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2019-2020年高二數學 1、2-2-1雙曲線及其標準方程同步練習 新人教A版選修1-1
一、選擇題
1．平面內到兩定點E、F的距離之差的絕對值等于|EF|的點的軌跡是( )
A．雙曲線 B．一條直線
C．一條線段 D．兩條射線
[答案] D
2．已知方程－＝1表示雙曲線，則k的取值范圍是( )
A．－1
0
C．k≥0 D．k>1或k<－1
[答案] A
[解析] 由題意得(1＋k)(1－k)>0，∴(k－1)(k＋1)<0，∴－10)
C.－＝1或－＝1
D.－＝1(x>0)
[答案] D
[解析] 由雙曲線的定義知，點P的軌跡是以F1、F2為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支，其方程為：－＝1(x>0)
9．已知雙曲線的左、右焦點分別為F1、F2，在左支上過F1的弦AB的長為5，若2a＝8，那么△ABF2的周長是( )
A．16 B．18
C．21 D．26
[答案] D
[解析] |AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，
∴|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16，
∴|AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21，
∴△ABF2的周長為|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26.
10．若橢圓＋＝1(m>n>0)和雙曲線－＝1(a>0，b>0)有相同的焦點，P是兩曲線的一個交點，則|PF1||PF2|的值為( )
A．m－a B．m－b
C．m2－a2 D.－
[答案] A
[解析] 設點P為雙曲線右支上的點，
由橢圓定義得|PF1|＋|PF2|＝2，
由雙曲線定義得|PF1|－|PF2|＝2.
∴|PF1|＝＋，|PF2|＝－，
∴|PF1||PF2|＝m－a.
二、填空題
11．雙曲線的焦點在x軸上，且經過點M(3,2)、N(－2，－1)，則雙曲線標準方程是________．
[答案] －＝1
[解析] 設雙曲線方程為：－＝1(a>0，b>0)
又點M(3,2)、N(－2，－1)在雙曲線上，
∴，∴.
12．過雙曲線－＝1的焦點且與x軸垂直的弦的長度為________．
[答案]
[解析] ∵a2＝3，b2＝4，∴c2＝7，∴c＝，
該弦所在直線方程為x＝，
由得y2＝，
∴|y|＝，弦長為.
13．如果橢圓＋＝1與雙曲線－＝1的焦點相同，那么a＝________.
[答案] 1
[解析] 由題意得a>0，且4－a2＝a＋2，∴a＝1.
14．一動圓過定點A(－4,0)，且與定圓B：(x－4)2＋y2＝16相外切，則動圓圓心的軌跡方程為________．
[答案]?。?(x≤－2)
[解析] 設動圓圓心為P(x，y)，由題意得
|PB|－|PA|＝4<|AB|＝8，
由雙曲線定義知，點P的軌跡是以A、B為焦點，且2a＝4，a＝2的雙曲線的左支．
其方程為：－＝1(x≤－2)．
三、解答題
15．討論＋＝1表示何種圓錐曲線，它們有何共同特征．
[解析] (1)當k<9時，25－k>0,9－k>0，
所給方程表示橢圓，
此時a2＝25－k，b2＝9－k，c2＝a2－b2＝16，
這些橢圓有共同的焦點(－4,0)，(4,0)．
(2)當90,9－k<0，
所給方程表示雙曲線，
此時，a2＝25－k，b2＝k－9，c2＝a2＋b2＝16，這些雙曲線也有共同的焦點(－4,0)，(4,0)．
(3)當k>25時，所給方程沒有軌跡．
16．設雙曲線與橢圓＋＝1有共同的焦點，且與橢圓相交，在第一象限的交點A的縱坐標為4，求此雙曲線的方程．
[解析] 橢圓＋＝1的焦點為(0，3)，
由題意，設雙曲線方程為：－＝1(a>0，b>0)，
又點A(x0,4)在橢圓＋＝1上，∴x＝15，
又點A在雙曲線－＝1上，∴－＝1，
又a2＋b2＝c2＝9，∴a2＝4，b2＝5，
所求的雙曲線方程為：－＝1.
17．已知雙曲線x2－＝1的焦點為F1、F2，點M在雙曲線上且＝0，求點M到x軸的距離．
[解析] 解法一：設M(xM，yM)，F1(－，0)，F2(，0)，＝(－－xM，－yM)，＝(－xM，－yM)
∵＝0，
∴(－－xM)(－xM)＋y＝0，
又M(xM，yM)在雙曲線x2－＝1上，∴x－＝1，
解得yM＝，
∴M到x軸的距離是|yM|＝.
解法二：連結OM，設M(xM，yM)，∵＝0，
∴∠F1MF2＝90，∴|OM|＝|F1F2|＝，
∴＝①
又x－＝1②
由①②解得yM＝，
∴M到x軸的距離是|yM|＝.
18．在面積為1的△PMN中，tan∠PMN＝，tan∠MNP＝－2，建立適當坐標系．求以M、N為焦點且過點P的雙曲線方程．
[解析] 解法一：以MN所在直線為x軸，MN的中垂線為y軸建立直角坐標系．設P(x0，y0)，M(－c,0)，N(c,0)(y0>0，c>0)．(如圖)
則解得
設雙曲線方程為－＝1，
將點P＝代入，可得a2＝.
∴所求雙曲線方程為－＝1.
解法二：以MN所在直線為x軸，MN的中垂線為y軸建立直角坐標系，作PA⊥x軸于A點．
設P(x0，y0)，M(－c,0)，N(c,0)，(y0>0，c>0)(如圖所示)
因為tan∠MNP＝－2，所以tan∠xNP＝2，
故＝2，＝，
即AN＝，AM＝2y0，
所以2c＝y(tǒng)0，即y0＝c，
又因為S△PMN＝1，所以MNPA＝1，
即2cc＝1，∴c＝，
而2a＝PM－PN
＝－
＝y(tǒng)0－y0＝，
∴a＝，
故所求雙曲線方程為－＝1.
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