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2019-2020年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 柱、錐、臺體的體積教案 理 教材分析 這節(jié)內(nèi)容是在學(xué)完多面體與旋轉(zhuǎn)體的概念、性質(zhì)、畫法、側(cè)面積、表面積以后，在體積概念與體積公理的基礎(chǔ)上，研究柱、錐、臺體的體積．其中柱體體積是基礎(chǔ)，并且由柱體體積可推導(dǎo)出錐體體積，而根據(jù)錐體體積又可得出臺體體積．柱、錐、臺體的體積是立體幾何的重要內(nèi)容，是歷年高考的重點．通過這節(jié)知識的學(xué)習(xí)，既要使學(xué)生知道三種幾何體體積的公式，又要讓學(xué)生知道這些公式是怎么得出的．三種幾何體的體積公式的推導(dǎo)是教學(xué)的重中之重． 教學(xué)目標 1. 使學(xué)生掌握柱、錐、臺體的體積公式及其初步應(yīng)用． 2. 通過對三種幾何體體積公式的探索，使學(xué)生學(xué)會觀察、類比、歸納、猜想等方法，培養(yǎng)學(xué)生分析、抽象、概括及邏輯推理能力． 3. 通過三種幾何體體積公式的探索，培養(yǎng)學(xué)生獨立思考、刻苦鉆研、孜孜以求的毅力及勇于探索、創(chuàng)新的精神． 任務(wù)分析 對于體積這一內(nèi)容，學(xué)生早在小學(xué)就有了初步認識，如長方體的體積公式．但如何推導(dǎo)錐、臺體體積是目前的重要任務(wù)．三種幾何體的體積公式的推導(dǎo)有著密切的聯(lián)系，教學(xué)時要不斷強化三者之間的關(guān)系，強化借助用已知來研究未知這種探索問題的一般性的研究方法．柱、錐體體積公式推導(dǎo)的理論基礎(chǔ)是祖 原理．為此，必須將祖 原理要求的三個條件務(wù)必要落實到位，只有這樣，棱柱、圓柱與長方體之間的體積轉(zhuǎn)化以及一般棱錐與三棱錐之間的體積轉(zhuǎn)化才能水到渠成．三棱錐體積公式的推導(dǎo)是本節(jié)的重點，也是難點．要充分利用多媒體，通過課件演示，生動形象地表現(xiàn)三棱錐與三棱柱體積之間的關(guān)系，讓學(xué)生充分體會割補變換這一數(shù)學(xué)思想．最后，利用臺體的定義，并緊扣臺體與錐體的關(guān)系，求出臺體體積． 教學(xué)設(shè)計 一、問題情景 在多媒體屏幕上播出阿基米德利用水來辨別金王冠純度高低的故事．通過這個故事教師指出，在古代，人們就對體積的求法進行了探索．接著指出我國古代在公元5世紀對體積曾進行過比較深入的研究，引出祖 原理． 二、建立模型 （一）祖 原理 在屏幕上顯示祖 原理． 教師強調(diào)這個原理在歐洲直到17世紀才被意大利的卡瓦列里提出，比祖 之晚1100年以上，目的在于激發(fā)學(xué)生的愛國熱情． 1. 學(xué)生討論 教師啟發(fā)能否根據(jù)原理的思想，利用手中的課本等道具把這個原理解釋一下． 2. 練　習(xí) 設(shè)有底面積與高都相等的長方體和六棱柱，思考這兩個幾何體的體積有何關(guān)系． 說明：由于祖 原理條件比較復(fù)雜，學(xué)生不易弄清，教師要把已知條件分析清：（1）這兩個幾何體夾在兩個平行平面之間．（2）用平行于兩個平行平面的任一平面去截兩幾何體可得兩個截面．（3）兩個截面的面積相等．只有這三個條件都具備，才能得出兩個幾何體的體積相等． （二）柱體體積公式的推導(dǎo) ［問　題］ 設(shè)有底面積都等于S，高都等于h的任意一個棱柱，一個圓柱，如何求這兩個幾何體的體積？ 為了把這個問題讓學(xué)生水到渠成地想出來，可以提出以下幾個階梯性的問題． （1）柱體體積公式目前不知道，那么同學(xué)們會求什么特殊幾何體的體積呢？ （2）根據(jù)剛才對祖 原理的研究發(fā)現(xiàn)，如果兩個幾何體滿足祖 原理中的三個條件，那么這兩個幾何體的體積就可以相互轉(zhuǎn)化．柱體的體積公式目前不會求，能否利用祖 原理把目標幾何體的體積轉(zhuǎn)化為長方體的體積呢？教師進一步引導(dǎo)：構(gòu)造一長方體，使已知的棱柱、圓柱與構(gòu)造的長方體滿足祖 原理的條件． （3）長方體如何出現(xiàn)呢？ 讓學(xué)生討論得出：已知棱柱、圓柱目前已經(jīng)夾在兩平行平面之間，并且底面積相等，所以只要在兩平行平面之間放一個與前面兩幾何體底面積相等、高相等的長方體即可．根據(jù)祖 原理這三個幾何體的體積相等，而長方體體積可以利用底面積乘高求得，故兩目標幾何體的體積也就得出了． 教師在大屏幕上顯示推導(dǎo)過程：先把棱柱放在兩平行平面之間，然后再讓長方體出現(xiàn)，最后動態(tài)地顯示三個幾何體被平行于兩個平行平面的任一平面去截兩幾何體可得三個截面；三個截面的面積相等． 教師明晰：柱體（棱柱、圓柱）的體積等于它的底面積S和高h的積，即V柱體＝Sh． ［練　習(xí)］ 已知一圓柱的底面半徑r，高是h，求圓柱的體積． 教師明晰：底面半徑為r，高為h的圓柱的體積V圓柱＝Sh＝πr2h． （三）錐體體積公式的推導(dǎo) 1. 等底面積等高的兩個錐體的體積的關(guān)系 ［問　題］ （1）剛才我們利用祖 原理獲得了等底面積等高的柱體與長方體（兩個柱體）等體積，那么等底面積等高的兩個錐體的體積之間有什么關(guān)系呢？ （2）你們怎么知道它們的體積是相等的？ （有的學(xué)生會說是估計的） （3）能證實你們估計的結(jié)論（猜想）嗎？ （有了前面連續(xù)兩次用祖 原理證明等底等高的兩個柱體體積相等，學(xué)生的這個猜想就比較容易再次利用祖 原理來證明） 師生共同分析：用祖 原理． 設(shè)有任意兩個錐體，不妨選取一個三棱錐，一個圓錐，并設(shè)它們的底面積都是S，高都是h（如圖20-1）． （1）把這兩個錐體的底面放在同一個平面α上．由于它們的高相等，故它們的頂點必在與α平行的同一個平面β上，即這兩個錐體可夾在兩個平行平面α，β之間． （2）用平行于平面α的任意平面去截這兩個錐體，設(shè)截面面積分別為S1，S2，截面和頂點的距離是h1，體積分別為V1，V2，則由錐體平行于底面的截面性質(zhì)，知．所以，故S1＝S2．由祖 原理，知V1＝V2． （學(xué)生敘述，教師板書） 結(jié)論：如果兩個錐體的底面積相等，高也相等，那么它們的體積相等． 教師明晰：等底面積等高的兩個錐體的體積相等． （由學(xué)生提出問題、分析問題并解決問題，這是對學(xué)生高層次的要求．當(dāng)學(xué)生達不到這個層次時，可由教師提出問題，學(xué)生分析問題和解決問題．教師提出問題后要給學(xué)生觀察、比較、分析、歸納、猜想、發(fā)現(xiàn)的時間．著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾提出：只要數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程稍能反映出數(shù)學(xué)發(fā)明的過程，那么就應(yīng)當(dāng)讓猜想、合情推理占有適當(dāng)?shù)奈恢茫孪牒筮€要嚴格地證明，合情推理與邏輯推理并重，既教證明又教猜想，這才是解決問題的完整過程） 2. 錐體體積公式的推導(dǎo) 教師啟發(fā)：上述定理只是回答了具有等底面積、等高的兩個錐體的體積之間的相等關(guān)系，但這個體積如何求出，能否像柱體那樣有一個體積公式仍然是一個謎．然而它給了我們一個求錐體體積的有益啟示：只須找到一個“簡單”的錐體作為代表，如果這個代表的體積求出來了，那么，根據(jù)等底面積等高的兩個錐體的體積即可獲得其他錐體的體積． ［問　題］ （1）用怎樣的“簡單”錐體作代表來研究呢？ （2）如何求這類錐體的體積呢？ （此時學(xué)生思考受阻，可由教師啟發(fā)） （3）任何新知識都是在已知舊知識的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，現(xiàn)在我們已經(jīng)能求出柱體的體積．那么三棱錐的體積能否借助柱體的體積公式來求呢？ 教師啟發(fā)：可以嘗試補成三棱柱，然后考慮三棱錐與三棱柱之間體積的關(guān)系． 此時應(yīng)該給學(xué)生留出充分的時間，讓他們在練習(xí)本上把如圖20-2三棱錐A′—ABC以底面△ABC為底面，AA′為側(cè)棱補成一個三棱柱ABC—A′B′C′． 教師利用多媒體把這個三棱柱補出來（在屏幕上動態(tài)地補出）． （4）在三棱柱中，除三棱錐A′—ABC外的幾何體是不規(guī)則的，如能轉(zhuǎn)化成規(guī)則的就好了，如何轉(zhuǎn)化呢？ 教師啟發(fā)：連接點B′，C，就可把這個不規(guī)則的幾何體分割成兩個三棱錐． 教師利用屏幕動態(tài)顯示分割過程［分割三棱柱ABC—A′B′C′得三棱錐（1），（2），（3）．如圖20-3． （5）思考一下分割而得的三個三棱錐之間有何關(guān)系？ 學(xué)生討論得出：體積相等． （6）為什么相等？試簡要證明． （引導(dǎo)學(xué)生思考兩個錐體等體積的依據(jù)———前面定理的條件： （1）等底面積．（2）等高） 師生共同分析，同時教師板書：在三棱錐（2），（3）中，S△ABA′＝S△B′A′B，又由于它們有相同頂點C，故高也相等，所以V（2）＝V（3）．又在三棱錐（3），（4）中，SBCB′＝S△B′C′C，它們有相同頂點A′，故高也相等，所以V（3）＝V（4），所以V（2）＝V（3）＝V（4）＝V棱柱ABC—A′B′C′＝Sh． （7）一般錐體的體積又如何呢？ 設(shè)一般錐體的底面積為S，高為h．師生共同得出V錐體＝Sh（師板書）． （8）如何對這一結(jié)果進行證明？ 教師引導(dǎo)：構(gòu)造一個三棱錐，使其底面積為S，高為h，由于等底面積等高的錐體的體積相等，故V錐體＝V三棱錐＝Sh． 三、應(yīng)用與拓展 臺體體積公式的推導(dǎo)．已知棱臺ABCDE—A1B1C1D1E1的上下底面積為S上，S下，高為h，求證V棱臺＝（S上＋＋S下）． 為了解決臺體體積的求法可問學(xué)生下列階梯性問題： （1）臺體是如何定義的？ （2）臺體與被截的棱錐的體積有何關(guān)系？ （3）要求的臺體體積，只要求出棱錐與截后所得小棱錐的體積即可，要求棱錐的體積，有那些條件，還缺什么條件，如何求呢？ 隨著問題的一個個解決，思路也就水到渠成了． （分析完思路后，解題過程在大屏幕上打出） 教師明晰：臺體體積公式：一般地，棱臺的體積公式是V棱臺＝h（S上＋＋S下），其中S上，S下和ｈ分別為棱臺上底面積、下底面積和高． 點　評 這篇案例重在教師啟發(fā)下，讓學(xué)生進行一定量的思維活動．在公式的推導(dǎo)過程中，由于教師的階梯式提問，不斷創(chuàng)設(shè)思維情景，使學(xué)生積極參與教學(xué)活動，從而使學(xué)生的思維品質(zhì)得到了鍛煉和提高． 在錐體體積公式推導(dǎo)的過程中，教師不斷滲透聯(lián)系和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想．在這篇案例中，體現(xiàn)了兩次重要的轉(zhuǎn)化，一次是利用祖 原理將錐體體積公式的推導(dǎo)轉(zhuǎn)化為三棱錐體積公式的推導(dǎo)，簡化了研究系統(tǒng)；一次是利用割補變換建立了三棱錐與三棱柱之間的體積關(guān)系．其中，第一次轉(zhuǎn)化是通過邏輯推理實現(xiàn)的，第二次轉(zhuǎn)化是通過圖形變換實現(xiàn)的． 這篇案例之所以突出公式形成的過程，是為了使學(xué)生在參與公式的推導(dǎo)過程中能在數(shù)學(xué)內(nèi)容、數(shù)學(xué)方法和思維教育等方面吸收更多的營養(yǎng)． 這篇案例使用了計算機輔助教學(xué)，特別是在體現(xiàn)三棱錐與三棱柱兩種之間幾何體之間的體積關(guān)系時使用，使三棱錐與三棱柱之間割補變換顯得直觀，生動，形象，彌補了在黑板上畫圖動感差且又浪費時間的不足，也有利于學(xué)生對兩種幾何體之間關(guān)系的深刻認識，發(fā)揮了計算機的良好輔助作用． 美中不足的是，作為反映新理念的教學(xué)案例，如果能從學(xué)生可以直接操作的有關(guān)模型入手，通過多媒體的三維動態(tài)演示，使學(xué)生從直觀思維上升到空間的想象和邏輯推導(dǎo)，教學(xué)效果會更好．