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2019-2020年高三數(shù)學(xué) 第62課時(shí) 空間的角教案 教學(xué)目標(biāo)：掌握直線與平面所成角、二面角的計(jì)算方法，掌握三垂線定理及其逆定理，并能熟練解決有關(guān)問(wèn)題,進(jìn)一步掌握異面直線所成角的求解方法，熟練解決有關(guān)問(wèn)題. 教學(xué)重點(diǎn)：直線與平面所成的角，二面角的求解. （一） 主要知識(shí)及主要方法： 三垂線定理(課本)：在平面內(nèi)的一條直線，如果和 這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直. 三垂線的逆定理(課本)：在平面內(nèi)的一條直線，如果和 這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直. 空間角的計(jì)算步驟 一作、二證、三算. 異面直線所成角：范圍：；計(jì)算方法: ①平移法：一般情況下應(yīng)用平行四邊形的對(duì)邊、梯形的平行對(duì)邊、三角形的中位線進(jìn)行平移.②向量法：設(shè)、分別為異面直線、的方向向量, 則兩異面直線所成的角；③補(bǔ)體法； ④證明兩條異面直線垂直,即所成角為. 直線與平面所成的角：①定義：（課本）平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角；一條直線垂直于平面，我們說(shuō)它們所成的角是直角.②范圍 ；③最小角定理：斜線和平面所成的角，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)經(jīng)過(guò)斜足的直線所成的一切角中最小的角.⑤斜線與平面所成角的計(jì)算：直接法：關(guān)鍵是作垂線，找射影 可利用面面垂直的性質(zhì)； 平移法：通過(guò)三角形的中位線或平行四邊形的對(duì)邊平移，計(jì)算其平行線與平面所成的角.也可平移平面通過(guò)等體積法求出斜線任一點(diǎn)到平面的距離，計(jì)算這點(diǎn)與斜足之間的線段長(zhǎng)，則. 應(yīng)用結(jié)論：如右圖所示，，為垂足，為斜足， ，與平面所成的角為，， ，則. 向量法：設(shè)是斜線的方向向量，是平面 的法向量，則斜線與平面所成的角. 二面角：①定義：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩部分， 其中的每一部分叫做半平面.從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面 所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱， 每個(gè)半平面叫做二面角的面.二面角的平面角：以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角，叫做這個(gè)二面角的平面角.規(guī)定：二面角的兩個(gè)半平面重合時(shí)，二面角為，當(dāng)兩個(gè)半平面合成一個(gè)平面時(shí)，二面角為，因此，二面角的大小范圍為.②確定二面角的方法：定義法；三垂線定理及其逆定理法；垂面法；射影面積法：，此方法常用于無(wú)棱二面角大小的計(jì)算；無(wú)棱二面角也可以先根據(jù)線面性質(zhì)恢復(fù)二面角的棱，然后再用方法、計(jì)算大小；向量法：法一、在內(nèi)，在內(nèi)，其方向如左圖，則二面角 的平面角 ；其方向如右圖， 則二面角的平面角 （同等異補(bǔ)） 法二、設(shè),是二面角的兩個(gè)半平面 的法向量，其方向一個(gè)指向內(nèi)側(cè)，另一個(gè)指向 外側(cè)（同等異補(bǔ)），則二面角的平面角 （二）典例分析： 問(wèn)題1．（全國(guó)Ⅰ）四棱錐中，底面為平行四邊形， 側(cè)面底面．已知， ，，． 證明：； 求直線與平面所成角的大?。? （本小題要求用多種方法解答,包括向量法）. 問(wèn)題2． （屆高三湖北、荊州、宜昌月模擬） 邊長(zhǎng)為的正方體中，是棱 上任一點(diǎn)，（）. 若時(shí)，求證：面面； 試確定值，使直線與平面所成的角 的正切值為. 問(wèn)題3．（四川）如圖，是直角梯形，，∥， ，，又，， ，直線與直線所成的角為. 求證：平面⊥平面； 求二面角的大小; 求三棱錐的體積. (要求第小題用多種方法解答,包括向量法）. 問(wèn)題4．（陜西）如圖，在底面為直角梯形的四棱錐中， ，，平面．，，， 求證：平面（此小題這里略去不做）；求二面角的大?。? (要求第小題用多種方法解答,包括向量法）. （三）課后作業(yè)： 如圖所示，在棱長(zhǎng)為的正方體中， 是底面的中心，，分別是，的 中點(diǎn).那么異面直線和所成角的余弦值等于 (浙江文)在三棱錐中，， 點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，底面. 求證：平面； 求直線與平面所成角的大小 如圖，的邊長(zhǎng)為，，， 都垂直于平面，且， ，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求直線 與平面所成的角. （四）走向高考： （浙江）在如圖所示的幾何體中，平面，平面，，且，是的中點(diǎn)． 求證：； 求與平面所成的角． (北京)如圖，在中，，斜邊． 可以通過(guò)以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到， 且二面角是直二面角．動(dòng)點(diǎn)的斜邊上． 求證：平面平面； 當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線與所成角的大?。? 求與平面所成角的最大值． v A B C D （福建）如圖，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為，為中點(diǎn)． 求證：平面（此小題這里略去不做）； 求二面角的大??； 求點(diǎn)到平面的距離．