhǔn)方程 圖像 y x F1 O A1 B1 B A2 F2 y x F1 OA1 B1 B2A2 F2 范圍 ， ， 對(duì)稱(chēng)性 關(guān)于 x 軸、 y 軸均對(duì)稱(chēng)，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng) 頂點(diǎn)坐標(biāo) 長(zhǎng)軸端點(diǎn) A1（－ a，0） ， A2（ a，0） ；短軸端點(diǎn) B 1（0，－ b） ， B2（0， b） 長(zhǎng)軸端點(diǎn) A1（0，－ a） ， A2（0， a） ； 短軸端點(diǎn) B1（－ b，0） ， B2（ b，0） 焦點(diǎn)坐標(biāo) F1（－ c，0） ， F2（ c，0） F1（0，－ c） ， F2（0， c） 半軸長(zhǎng) 長(zhǎng)半軸長(zhǎng)： a，短半軸長(zhǎng)： b 焦距 2c a， b， c 關(guān)系 離心率 【典型例題】 例 1. 求橢圓 16x2＋25 y2＝400 的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)，并用描 點(diǎn)法畫(huà)出它的圖形． 解：（1）列表。將 254165x????變 形 為 ，根據(jù)在第一象限的范圍內(nèi)算 出幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)（ x， y） （2）描點(diǎn)作圖．先描點(diǎn)畫(huà)出橢圓在第一象限內(nèi)的圖形，再利用橢圓的對(duì)稱(chēng)性就可以畫(huà) 出整個(gè)橢圓． OF2F1 例 2. 若橢圓的離心率為 e＝，求實(shí)數(shù) k 的值。 解：當(dāng)焦點(diǎn)在 x 軸上時(shí)，有得 k＝8. 當(dāng)焦點(diǎn)在 y 軸上時(shí)，有得 k＝. 所求的 k＝8 或。 例 3. 若橢圓的對(duì)稱(chēng)軸在坐標(biāo)軸上，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)組成一個(gè)正三角形，焦 點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的距離的最小值為，求橢圓的方程。 解： 22231199acaxyx???????????????所 求 的 橢 圓 方 程 為 或 ∴所求的橢圓方程為 1或 例 4. 橢圓（ a>b>0）上一點(diǎn) M 與兩焦點(diǎn) F1， F2所成的角∠ F1MF2＝ α ，求證△ F1MF2的面 積為 b2tan. 解：設(shè) M F1＝ m， M F2＝ n， 則 m＋ n＝2 a，且 4c2＝ m2＋ n2－2 mncosα ＝（ m＋ n） 2－2 mn（1＋ cosα ） 4b2＝2 mn（1＋ cosα ） sisi taoSbb????? 例 5. 如圖，橢圓的長(zhǎng)短軸端點(diǎn)為 A， B，過(guò)中心 O 作 AB 的平行線(xiàn)，交橢圓上半部分于點(diǎn) P，過(guò) P 作 x 軸的垂線(xiàn)恰過(guò)左焦點(diǎn) F1，過(guò) F1再作 AB 的平行線(xiàn)交橢圓于 C， D 兩點(diǎn)，求橢圓 的方程。 y B x O A F2 F1 D P 解：設(shè)所求的橢圓方程為（ a>b>0） 則 P（－ c， ） ， 又 AB∥ OP∴ 2 22bxcyca????橢 圓 方 程 可 化 為 直線(xiàn) CD 的方程為 y＝（ x－ c） ，將其代入橢圓方程化簡(jiǎn)得，2 x2－2 cx－ c2＝0 ∵ 3]4)[(3)(1121????xCD ∴ 所求的橢圓方程為 【模擬試題】 （答題時(shí)間：60 分鐘 滿(mǎn)分：100 分） 一、選擇題（5 分8＝40 分） 1、已知橢圓上一點(diǎn) P 到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離是 3，則 P 點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為： （ ） A、2 B、3 C、5 D、7 2、橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與兩個(gè)頂點(diǎn)為等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的（ ） A、倍 B、2 倍 C、倍 D、倍 3、橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為 F1，點(diǎn) P 在橢圓上，如果線(xiàn)段 PF1的中點(diǎn) M 在 y 軸上，那么點(diǎn) M 的 縱坐標(biāo)是：（ ） A、 B、 C、 D、 4、以橢圓短軸為直徑的圓經(jīng)過(guò)此橢圓的焦點(diǎn)，則橢圓的離心率為 （ ） A、 B、 C、 D、 5、橢圓（ a>b>0）的半焦距為 c，若直線(xiàn) y＝2 x 與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)恰好為 c，則 橢圓的離心率為（ ） A、 B、 C、 D、 6、若以橢圓上的一點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積的最大值為 1，則此橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng) 的最小值為（ ） A、1 B、 C、2 D、2 7、橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 F1、 F2，以 F2為圓心且過(guò)橢圓中心的圓與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為 M，已知直線(xiàn) F1M 與圓 F2相切，則離心率為 （ ） A、 B、 C、 D、 8、設(shè)橢圓（ a>b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 F1、 F2， P 是橢圓上一點(diǎn)，若 PF1⊥ PF2， 則｜ PF1－ PF2｜等于（ ） A、 B、2 C、 D、2 二、填空題（5 分4＝20 分） 9、平面上點(diǎn) P 到兩個(gè)定點(diǎn) A、 B 的距離之和等于| AB|，則 P 點(diǎn)軌跡是 。 10、已知對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 6，離心率為的橢圓方程為 。 11、橢圓的離心率為，則實(shí)數(shù) m 的值為 。 12、若 M 為橢圓上一點(diǎn)， F1， F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且∠ MF1F2＝2∠ MF2F1＝2 α （ α ≠0） ， 則橢圓的離心率是 。 三、解答題（共 40 分） 13、 （滿(mǎn)分 8 分）已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，焦距是 4，且經(jīng)過(guò)，求此橢圓的方程。 14、 （滿(mǎn)分 10 分）若點(diǎn)在橢圓上，分別是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且，求的面積。 15、 （滿(mǎn)分 10 分）已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓左頂點(diǎn) A，上頂點(diǎn) B，左焦點(diǎn) F1到直線(xiàn) AB 的距離為| OB|，求橢圓的離心率。 16、 （滿(mǎn)分 12 分）已知 F1（－3，0） ， F2（3，0）分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)， P 是該橢圓 上的點(diǎn)，滿(mǎn)足 PF2⊥ F1F2，∠ F1PF2的平分線(xiàn)交 F1F2于 M（1，0） ，求橢圓方程。 【試題答案】 一、選擇題 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A B D D C B 二、填空題 9、線(xiàn)段 AB 10、 2211595xyx??或 11、 m＝3 或 m＝ 12、 三、解答題 13、解：因?yàn)榻咕酁?4，所以 即 ①…………3′ 設(shè)橢圓方程為 因?yàn)樵跈E圓上 所以 ②…………6′ 由①②得 所以橢圓方程為…………8′ 14、解：設(shè) 由橢圓得…………2′ 即 ①…………4′ 是直角三角形 4 ②…………6′ 由①②得…………8′ 所以…………10′ 15、解：直線(xiàn) AB 的方程為 bx－ ay＋ ab＝0，…………4′ 則左焦點(diǎn) F1（－ c，0）到其距離為2|78bae???? ? ?? ? ? 16、解： PF2⊥ F1F2， PF2＝，…………2′ ∵，………………4 …………………………6 abPa223??? ………………8 又………………10 ………………11 所求的橢圓方程為……………………12