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2019-2020年高三數(shù)學(xué) 4.3數(shù)系的擴(kuò)充(第一課時(shí))大綱人教版選修 從容說課 復(fù)數(shù)系的建立經(jīng)歷了一個(gè)漫長的過程.事實(shí)上,在德國數(shù)學(xué)家高斯首次引進(jìn)“復(fù)數(shù)”這一名詞,并把這類新數(shù)與坐標(biāo)平面(他稱之為復(fù)平面,后人也稱之為高斯平面)內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)起來之前,歐洲的數(shù)學(xué)家們已對(duì)“虛數(shù)”及其幾何意義進(jìn)行了將近三百年的研究.“虛數(shù)”產(chǎn)生于解方程需要的實(shí)際背景應(yīng)向?qū)W生交待,這是矛盾產(chǎn)生的結(jié)果,是數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的自身需要,也是其他科學(xué)發(fā)展的需要,揭示了數(shù)形結(jié)合思想在推動(dòng)這一新的研究對(duì)象發(fā)生、形成和發(fā)展中所起的重要作用;同時(shí)要告訴學(xué)生,將一個(gè)數(shù)集進(jìn)行擴(kuò)張,還要解決原有的運(yùn)算律是否保持這樣一個(gè)基本問題. 通過前幾節(jié)的學(xué)習(xí),學(xué)生已經(jīng)知道在復(fù)數(shù)集內(nèi)如何進(jìn)行四則運(yùn)算,原有的加、乘運(yùn)算律仍然成立,并知道開方運(yùn)算在復(fù)數(shù)集內(nèi)總可以實(shí)施.作為復(fù)數(shù)知識(shí)的重要應(yīng)用,應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)(共軛復(fù)數(shù)、加減法運(yùn)算)證明“虛根成對(duì)定理”和一元二次方程的根與原數(shù)關(guān)系的推廣——真正的“韋達(dá)定理”,并向?qū)W生指明復(fù)數(shù)廣闊的應(yīng)用領(lǐng)域和發(fā)展前景,著重培養(yǎng)學(xué)生熱愛科學(xué)、追求科學(xué)、獻(xiàn)身科學(xué)的精神. 第六課時(shí) 課　題 4.3　數(shù)系的擴(kuò)充 教學(xué)目標(biāo) 一、教學(xué)知識(shí)點(diǎn) 1.復(fù)數(shù)集與實(shí)數(shù)集的關(guān)系,CRQZNN*. 2.實(shí)系數(shù)一元二次方程的根的問題及根與系數(shù)的關(guān)系. 二、能力訓(xùn)練要求 1.了解數(shù)系的建立發(fā)展的過程,學(xué)會(huì)尊重科學(xué). 2.會(huì)運(yùn)用求根公式及根與系數(shù)的關(guān)系解決有關(guān)問題. 三、德育滲透目標(biāo) 1.培養(yǎng)學(xué)生的探索與創(chuàng)新精神,學(xué)會(huì)尊重他人的辛勤勞動(dòng). 2.培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)文化素養(yǎng),提高自身的素質(zhì)(包括數(shù)學(xué)素質(zhì)),懂得數(shù)學(xué)與文化的關(guān)系. 教學(xué)重點(diǎn) 在復(fù)數(shù)集中解一元二次方程. 教學(xué)難點(diǎn) 復(fù)系數(shù)一元二次方程根的探索. 教學(xué)方法　 探索建構(gòu)法:在學(xué)生已經(jīng)掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和實(shí)數(shù)一元二次方程的求解的基礎(chǔ)上,逐步讓學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)出各數(shù)集之間的關(guān)系,探索出實(shí)系數(shù)一元二次方程在復(fù)數(shù)集中的求解公式、韋達(dá)定理,以及復(fù)系數(shù)一元二次方程的求解法. 教學(xué)過程 Ⅰ.復(fù)習(xí)導(dǎo)入 ［師］我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪幾類數(shù)? ［生］正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)、分?jǐn)?shù)、無理數(shù)、虛數(shù)等等. ［師］那么這些數(shù)集之間有什么關(guān)系呢?這些數(shù)又是在什么背景下產(chǎn)生的呢?這一節(jié)課我們來研究:數(shù)系的擴(kuò)充(板書課題). Ⅱ.講授新課 ［師］數(shù)的概念是從實(shí)踐中產(chǎn)生和發(fā)展起來的,早在人類社會(huì)初期,人們?cè)卺鳙C、采集果實(shí)等勞動(dòng)中由于計(jì)數(shù)的需要,就產(chǎn)生了1、2、3、4、5、6等數(shù)的概念以及表示“沒有”的數(shù)0.自然數(shù)的全體構(gòu)成自然數(shù)集N. 在自然數(shù)集中,加法、乘法運(yùn)算總可以實(shí)施,它滿足哪些運(yùn)算律呢? ［生］加法與乘法滿足交換律、結(jié)合律以及分配律. ［師］你們知道分?jǐn)?shù)是怎樣引入的嗎? ［生］為了解決測(cè)量、分配中遇到的將某些量進(jìn)行等分的問題,人們引進(jìn)了分?jǐn)?shù). ［師］無論是分?jǐn)?shù)的確切定義和科學(xué)表示,還是分?jǐn)?shù)的算法,最早建立起來的都是中國,這是中國對(duì)世界數(shù)學(xué)的杰出貢獻(xiàn)之一.如在成書于公元1世紀(jì)的《九章算術(shù)》中，已經(jīng)有約分、通分及分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算等知識(shí).由此可見,我們的民族在過去曾有過輝煌,我們深信將來會(huì)更輝煌. 引進(jìn)了分?jǐn)?shù)之后,分份和度量等問題以及兩個(gè)自然數(shù)相除(除數(shù)不為0)的問題也就解決了,并且產(chǎn)生了小數(shù). 為了表示各種具有相反意義的量以及滿足記數(shù)法的需要,人們又引進(jìn)了負(fù)數(shù).這樣就把數(shù)集擴(kuò)充到了有理數(shù)集Q,顯然,NQ.如果把自然數(shù)集(含正整數(shù)和0)與負(fù)整數(shù)集合并在一起,構(gòu)成整數(shù)集Z,則有ZQ.如果把整數(shù)看作分母為1的分?jǐn)?shù),那么有理數(shù)集實(shí)際上就是分?jǐn)?shù)集. ［生］(站起來搶過話題)負(fù)數(shù)的引進(jìn)是中國古代數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)的又一巨大貢獻(xiàn). ［師］回答得很好!負(fù)數(shù)的概念引進(jìn)后,整數(shù)集和有理數(shù)集就完整地形成了.但又遇到了新的挑戰(zhàn),在測(cè)量中,有些問題利用有理數(shù)的知識(shí)不能解決了,于是又要進(jìn)行一次“數(shù)”的革命. ［生］這次革命中無理數(shù)誕生了.有些量與量的比值,例如用正方形的邊長去度量它的對(duì)角線所得的結(jié)果,無法用有理數(shù)表示,為了解決這個(gè)矛盾,人們又引進(jìn)了無理數(shù). ［師］什么叫無理數(shù)? ［生］無理數(shù)就是無限不循環(huán)的小數(shù). ［師］到這時(shí),數(shù)集擴(kuò)充到哪兒了? ［生］有理數(shù)集與無理數(shù)集合并在一起,構(gòu)成實(shí)數(shù)集R.因?yàn)橛欣頂?shù)都可以看作循環(huán)小數(shù)(包括整數(shù)、有限小數(shù)),無理數(shù)都是無限不循環(huán)小數(shù),所以實(shí)數(shù)集實(shí)際上就是小數(shù)集. ［師］實(shí)數(shù)解決了開方開不盡的矛盾,在實(shí)數(shù)集中,不僅滿足加法與乘法的運(yùn)算律,而且加法、減法、乘法、除法(除數(shù)不為0)、乘方運(yùn)算總可以實(shí)施.但是數(shù)集擴(kuò)充到實(shí)數(shù)集R以后,像方程x2=-1,x2+x+1=0還是無解的,因?yàn)闆]有一個(gè)實(shí)數(shù)的平方等于-1.這樣,人們?cè)诮夥匠痰倪^程中,為了滿足負(fù)數(shù)開方的需要,又?jǐn)U充到了復(fù)數(shù),解決了原來在實(shí)數(shù)集中開方運(yùn)算不總可以實(shí)施的矛盾.請(qǐng)問是怎樣引入的呢? ［生］當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家們規(guī)定i2=-1,(-i)2=i2=-1,得到i與-i是-1的平方根,即方程x2=-1的平方根為i和-i.在這個(gè)規(guī)定下,實(shí)系數(shù)一元二次方程或高次方程都可以求解了.這樣數(shù)i叫做虛數(shù)單位. ［師］你們能求出x2=a的平方根嗎?(a為實(shí)數(shù)) ［生甲］可以.x=. ［生乙］不對(duì).當(dāng)a≥0時(shí),x=;但當(dāng)a<0時(shí),例如a=-2,就無意義了,應(yīng)該是x=.于是有當(dāng)a≥0時(shí),x=;當(dāng)a<0時(shí),x=. ［師］在復(fù)數(shù)集中,你們能求出x2+x+1=0的根嗎? ［生］利用配方法求解.因?yàn)榉匠炭苫癁?而的平方根為,所以,即. ［生］直接利用求根公式求解.先計(jì)算判別式Δ=1-4=-3,而-3的平方根為,所以. ［師］兩位同學(xué)的解法都很好!你們能把它推廣到一般的實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解情況嗎? ［生］可以,利用上述兩種方法都是可以的.當(dāng)Δ=b2-4ac≥0時(shí),方程有兩個(gè)實(shí)根;當(dāng)b2-4ac<0時(shí),b2-4ac的平方根為,所以方程的兩個(gè)根為. 如果用配方法求解是a(x2+ x)=-c,即a(x+)2=-c+, ∴. 當(dāng)b2-4ac≥0時(shí),; 當(dāng)b2-4ac<0時(shí),,它的平方根為. ∴. ∴. ∴原方程在復(fù)數(shù)集C中,當(dāng)b2-4ac<0時(shí),有兩個(gè)虛根,即. ［師］實(shí)系數(shù)一元二次方程的虛根是成對(duì)出現(xiàn)的,且互為共軛.如果是高次的一元方程a0xn+a1x n-1+…+an-1x+an=0,其中a0≠0,a0,a1,a2,…,an∈R,它的虛根會(huì)不會(huì)也是成對(duì)出現(xiàn)的呢? ［生］是的.根據(jù)我們的試驗(yàn)猜想應(yīng)該成立.例如,x4-3x2-4=0有兩個(gè)實(shí)根,也有兩個(gè)虛根. ［師］這僅僅是一般情況,你能證明嗎? ［生］利用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)來證明.設(shè)z是方程的一個(gè)虛根,則有 a0zn+a1z n-1+a2zn-2+…+an-1z+an=0. 對(duì)該等式兩邊同時(shí)取共軛有 a0zn+a1zn-1+a2zn-2+…+an-1z+an=0. ∴+++…++=0, 即+++…+an-1+an=0.(注:因?yàn)閍0,a1,a2,…,an∈R,故它們的共軛是實(shí)數(shù)) ∴是方程a0xn+a1x n-1+…+a n-1x+an=0的又一個(gè)虛根. ∴方程a0xn+a1x n-1+…+an-1x+an=0的虛根是成對(duì)出現(xiàn)的. ［師］證明過程很簡(jiǎn)捷,這就是一個(gè)代數(shù)基本定理. Ⅲ.例題精講 ［例1］在復(fù)數(shù)集C中解下列方程: (1)x2-x+1=0;(2)x4+5x2+4=0. ［生］第(1)題,利用求根公式: Δ=1-4=-3. ∴. ∴方程x2-x+1=0的兩個(gè)根分別為,. ［生］第(2)題,利用因式分解得(x2+1)(x2+4)=0,∴x2=-1,x2=-4.由x2=-1得x1.2=i;由x2=-4得x3.4=2i, ∴方程x2+5x+4=0的根為x1=i,x2=-i,x3=2i,x4=-2i. ［師］第(2)題,先轉(zhuǎn)化為二次方程,然后再求解.學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化很重要. ［例2］在復(fù)數(shù)集C中解方程x2-2ix+2=0. ［生］這個(gè)方程不是實(shí)系數(shù)一元二次方法,但我們可以用配方法求解.x2-2ix+i2+3=0,即(x-i)2=-3.也就是(x-i)2=3i2, ∴x-i=i,即x1=i+i,x2=i-i. 故方程的解為x1=(1+)i,x2=(1-)i. ［生］也可以直接利用求根公式求解. ∵Δ=(-2i)2-8=-12,而-12的平方根為2i, ∴=(1)i. ［師］本例題是復(fù)系數(shù)一元二次方程,兩位同學(xué)都能利用轉(zhuǎn)化思想求解,是很好的. Ⅳ.課堂練習(xí) 1.在復(fù)數(shù)集中解下列方程: (1)x2+2x+3=0;(2)2x2-4x+5=0. 2.在復(fù)數(shù)集中解下列方程: (1)x2+ix-1=0;(2)x2-ix+1=0. ［師］請(qǐng)四位同學(xué)板演. ［生甲］1.(1)∵Δ=4-12=-8, ∴-8的平方根為2i.∴方程的解為x1.2=-1i,即原方程的解為x1=-1+i,x2=-1-i. ［生乙］1.(2)∵Δ=16-80=-64, ∴原方程的兩根為24i. ［生丙］2.(1)∵Δ=i2+4=3, ∴原方程的兩根為. ［生?。?.(2)∵Δ=i2-4=-3, ∴原方程的兩根為. Ⅴ.課堂小結(jié) ［師］本節(jié)課我們主要是研究數(shù)系的擴(kuò)充,從數(shù)的形成和發(fā)展來看,數(shù)的概念是隨著社會(huì)的進(jìn)步、生產(chǎn)和科技的發(fā)展,以及數(shù)學(xué)自身發(fā)展而形成和發(fā)展的,是人類智慧的結(jié)晶,也是人類戰(zhàn)勝自我、戰(zhàn)勝自然的產(chǎn)物.你們能給出復(fù)數(shù)的分類表嗎? ［生］ Ⅴ.課后作業(yè) 課本Ｐ156習(xí)題4.3　1、2、3 板書設(shè)計(jì) 4.3數(shù)系的擴(kuò)充 一、數(shù)的形成與發(fā)展 N、Z、Q、R、C. 二、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) Δ≥0兩個(gè)實(shí)根; Δ<0,. 三、例題 1.(1)x2-x+1=0;(2)x4+5x2+4=0. 2.x2-2ix+2=0. 四、練習(xí) 1.(1)x2+2x+3=0;(2)2x2-4x+5=0. 2.(1)x2+ix-1=0;(2)x2-ix+1=0. 五、小結(jié):數(shù)系表.