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2019-2020年高考數(shù)學 考點23 兩個計數(shù)原理、排列、組合及其應(yīng)用、二項式定理及應(yīng)用練習 二項式定理及應(yīng)用 1.（xx湖北高考文科Ｔ6）現(xiàn)有6名同學去聽同時進行的5個課外知識講座，每名同學可自由選擇其中的一個講座，不同選法的種數(shù)是( ) （A） （B） （C） （D） 【命題立意】本題主要考查分類和分步計數(shù)原理，考查考生的邏輯推理能力． 【思路點撥】因每名同學可自由選擇其中的一個講座，故6名同學的安排可分6步進行，每步均有5種選擇，由分步計數(shù)原理即可得出答案. 【規(guī)范解答】選A.每名同學可自由選擇5個講座中的其中一個講座，故6名同學的安排可分6步進行，每步均有5種選擇，因此共有種不同選法. 【方法技巧】本題每名同學可自由選擇其中的一個講座，故每位同學的選擇都有5種，共有種不同選法.若將“每名同學可自由選擇其中的一個講座”改為“每一個講座都至少有一位同學去聽”，它就是一個典型的不同元素的分組問題.利用“先分堆，再分配”的思想將6名同學分為5堆，再分給5個不同的講座，有1 800種不同選法. 2.（xx湖北高考理科Ｔ8）現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學參加上海世博會志愿者服務(wù)活動，每人從事翻譯、導游、禮儀、司機四項工作之一，每項工作至少有一人參加.甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數(shù)是（ ） （A）152 （B）126 （C）90 （D）54 【命題立意】本題主要考查分類和分步計數(shù)原理，考查排列、組合知識的應(yīng)用，考查考生的運算求解能力． 【思路點撥】由甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作知，司機工作很特殊.按安排幾個人擔任司機工作可分為兩類：①司機只安排1人；②司機安排2人，然后將其余的人安排到其他三個不同的位置. 【規(guī)范解答】選B.當司機只安排1人時，有=108(種)；當司機安排2人時有=18(種).由分類計數(shù)原理知不同安排方案的種數(shù)是108+18=126（種）. 【方法技巧】本題要求每項工作至少有一人參加，因此屬于不同元素的分組問題，解題時往往采用“先分堆，再分配”的辦法.若去掉“每項工作至少有一人參加”的限制，則甲、乙二人各有3種選擇，丙、丁、戊各有4種選擇，因此共有（種）安排方案. 3.（xx全國高考卷Ⅱ理科Ｔ6）將標號為1，2，3，4，5，6的6張卡片放入3個不同的信封中，若每個信封放2張，其中標號為1，2的卡片放入同一信封，則不同的放法共有( ) （A）12種 （B）18種 （C）36種 （D）54種 【命題立意】本題考查了排列、組合的知識. 【思路點撥】運用先選后排解決，先從3個信封中選取一個放入標號為1，2的2張卡片，然后剩 余的2個信封分別放入2張卡片. 【規(guī)范解答】選B.標號為1，2的卡片放法有A種，其他卡片放法有種，所以共有A=18（種）. 【方法技巧】先排列特殊元素是解決排列、組合問題的常用方法. 4.（xx全國卷Ⅰ理科Ｔ6）某校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學從中共選3門，若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有（ ） (A) 30種 (B)35種 (C)42種 (D)48種 【命題立意】本題主要考查考生能否利用所學的加法原理、乘法原理以及排列、組合知識靈活地處理有關(guān)計數(shù)問題，能否結(jié)合具體問題確定恰當?shù)姆诸悩藴剩怀隹疾榉诸愑懻摰臄?shù)學思想. 【思路點撥】解決本題可以采用直接法進行分類，也可采用間接法利用對立事件解決. 事件“兩類課程中 各至少選一門”的對立事件是“全部選修A和全部選修B”. 【規(guī)范解答】選A.方法一：可分以下2種情況:①A類選修課選1門,B類選修課選2門,有種不同的選法；②A類選修課選2門,B類選修課選1門,有種不同的選法.所以不同的選法共有+（種）. 方法二：∵事件“兩類課程中各至少選一門”的對立事件是“全部選修A和全部選修B”， ∴兩類課程中各至少選一門的種數(shù)為（種）. 【方法技巧】排列與組合的應(yīng)用題，主要考查有附加條件的應(yīng)用問題，解決這類問題通常有三種途徑: (1)以元素為主考慮，應(yīng)先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素. (2)以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置. (3)先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù). 前兩種方式叫直接解法，后一種方式叫間接(剔除)解法. 5.（xx四川高考文科Ｔ9）由1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字且1，2都不與5相鄰的5位數(shù)的個數(shù)是（ ） (A)36 (B)32 (C)28 (D)24 【命題立意】本題主要考查有限制條件的排列、組合問題，考查了學生利用所學知識解決實際問題的能力. 【思路點撥】先排5，再排1,2.分兩類：5在兩端，1,2有三個位置可選擇；5不在兩端，1，2有 兩個位置可選擇. 【規(guī)范解答】選A.如果5在兩端，則1，2有三個位置可選，排法為（種）； 如果5不在兩端，則1，2只有兩個位置可選， 排法有（種），共計24+12=36（種）. 【方法技巧】優(yōu)先考慮特殊元素.復(fù)雜問題，分類求解. 6.（xx湖北高考理科Ｔ8）現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學參加上海世博會志愿者服務(wù)活動，每人從事翻譯、導游、禮儀、司機四項工作之一，每項工作至少有一人參加.甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數(shù)是( ) (A)152 (B)126 (C)90 (D)54 【命題立意】本題主要考查分類和分步計數(shù)原理，考查排列、組合知識的應(yīng)用，考查考生的運算求解能力． 【思路點撥】由甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作知，司機工作很特殊.按安排幾個人擔任司機工作可分為兩類：①司機只安排1人；②司機安排2人，然后將其余的人安排到其他三個不同的位置. 【規(guī)范解答】選B.當司機只安排1人時，有=108(種)；當司機安排2人時有=18(種).由分類計數(shù)原理知不同安排方案的種數(shù)是108+18=126(種). 【方法技巧】本題要求每項工作至少有一人參加，因此屬于不同元素的分組問題，解題時往往采用“先分堆，再分配”的辦法.若去掉“每項工作至少有一人參加”的限制，則甲、乙二人各有3種選擇，丙、丁、戊各有4種選擇，因此共有(種)安排方案. 7.（xx重慶高考文科Ｔ１0）某單位擬安排6位員工在今年6月14日至16日（端午節(jié)假期）值班，每天安排2人，每人值班1天.若6位員工中的甲不值14日，乙不值16日，則不同的安排方法共有（ ） (A)30種 (B)36種 (C)42種 (D)48種 【命題立意】本題考查分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理，考查排列、組合的知識及其綜合應(yīng)用，考查分類討論的思想方法. 【思路點撥】先考慮特殊元素甲、乙，再安排其他員工. 【規(guī)范解答】選C.（1）若甲、乙安排在同一天值班，則只能在15日值班，其余四人的值班安排方法有（種）.（2）若甲、乙不在同一天值班，則甲只能在15日或16日值班，若甲在16日值班，則有（種）；若甲在15日值班，則乙只能在14日值班，共有（種），所以共有（種）. 【方法技巧】本題用到分類討論的方法，按照特殊元素和特殊位置進行討論. 8.（xx四川高考理科Ｔ10）由1，2，3，4，5，6組成沒有重復(fù)數(shù)字且1，3都不與5相鄰的六位偶數(shù)的個數(shù)是（ ） （A）72 （B）96 （C）108 （D）144 【命題立意】本題主要考查了有限制條件的排列、組合問題，考查了學生利用所學知識解決實際問題的能力. 【思路點撥】要得到偶數(shù)，第一步考慮，個位數(shù)字的選取，有3種選法；第二步考慮1，3相鄰的問題，分兩類：一類是1，3相鄰，且都不與5相鄰，另一類1,3,5均不相鄰. 【規(guī)范解答】選C.第一步： 由于是組成一個6位的偶數(shù)，那么尾數(shù)就應(yīng)該是在2，4，6中選， 有種方法.第二步：又因為1，3不與5相鄰，將其分為兩類：①先將剩下的2個偶數(shù)排好有 種排法，1和3捆綁，再與5插空有種插法，共有種排法；②先將剩下的2個 偶數(shù)排好有種排法，把 1，3，5插空，有種插法，共有種排法,故符合題意的所有 偶數(shù)有（個）. 【方法技巧】相鄰問題，捆綁排列；不相鄰問題，插空排列;復(fù)雜問題，分類討論. 9.（xx重慶高考理科Ｔ9）某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，則不同的安排方案共有（ ） （A）504種 （B）960種 （C）1 008種 （D）1 108種 【命題立意】本題考查分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理，考查排列、組合的知識及其綜合應(yīng)用，考查分類討論的思想方法. 【思路點撥】先安排甲、乙，再考慮丙、丁，最后安排其他員工. 【規(guī)范解答】選C.（1）若甲、乙安排在開始兩天，則丁有4種選擇，共有安排方案（種）.（2）若甲、乙安排在最后兩天，則丙有4種選擇，共有（種）.（3）若甲、乙安排在中間5天，選擇兩天有4種可能，若丙安排在10月7日，丁有4種安排法，共有（種）；若丙安排在中間5天的其他3天，則丁有3種安排法，共有（種），所以共有1 008（種）. 【方法技巧】本題用到分類討論的方法，按照特殊元素（甲、乙在一起，丙丁不在某位置）進行討論；用到分類枚舉法.例如，丙不在10月1日，則考慮在10月7日和10月2日至10月6日中三天的情形. 10.（xx重慶高考文科Ｔ１）的展開式中的系數(shù)為（ ） （A）4 （B）6 （C）10 （D）20 【命題立意】本題考查二項式定理的基礎(chǔ)知識，考查二項展開式的通項公式的應(yīng)用，考查運算求解的能力，考查方程的思想. 【思路點撥】根據(jù)二項展開式的通項公式求解或楊輝三角求解,還可以利用多項式的乘法公式將其展開. 【規(guī)范解答】選B.方法一：，令，則，所以. 方法二：楊輝三角中有一行的系數(shù)1 4 6 4 1，即為的展開式的系數(shù)，故x2的系數(shù)為6. 方法三： . 【方法技巧】（1）公式法.（2）楊輝三角、數(shù)表法.（3）應(yīng)用多項式的乘法公式計算. 11.（xx江西高考文科Ｔ３）展開式中項的系數(shù)為( ) (A) (B) (C) (D) 【命題立意】本題主要考查二項式定理及通項公式的應(yīng)用． 【思路點撥】先寫出通項，再令的次數(shù)為3，求出的值，最后求系數(shù). 【規(guī)范解答】選D.其中可取0，1，2，，10，令得項的系數(shù)為 故選D. 12. （xx江西高考理科Ｔ６）展開式中不含項的系數(shù)的和為( ) （A） （B） （C） （D） 【命題立意】本題主要考查二項式定理及通項公式的應(yīng)用，還考查函數(shù)的求值，考查數(shù)學中常用的 函數(shù)思想． 【思路點撥】先求所有項的系數(shù)和， 再求含項的系數(shù)，最后相減. 【規(guī)范解答】選Ｂ．令得所有項的系數(shù)和，又通項，其中r可取0，1，2，…，8，令r=8得，所以不含項的系數(shù)的和為. 13. （xx全國卷Ⅰ文科Ｔ5）的展開式中的系數(shù)是（ ） (A)-6 (B)-3 (C)0 (D)3 【命題立意】本題主要考查了考生對二項式定理的掌握情況，尤其是展開式的通項公式的靈活應(yīng)用，以及能否區(qū)分展開式中項的系數(shù)與其二項式系數(shù)，同時也考查了考生的一些基本運算能力. 【思路點撥】利用二項展開式分別將兩個因式展開，再應(yīng)用多項式的乘法公式進行運算. 【規(guī)范解答】選A. 的系數(shù)是 . 14.（xx全國卷Ⅰ理科Ｔ5）的展開式中的系數(shù)是( ) (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4 【命題立意】本題主要考查利用二項展開式通項求展開式中特定項，充分考查學生的運算能力. 【思路點撥】利用展開式中第項將兩式展開， 確定的系數(shù). 【規(guī)范解答】選C. 的系數(shù)是. 15.（xx江西高考文科Ｔ14）將5位志愿者分成3組，其中兩組各2人，另一組1人，分赴世博會的三個不同場館服務(wù)，不同的分配方案有 種（用數(shù)字作答）. 【命題立意】本題主要考查排列、組合的基本知識，考查排列、組合公式的應(yīng)用，考查分類與分步計數(shù)原理． 【思路點撥】先確定分組數(shù)，再求分配方案種數(shù).注意均分組問題. 【規(guī)范解答】 由題意，共分組數(shù)為每種分組對應(yīng)分配方案種，所以 共(種). 【答案】90 【方法技巧】本題重點考查的是均分組問題，也是考生的易錯點，解決這類問題一定要把握好是有序均分還是無序均分例如，共6人，分成2，2，1，1的四組中有兩對均分組，也可表達為.這一點在今后解題中一定要引起特別注意. 16.（xx江西高考理科Ｔ１４）將6位志愿者分成4組，其中兩個組各2人，另兩個組各1人，分赴世博會的四個不同場館服務(wù)，不同的分配方案有_________種（用數(shù)字作答）． 【命題立意】本題主要考查排列、組合的基本知識，考查排列、組合公式的應(yīng)用，考查分類與分步計數(shù)原理． 【思路點撥】先求分成4組的方法數(shù)，再確定分配方案種數(shù). 【規(guī)范解答】由題意可知，分成4組共有種分法，故不同的分配方案有=1 080(種). 【答案】1 080 【方法技巧】本題重點考查的是均分組問題，也是考生的易錯點，解決這類問題一定要把握好是有序均分還是無序均分.例如，本題中先分成的四組中有兩對均分組，也可表達為.這一點在今后解題中一定要引起特別注意. 17.（xx全國高考卷Ⅱ文科Ｔ14）的展開式中，的系數(shù)是_________. 【命題立意】本題考查了二項式定理展開公式. 【思路點撥】由二項式定理得通項，令的指數(shù)為3求出,從而確定 的系數(shù). 【規(guī)范解答】 ，令得.所以的系數(shù)是84. 【答案】 18.（xx湖北高考文科Ｔ11）在的展開中，的系數(shù)為______. 【命題立意】本題主要考查二項展開式的特定項，同時考查考生的運算求解能力． 【思路點撥】由二項展開式的通項找出項對應(yīng)的，再計算對應(yīng)的系數(shù)即得. 【規(guī)范解答】 由，知：項對應(yīng)的為2，故的系數(shù)為. 【答案】45 【方法技巧】求二項展開式的特定項，只需利用通項找出對應(yīng)的值，帶入通項計算即得. 19.（xx四川高考文科Ｔ13）的展開式中的常數(shù)項為 (用數(shù)字作答). 【命題立意】本題主要考查二項式定理的展開式的通項公式及冪的運算. 【思路點撥】直接套用公式.的第項為. 【規(guī)范解答】，當， 即時，得常數(shù)項. 【答案】 20.（xx四川高考理科Ｔ13）的展開式中的第四項是 . 【命題立意】本題主要考查了二項式定理展開式的通項公式. 【思路點撥】直接套用公式.的第項為. 【規(guī)范解答】. 【答案】 21.（xx全國高考卷Ⅱ理科Ｔ14）若的展開式中的系數(shù)是，則 ． 【命題立意】本題考查了二項式定理展開公式. 【思路點撥】寫出二項式定理展開通項，令的指數(shù)為3，然后確定的值. 【規(guī)范解答】，令，得. 所以，得. 【答案】1 22.（xx湖北高考理科Ｔ11）在的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項共有 項. 【命題立意】本題主要考查考生對二項展開式的通項的掌握和對系數(shù)為有理數(shù)的項的理解，考查考生的運算求解能力． 【思路點撥】先明確系數(shù)為有理數(shù)的項的特征，然后由二項展開式的通項找出符合條件的項的個數(shù). 【規(guī)范解答】由=，且知，當且僅 時所對應(yīng)的項的系數(shù)為有理數(shù). 【答案】6 【方法技巧】展開式中的特定項的求解一定要借用通項，.找出符合條件的，再求出對應(yīng)項即可.