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2019-2020年高三數(shù)學(xué) 直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體（二）教案同步教案 新人教A版 本講重點(diǎn) 9.4直線與平面垂直的判定和性質(zhì) 9.5兩個(gè)平面平行的判定和性質(zhì) 9.6兩個(gè)平面垂直的判定和性質(zhì) 學(xué)習(xí)指導(dǎo) 1．直線和平面垂直的判定 （1）如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。 （2）兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面。 （3）一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，則這條直線也垂直于另外一個(gè)平面。 （4）若兩個(gè)平面互相垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于這兩個(gè)平面交線的直線垂直于另外一個(gè)平面。 2．直線與平面垂直的性質(zhì) （1）如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。 （2）如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的所有直線。 3．兩個(gè)平面平行的判定 （1）如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。 （2）同垂直于一條直線的兩個(gè)平面平行。 （3）同平行于一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行。 4．兩個(gè)平面平行的性質(zhì) （1）如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面 （2）如果兩個(gè)平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。 5．面面垂直的判定 （1）如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。 （2）利用二面角的大小為90℃加以判定。 6．三垂直定理及其逆定理 （1）三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這個(gè)斜線垂直。 （2）三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么這也和這條斜線的射影垂直。 7．射影定理：從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中： （1）射影相等的兩條斜線段相等，射影較長(zhǎng)的斜線段也較長(zhǎng)； （2）相等的斜線段的射影相等，較長(zhǎng)的斜線段的射影也較長(zhǎng)； （3）垂線段比任何一條斜線段都短。 8．最小角定理： 斜線和平面所成的角，是這條斜線段和這個(gè)平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角。 9．掌握直線與平面所成角的定義及其范圍，如圖所示：平面，有，在解選擇、填空題時(shí)可以加快解題速度。 10．掌握二面角、二面角的平面角的定義及其范圍，掌握求解二面角的一般方法：①利用三垂線定理及其逆定理作出二面角的平面角；②證明所作的角為二面角的平面角；③解，求出平面角的大??；④下出結(jié)論。另外，利用面積射影定理：來(lái)求解，也能提高解題速度，其中為二面角的平面角，分母是平面圖形的面積，分子是比平面圖形在二面角的另一個(gè)面內(nèi)的射影的面積。 11．常見的幾何結(jié)論： （1）如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等，那么這一點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在這個(gè)角的平分線上。 另外，此結(jié)論的條件改為平面外一點(diǎn)與角的頂點(diǎn)的連線與角的兩邊所成的角相等，結(jié)論依然成立。 （2）兩個(gè)平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面有交線的話，這條交線與第三個(gè)平面垂直。 （3）設(shè)是任一平面，點(diǎn)P是空間任一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P有且只有一條直線是的垂線；設(shè)是任一直線，點(diǎn)P是空間任一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P有且只有一個(gè)平面是的垂面。 （4）若兩個(gè)平面互相垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)垂直于另外一個(gè)平面的直線必在這個(gè)平面內(nèi)。 12．本講主要要求學(xué)生靈活掌握線面垂直、線線垂直、面面垂直、面面平行的判定及性質(zhì)定理，并加以靈活運(yùn)用，要牢記定理及常見的幾何結(jié)論，拓寬知識(shí)面，培養(yǎng)思維的敏捷性和發(fā)散性。 例題選講 例1．如圖，PO是平面的斜線，O是斜足，于A，BC是內(nèi)過(guò)點(diǎn)O的直線，若是銳角，則有 A． B． C． D． 解：過(guò)A作于D，連結(jié)PD ， 平面PAD， 設(shè)，， ， 是平面的斜線，是銳角 又、都是銳角 ， 故應(yīng)選（C）。 注：結(jié)論“”應(yīng)熟練掌握，在解題時(shí)有著廣泛的應(yīng)用，從上述結(jié)論容易證得：斜線和平面所成的角，是這條斜線和平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小角。 例2．在正方體中，求BD與平面所成的角。 解：連結(jié)，（法一）設(shè)，連結(jié)PO，過(guò)B作于。平面 平面 平面 斜線BD在平面上的射影為DE，斜線BD與平面所成的角為。 在直角梯形中，容易求得 與平面所成的角為。 注：求斜線與平面所成的角一般有三個(gè)步驟： （1）求出斜線在給定平面內(nèi)的射影； （2）指出并論證斜線與平面所成的角是哪一個(gè)角； （3）在含有斜線與平面所成的角的三角形中，利用平面幾何或三角函數(shù)知識(shí)求出這個(gè)角。 以上三個(gè)步驟中，第一步是關(guān)鍵。 解法二、在正方體中，由對(duì)稱性可知： 斜線BD在平面內(nèi)的射影是的角平分線DO，即為斜線與平面所成的角。同法一，解得。 例3．已知 ABCD中，，，將它沒(méi)對(duì)角線AC折成的二面角。 求（1）B、D兩點(diǎn)間的距離； （2）線段BD與平面ABC所成的角； （3）二面角D—AB—C的大小。 解：（1）在平面ABC內(nèi)過(guò)點(diǎn)C作CE//AB 又，則是二面角D—AC—B的平面角 ，異面直線AB和CD所成的角為，且AC是異面直線AB和CD的公垂線 即B、D點(diǎn)的距離為。 （2），，，平面CDE 平面ABC 平面平面CDE 作于F，連BF 則平面ABC 為線段BD與平面ABC所成的角 在直角中，，在直角中， 線段BD與平面ABC所成的角為 （3）在平面ABC內(nèi)過(guò)點(diǎn)F作于G，連DG 平面ABC （三垂線定理） 在直角中，，， 二面角D—AB—C的大小為 例4．在正方體中，E、F分別是、的中點(diǎn)。 （1）證明 （2）求AE與D1F所成的角； （3）證明面AED⊥面A1FD1 （1）證明：是正方體 面DC1，又面 （2）解：取AB的中點(diǎn)G，連A1G、FG F上CD的中點(diǎn) ∴GF∥＝AD； 又A1D1∥＝AD，∴GF∥＝A1D1 ∴GFD1A1是平行四邊形 A1G//D1F 設(shè)A1G與AE相交于點(diǎn)H，則∠AHA1即為AE與D1FFG所成的角。 ∵E是BB1的中點(diǎn) 即直線AE與DF所成的角為直角 （3）證明：由（1）可知AD⊥D1F 由（2）知AE⊥D1F 又ADAE=A ∴D1F⊥面AED 而D1F面A1FD 面AED⊥面A1FD 例5．已知二面角為，點(diǎn)A和點(diǎn)B分別在平面和平面內(nèi)，點(diǎn)C在棱PQ上， （1）求證：AB⊥PQ； （2）求點(diǎn)B到平面的距離； （3）設(shè)R是線段CA上的一點(diǎn)，直線BR與平面所成角的大小為，求線段CR的長(zhǎng)度。 （1）證：在平面內(nèi)作BD⊥PQ于D，連AD。 ∵∠BCD＝∠ACD，且CA＝CB＝a，CD＝CD ∴△BCD≌△ACD ∴AD⊥PQ 于是PQ⊥平面ABD ∴AB⊥PQ （2）解：∵BD⊥PQ，AD⊥PQ ∴∠ADB為二面角的平面角， 在中， ∵BC＝a 過(guò)B作BH⊥AD于H ∵PQ⊥平面ABD ∴平面ABD⊥平面 ，于是點(diǎn)B到平面的距離 （3）解：連HR 是BR與平面所成的角， 在中，AD＝AB， 為正三角形， 在中，AC＝BC＝a，由余弦定理得 在△BCR中，設(shè)CR＝x，由余弦定理得 即 即 解之得（不合）或 的長(zhǎng)為 鞏固與練習(xí) 一、 選擇題： 1．設(shè)a、b、c是空間的三條直線，下面給出四個(gè)命題： ①若a⊥b，b⊥c，則a//c； ②若a、b是異面直線，b、c是異面直線，a、c也是異面直線； ③若a和b相交，b和c相交，則a和c也相交； ④若a和b共面，b和c共面，則a和c也共面； 其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．二面角的平面角是銳角，C是面內(nèi)的一點(diǎn)（不在棱AB上），點(diǎn)D是點(diǎn)C在面內(nèi)的射影，點(diǎn)E是棱AB上滿足∠CEB為銳角的任意一點(diǎn)，則（ ） A．∠CEB＞∠DEB B．∠CEB＝∠DEB C．∠CEB＜∠DEB D．∠CEB與∠DEB的大小關(guān)系不確定 3．E、F分別是正三角形ABC邊AB、AC的中點(diǎn)，以EF為棱折成角二面角A—EF—BC，這時(shí)設(shè)，下面結(jié)論成立的是（ ） A． B． C． D． 二、填空題 4．A是直二面角的棱上的一點(diǎn)，兩條長(zhǎng)均為a的線段AB、AC分別在面、內(nèi)，且與均成角，則BC的長(zhǎng)為 。 5．在△ABC中，，AC＝3，BC＝4，CD是∠ACB的平分線，沿CD把△ACD折起，使平面ACD⊥平面BCD，這時(shí)AB與平面BCD所成角的正切值為 。 6．在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，AB＝a，AD＝AA1＝b，P是棱AB上的一點(diǎn)，則A1P＋PC的最小值為 。 三、解答題 7．設(shè)△ABC和△DBC所在的兩平面互相垂直，且AB＝BC＝BD，，求： （1）AD與平面BCD所成的角； （2）AD與BC所成的角； （3）二面角A—BD—C的大小。 8．設(shè)S是△所在平面外的一點(diǎn)，SA＝SB＝SC，，，，當(dāng)平面SAB⊥平面ABC時(shí)，求證：。 9．直角三角形ACB中，AB＝BC，E在AC上，過(guò)E作EF//BC交AB于F，以EF為軸將△折成平面角為的二面角，此時(shí)斜邊AC被折成折線AEC，設(shè)，求證： 10．自平面外一點(diǎn)P至平面引斜線PA、PB和垂線PC（A、B為斜足，C為垂足），PB、PA分別與平面所成的兩角差為，，，D為AB的中點(diǎn)，，求 （1）AC、BC的長(zhǎng)； （2）點(diǎn)P到平面的距離； 參考答案 一、1．D 2．A 3．C 二、4．或 5． 6． 三、7．； ； 10．（1）12、2 （2）6或4