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2019-2020年高三數(shù)學 3.1導數(shù)的概念(第二課時)大綱人教版選修 一、教學知識點 物體在時刻t的瞬時速度的概念. 二、能力訓練要求 1.掌握用極限給瞬時速度下的精確的定義. 2.會運用瞬時速度的定義，求物體在某一時刻的瞬時速度. 3.理解足夠小、足夠短的含義. 三、德育滲透目標 1.培養(yǎng)學生解決實際問題的能力. 2.平均速度與瞬時速度是互相聯(lián)系、辯證統(tǒng)一的，培養(yǎng)學生聯(lián)系的、辯證統(tǒng)一的思想. 3.培養(yǎng)學生嚴謹?shù)目茖W態(tài)度. 教學重點 知道了物體的運動規(guī)律，用極限來定義物體的瞬時速度，學會求物體的瞬時速度. 教學難點 理解物體的瞬時速度的定義. 教學方法 啟發(fā)式 據(jù)高中物理上給瞬時速度下的定義，以及進行的直觀描述，利用已學過的極限知識，進行精確地刻畫.讓學生自己根據(jù)極限的定義，來定義物體的瞬時速度. 教學過程 Ⅰ.課題導入 ［師］在物理中學習直線運動的速度時，已經(jīng)學習了物體的瞬時速度的有關知識，現(xiàn)在我們從數(shù)學的角度重新來認識一下瞬時速度. Ⅱ.講授新課 ［師］物理課本上瞬時速度是如何定義的？ ［生］運動物體經(jīng)過某一時刻(某一位置)的速度，叫做瞬時速度. ［師］那怎么來理解瞬時速度，物理課本上有具體的闡述嗎？ ［生］有.要確定物體在某一點A處的瞬時速度，從A點起取一小段位移AA1，求出物體在這段位移上的平均速度，這個平均速度可以近似地表示物體經(jīng)過A點的瞬時速度. ［師］這一小段的位移AA1，有什么要求嗎？是不是越小越好？ ［生］是越小越好.當位移足夠小時，物體在這段時間內(nèi)的運動可認為是勻速的，所得的平均速度就等于物體經(jīng)過A點的瞬時速度了. ［師］我們現(xiàn)在已經(jīng)了解了一些關于瞬時速度的知識，知道了物體作直線運動時，它的運動規(guī)律用函數(shù)表示為s=s(t)，也叫做物體的運動方程或位移公式.現(xiàn)在有兩個時刻t0,t0+Δt，問從t0到t0+Δt這段時間內(nèi)，物體的位移、平均速度各是多少？ ［生］位移為s(t0+Δt)-s(t0)， 平均速度為. (一邊講一邊老師板書) ［師］根據(jù)對瞬時速度的直觀描述，當位移足夠小，現(xiàn)在位移由時間t來表示，也就是說時間足夠短時，平均速度就等于瞬時速度.怎么來刻畫時間足夠短呢？現(xiàn)在是從t0到t0+Δt，這段時間是Δt. ［生］時間Δt足夠短，就是Δt無限趨近于0. ［師］當Δt→0時，平均速度就越接近于瞬時速度，用極限如何表示瞬時速度呢？ ［生］. ［師］所以當Δt→0時，平均速度的極限就是瞬時速度. ［板書］s=s(t). 從t0到t0+Δt的位移(位置增量) Δs=s(t0+Δt)-s(t0)(Δt稱時間增量). 平均速度. 瞬時速度 . ［師］下面我們用具體的例子來驗證，比較一下. ［板書］物體自由落體的運動方程s=s(t)=gt2, 其中位移單位：m,時間單位：s，g=9.8 m/s2 求t=3這一時刻的速度. 解：取一小段時間［3，3+Δt］, 位置改變量Δs=g(3+Δt)2-g32=(6+Δt)Δt. 平均速度. Δt 1 0.1 0.01 0.001 0.0001 … V 3.5g 3.05g 3.005g 3.0005g 3.00005g … 瞬時速度g(t+Δt)=3g=29.4 m/s. 由勻變速直線運動的速度公式得 v=v0+at=gt=g3=3g=29.4 m/s. (用兩種方法算結論是相同的) ［板書］ 1.物體的瞬時速度 如果物體的運動規(guī)律是s=s(t)，那么物體在時刻t的瞬時速度v，就是物體在t到t+Δt這段時間內(nèi)，當Δt→0時平均速度的極限，即 . 2.例題 ［例1］已知質點M按規(guī)律s=2t2+3作直線運動(位移單位：cm,時間單位：s),(1)當t=2，Δt=0.01時，求; (2)當t=2，Δt=0.001時，求; (3)求質點M在t=2時的瞬時速度. ［師生共析］Δs即位移的改變量，Δt即時間的改變量，即平均速度，當Δt越小，求出的越接近某時刻的速度. ［學生板演］ 解：∵ =4t+2Δt, ∴(1)當t=2，Δt=0.01時， =42+20.01=8.02 (cm/s). (2)當t=2，Δt=0.001時， =42+20.001=8.002(cm/s). (3) (4t+2Δt)=4t=42=8(cm/s). ［師］當t=2，Δt=-0.01,Δt=-0.001，…時，的值會怎樣？ ［板書］ t=2 Δt -0.01 -0.001 -0.0001 … 7.98 7.998 7.9998 … 的值也趨近于t=2時的瞬時速度8. ∴Δt→0時, =8. ［例2］(xx年陜西省高考模擬試題)某一物體的運動規(guī)律為s=t3-t2+2t+5(其中s表示位移，t表示時間，單位：s).則物體在2s時的瞬時速度為_____________. ［師生共析］Δs即位移的改變量，Δt即時間的改變量，即瞬時平均速度. 解： =(Δt)2+5Δt+10. ∴當Δt→0時， (Δt2+5Δt+10) =10,即為t=2時的瞬時速度. Ⅲ.課堂練習 一球沿一斜面自由滾下，其運動方程是s=s(t)=t2(位移單位：m,時間單位：s)，求小球在t=5時的瞬時速度，并與運用勻變速直線運動速度公式求得的結果進行比較. ［分析］要運用勻變速直線運動速度公式v=v0+at,首先要求出初速度v0與加速度a，可以根據(jù)運動方程來求.自由滾下，v0=0, ∵s=t2,∴,a=2. 解：①瞬時速度 =10 (m/s). ②∵球沿斜面自由滾下， ∴v0=0 m/s. ∵,∴a=2 (m/s2). ∴瞬時速度v=2t=25=10 (m/s). ∴用兩種方法求得的結果相同. Ⅳ.課時小結 ［師］這節(jié)課主要學習了什么？要記住什么？ ［生］這節(jié)課主要學習了物體運動的瞬時速度的概念，它是用平均速度的極限來定義的,主要記住瞬時速度公式 . Ⅴ.課后作業(yè) (一)課本P114習題3.1　1、2、3. (二)1.預習內(nèi)容：課本P111~112導數(shù)的概念 2.預習提綱： (1)導數(shù)的概念、記法. (2)求函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)的方法. (3)導函數(shù)的概念. (4)導數(shù)與連續(xù)的關系. 板書設計 3.1.2　導數(shù)的概念(二)——瞬時速度 s=s(t). 從t0到t0+Δt的位移. 平均速度. 瞬時速度. 物體自由落體運動. ①列表，由極限求瞬時速度. ②由勻變速直線運動的速度公式求物體的瞬時速度. . 例1. 已知質點M按規(guī)律s=2t2+3作直線運動， (1)當t=2,Δt=0.01時,求；(2)當t=2， Δt=0.001時,求；(3)求質點M在t=2時的瞬時速度. 例2. 課堂練習 一球沿一斜面自由滾下，其運動方程是s=s(t)=t2,求小球在t=5時的瞬時速度，并與運用勻變速直線運動速度公式求得的結果進行比較. 課后作業(yè)