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2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專項(xiàng)訓(xùn)練 平面向量及其坐標(biāo)表示（含解析） 1、如圖，在平行四邊形ABCD中，M，N分別為DC，BC的中點(diǎn)，已知＝c，＝d，試用c，d表示，. 解：設(shè)＝a，＝b， 則a＝＋＝d＋，① b＝＋＝c＋.② 將②代入①，得a＝d＋， ∴a＝d－c＝(2d－c)，③ 將③代入②，得b＝c＋(2d－c)＝(2c－d)． ∴＝(2d－c)，＝(2c－d)． 2、在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分別為CD，BC的中點(diǎn)，若A＝λ＋μ，則λ＋μ＝(　　)． 　A. B. C. D. 解析　因?yàn)椋剑剑剑?＋)＝2＋＋＝2－－，所以＝－，所以λ＋μ＝. 答案　D 3．若三點(diǎn)A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共線，則＋的值為________． 解析?。?a－2，－2)，＝(－2，b－2)， 依題意，有(a－2)(b－2)－4＝0， 即ab－2a－2b＝0，所以＋＝. 答案　 4．已知向量＝(3，－4)，＝(0，－3)，＝(5－m，－3－m)，若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m滿足的條件是________． 解析　由題意得＝(－3,1)，＝(2－m,1－m)，若A，B，C能構(gòu)成三角形，則，不共線，則－3(1－m)≠1(2－m)，解得m≠. 答案　m≠ 6．(xx江蘇卷)設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1 ＋λ2 (λ1，λ2為實(shí)數(shù))，則λ1＋λ2的值為________． 解析?。剑剑剑?＋)＝－＋，所以λ1＝－，λ2＝， 即λ1＋λ2＝. 答案　 7. 如圖所示，A，B，C是圓O上的三點(diǎn)，CO的延長(zhǎng)線與線段BA的延長(zhǎng)線交于圓O外一點(diǎn)D，若＝m ＋，則m＋n的取值范圍是(　　)． A．(0,1) 　　　 B．(1，＋∞) C．(－∞，－1) 　　　D．(－1,0) 解析　由點(diǎn)D是圓O外一點(diǎn)，可設(shè)＝λ (λ＞1)，則 ＝＋λ ＝λ ＋(1－λ). 又C，O，D三點(diǎn)共線，令＝－μ (μ＞1)， 則＝－－(λ＞1，μ＞1)，所以m＝－，n＝－，且m＋n＝－－＝－∈(－1,0)． 答案　D 考點(diǎn)：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 1、已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，設(shè)＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b. (1)求3a＋b－3c； (2)求滿足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n； (3)求M，N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)． 解　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)， ∴解得 (3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∵＝－＝3c， ∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)， ∴M的坐標(biāo)為(0,20)． 又＝－＝－2b， ∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N的坐標(biāo)為(9,2)， ∴＝(9－0,2－20)＝(9，－18)． 2、已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，則向量a－b＝ (　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．(－2，－1) B．(－2,1) C．(－1,0) D．(－1,2) 解析　(1)a＝，b＝， 故a－b＝(－1,2)． 3、在平行四邊形ABCD中，AC為一條對(duì)角線，若＝(2,4)，＝(1,3)，則＝(　　)． A．(－2，－4) B．(－3，－5)C．(3,5) D．(2,4) 解析：由題意得＝－＝－＝(－)－＝－2＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)． 答案：B 考點(diǎn)：平面向量共線的坐標(biāo)表示 1、平面內(nèi)給定三個(gè)向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)． (1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實(shí)數(shù)k； (2)若d滿足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d的坐標(biāo)． 審題路線　(1)分別求出(a＋kc)與(2b－a)的坐標(biāo)?利用向量平行的充要條件列方程?解關(guān)于k的方程；(2)設(shè)d的坐標(biāo)?根據(jù)已知條件列出方程組?解方程組，得到d的坐標(biāo)． 解　(1)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)， 由題意得2(3＋4k)－(－5)(2＋k)＝0， 解得k＝－. (2)設(shè)d＝(x，y)，則d－c＝(x－4，y－1)， 又a＋b＝(2,4)，|d－c|＝， ∴解得或 ∴d的坐標(biāo)為(3，－1)或(5,3)． 2、（1）已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ為實(shí)數(shù)，(a＋λb)∥c，則λ＝ (　　)． A. B. C．1 D．2 (2)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三個(gè)頂點(diǎn)A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為________． 解析　(1)由于a＋λb＝(1＋λ，2)，故(a＋λb)∥c?4(1＋λ)－6＝0，解得λ＝，故選A. (2)∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，∴＝2 . 設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，則 ＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)， ＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)， ∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)， ∴解得故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,4)． 答案　(1)A　(2)(2,4) 3．設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，則向量e1＋e2可以表示為另一組基底a，b的線性組合，即e1＋e2＝________a＋________b. 解析　由題意，設(shè)e1＋e2＝ma＋nb. 又a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋ n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2. 又e1，e2是平面內(nèi)一組基向量， 所以則 答案　?。? 4．已知向量a＝，b＝(x,1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，則x＝________. 解析　a－2b＝，2a＋b＝(16＋x，x＋1)， 由題意得(8－2x)(x＋1)＝(16＋x)， 整理得x2＝16，又x>0，所以x＝4. 答案　4 5.已知點(diǎn)A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若＝3a，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(　　)． A．(7,4) B．(7,14) C．(5,4) D．(5,14) 解析　設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x，y)，則＝(x＋1，y－5)． 由＝3a，得解得 答案　D 6. 如圖，在△OAB中，P為線段AB上的一點(diǎn)，＝x ＋y ，且＝2 ，則(　　)． A．x＝，y＝ B．x＝，y＝ C．x＝，y＝ D．x＝，y＝ 解析　由題意知＝＋，又＝2 ，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以x＝，y＝. 答案　A 7．已知向量a＝(－1,1)，b＝(3，m)，a∥(a＋b)，則m＝(　　)． A．2 B．－2 C．－3 D．3 解析　a＋b＝(2，m＋1)，由a∥(a＋b)，得(－1)(m＋1)－21＝0，解得m＝－3. 答案　C 8．在△ABC中，點(diǎn)P在BC上，且＝2P，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若＝(4,3)，＝(1,5)，則等于(　　)． A．(－2,7) B．(－6,21) C．(2，－7) D．(6，－21) 解析　＝3 ＝3(2 －)＝6 －3 ＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)． 答案　B 9．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，當(dāng)k為何值時(shí)，ka＋b與a－3b平行？平行時(shí)它們是同向還是反向？ 解　ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， ∵ka＋b與a－3b平行， ∴(k－3)(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－， 此時(shí)ka＋b＝＝－(a－3b)． ∴當(dāng)k＝－時(shí)，ka＋b與a－3b平行，并且反向． 10．已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(0,2)，B(4,6)，＝t1 ＋t2 . (1)求點(diǎn)M在第二或第三象限的充要條件； (2)求證：當(dāng)t1＝1時(shí)，不論t2為何實(shí)數(shù)，A，B，M三點(diǎn)都共線． (1)解?。絫1＋t2＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2,2t1＋4t2)．當(dāng)點(diǎn)M在第二或第三象限時(shí)，有 故所求的充要條件為t2＜0且t1＋2t2≠0， (2)證明　當(dāng)t1＝1時(shí)，由(1)知＝(4t2,4t2＋2)． ∵＝－＝(4,4)， ＝－＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2 ， ∴與共線，又它們有公共點(diǎn)A， ∴A，B，M三點(diǎn)共線． 11．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，設(shè)向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，則角C的大小為(　　)． A．30 B．60 C．90 D．120 解析　由p∥q，得(a＋c)(c－a)＝b(b－a)， 整理得b2＋a2－c2＝ab， 由余弦定理得cos C＝＝， 又00，b>0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則＋的最小值為________． 解析?。剑?a－1,1)，＝－＝(－b－1,2)．∵A，B，C三點(diǎn)共線， ∴∥. ∴2(a－1)－(－b－1)＝0， ∴2a＋b＝1. ∴＋＝(2a＋b) ＝4＋＋≥4＋2 ＝8. 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即b＝，a＝時(shí)取等號(hào)． ∴＋的最小值是8. 答案　8