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2019-2020年高考數(shù)學(xué)精英備考專題講座 第六講解析幾何 第四節(jié)解析幾何的綜合應(yīng)用 文 解析幾何是歷年高考的熱點(diǎn)，每年高考卷上選擇題、填空題、解答題都會(huì)出現(xiàn)，基本呈現(xiàn)穩(wěn)定的態(tài)勢，而且解答題難度較大，綜合性強(qiáng)，且經(jīng)常以壓軸題的形式出現(xiàn)，入手容易但計(jì)算量大，又與其他知識(shí)綜合命題，所以成了大部分學(xué)生在高考中的心理障礙，是解題時(shí)的“雞肋”．復(fù)習(xí)時(shí)如何突破這塊知識(shí)點(diǎn)，是我們亟待解決的問題.難度值跨度比較大，在0.3～0.8之間. 考試要求 （1）了解直線、曲線的實(shí)際背景；（2）掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)；（3）了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道其幾何性質(zhì)；（4）了解拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程，知道其幾何性質(zhì)；（5）了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用；（6）掌握數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法. 題型一 有關(guān)圓知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用 例1、在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為 （1）求實(shí)數(shù)的取值范圍； （2）求圓的方程； （3）問圓是否經(jīng)過某定點(diǎn)（其坐標(biāo)與無關(guān)）？請(qǐng)證明你的結(jié)論. 點(diǎn)撥：根據(jù)二次函數(shù)圖象的特點(diǎn)：開口向上，與軸交點(diǎn)為可以得出b的范圍.又由圓是過拋物線與坐標(biāo)軸三交點(diǎn)的圓和圓的一般方程的特點(diǎn)，可以用來表示圓的一般方程.再由方程的解和曲線方程的定義可以假設(shè)圓要過點(diǎn)且不依賴，將該點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的方程中，整理變形，再觀察驗(yàn)證圓是否過定點(diǎn). 解：（1）令，得拋物線與軸交點(diǎn)是，令，由題意且，解得且. （2）設(shè)所求圓的一般方程為，令得，它與是同一個(gè)方程，故，F(xiàn)=b，令得，此方程有一個(gè)根為，代入得所以圓的方程為. （3）圓過定點(diǎn).證明如下：假設(shè)圓過定點(diǎn)(不依賴于)將該點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程,并變形為，為使式對(duì)所有滿足的都成立，必須有，結(jié)合式解得或經(jīng)檢驗(yàn)知點(diǎn)均在圓上，因此圓過定點(diǎn).. 易錯(cuò)：（1）中學(xué)生很有可能直接解得而沒；（2）中沒有意識(shí)到令，與是同一個(gè)方程沒解出，；（3）對(duì)方程不知道怎么下手，從而得不出. 變式與引申 1.已知以點(diǎn)為圓心的圓與軸交于點(diǎn)、與軸交于點(diǎn)、，其中為原點(diǎn). （1）證明：的面積為定值； （2）設(shè)直線與圓交于點(diǎn)，，若，求圓的方程. 題型二 圓錐曲線的定義及應(yīng)用 例2 ：如圖，和分別是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且△是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（ ）. （A） （B） （C） （D） 點(diǎn)撥：利用雙曲線的定義及直角三角形面積的兩種表示形式，建立方程組再求解. 解：連AF1，則△AF1F2為直角三角形，且斜邊F1F2之長為2c. 令由直角三角形性質(zhì)知： ，∴. ∵ ， ∴，∴ .∵e﹥1，∴取.故選D. 注：本題若求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再代入雙曲線方程也可求出. 易錯(cuò)點(diǎn)：（1）正確應(yīng)用相應(yīng)曲線的定義至關(guān)重要，否則解題思路受阻.（2）由直角三角形面積的兩種表示形式得出關(guān)系式是值得注意的問題. 變式與引申 2.雙曲線=1(b∈)的兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2，P為雙曲線上一點(diǎn)，|OP|＜5，|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比數(shù)列，則b2=_________. 題型三 圓錐曲線的幾何性質(zhì) 圖 例3、如圖所示，從橢圓上一點(diǎn)向軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點(diǎn)，且它的長軸端點(diǎn)及短軸端點(diǎn) 的連線 （1）、求橢圓的離心率； （2）、設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，是右焦點(diǎn)，是左焦點(diǎn)，求的取值范圍； （3）、設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，延長與橢圓交于一點(diǎn)P，若的面積為，求此時(shí)橢圓的方程. 點(diǎn)撥：從著手，尋找、的關(guān)系，最后求得離心率；在焦點(diǎn)三角形中，用余弦定理，求得的范圍，從而求得的范圍；則與橢圓相交，求得弦的長和點(diǎn)到的距離，由的條件求得橢圓方程中的、，從而求得方程. 解：（1）軸 代入橢圓方程 得， . 又且，， 故從而 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式成立.故. （3）設(shè)橢圓方程為 直線的方程為代入橢圓方程，得. 又點(diǎn)到的距離 由得故.所求橢圓方程為. （注：此問亦可用求得） 點(diǎn)評(píng)：本例中第（1）問是課本題，第（2）（3）問是該題的引申，像這種源與課本，又有拓寬引申的題常常是高考試題的來源之一，應(yīng)引起大家的重視，注意掌握好這一類問題. 變式與引申 3.已知拋物線y2＝2px（p>0）的準(zhǔn)線與圓（x－3）2＋y2＝16相切，則p的值為 （ ） A. B.1 C.2 D.4 題型四 直線與圓錐曲線的關(guān)系 【例4】設(shè)O為拋物線的頂點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)且PQ為過焦點(diǎn)的弦，若|OF|=a，|PQ|=b，求△OPQ的面積. 點(diǎn)撥：結(jié)合拋物線方程的特點(diǎn)，可設(shè)方程為y2=4ax（a>0），F(xiàn)（a，0），再運(yùn)用拋物線的定義，找出、兩點(diǎn)橫坐標(biāo)、關(guān)系，最后設(shè)過方程的直線為（還要注意斜率存在與否的討論）由求解即可. 解：如圖8所示，由題意知拋物線的方程為，F(xiàn) 設(shè)，由拋物線的定義知： 所以 由 故 設(shè)過F的弦的斜率為k，則其方程為 將其與拋物線方程聯(lián)立知：ky2－4ay－4a2k=0 若斜率不存在，則其兩個(gè)交點(diǎn)為（a，2a）與（a，－2a），同樣有 那么 因此： 易錯(cuò)：（1）不會(huì)使用焦半徑公式而導(dǎo)致運(yùn)算復(fù)雜；（2）直接設(shè)過F的弦的斜率為k，則其方程為后面沒有對(duì)斜率k是否存在進(jìn)行討論. 變式與引申 4．（2011年高考四川卷文）過點(diǎn)C(0，1)的橢圓的離心 率為，橢圓與x軸交于兩點(diǎn)、，過點(diǎn)C的直線l與橢圓交 于另一點(diǎn)D，并與x軸交于點(diǎn)P，直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q． （I）當(dāng)直線l過橢圓右焦點(diǎn)時(shí)，求線段CD的長； （Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P異于點(diǎn)B時(shí)，求證：為定值． 本節(jié)主要考察：（1）基礎(chǔ)知識(shí)有圓錐曲線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì).以及這些知識(shí)的綜合應(yīng)用.（2）基本方法有求圓錐曲線的定義法、待定系數(shù)法、相關(guān)點(diǎn)法、點(diǎn)差法、設(shè)而不求的整體思想以及坐標(biāo)法和“幾何問題代數(shù)化”等解析幾何的基本方法.（3）基本思想有數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想等.（4）基本能力有邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力、探究創(chuàng)新能力，并嘗試考察解決實(shí)際問題的能力. 點(diǎn)評(píng)：（1）圓錐曲線是解析幾何的重點(diǎn)，也是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，同時(shí)又是熱點(diǎn)和壓軸點(diǎn)之一，主要考察圓錐曲線的定義與性質(zhì)，求圓錐曲線的方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，以圓錐曲線為載體的探索性問題等. （2）恰當(dāng)利用圓錐曲線的定義和幾何特征，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，可避免繁瑣的推理和運(yùn)算. （3）求圓錐曲線主要方法有定義法、待定系數(shù)法、相關(guān)點(diǎn)法，另外還有直接法、參數(shù)法等. （4）圓錐曲線的性質(zhì)如范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、離心率、焦半徑、焦點(diǎn)三角形、通徑等都是高考命題點(diǎn)，它們?cè)从谡n本，高于課本，應(yīng)引起重視，注意掌握這類問題的求解方法與策略.如求離心率的大小或范圍，只需列出關(guān)于基本量a、b、c的一個(gè)關(guān)系式即可. （5）求參數(shù)的最值或范圍問題是圓錐曲線的一種常見問題，主要方法一是根據(jù)條件建立含參數(shù)的等式，再分離參數(shù)求其值域；另一是列出含參數(shù)的不等式，進(jìn)而求之.列不等式的思路有①運(yùn)用判別式△>0或；②點(diǎn)在圓錐曲線的內(nèi)部或外部；③利用圓錐曲線的幾何意義（如橢圓中-a≤x≤a）；④根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊（注意共線情況）等. （6）充分利用向量的工具作用，運(yùn)用坐標(biāo)法，把幾何問題變?yōu)榧兇鷶?shù)問題，體現(xiàn)解析幾何的基本思想方法. （7）運(yùn)用韋達(dá)定理的解題方法是解析幾何中解決直線和圓錐曲線問題的核心方法，其解題步驟是“設(shè)”（點(diǎn)的坐標(biāo)，直線、曲線方程）、“聯(lián)”（聯(lián)立方程組）、“消”（消去一元，得到一元二次方程）、“用”（ 運(yùn)用韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、弦長公式等）、“判”（ 運(yùn)用判別式檢驗(yàn)、求參數(shù)的值或縮小參數(shù)的取值范圍）. （8）關(guān)注解析幾何中的探究創(chuàng)新問題，解題思路往往是先假設(shè)滿足題意，即從承認(rèn)結(jié)論、變結(jié)論為條件出發(fā)，然后通過歸納，逐步探索待求結(jié)論. （9）適當(dāng)關(guān)注解析幾何應(yīng)用題，它體現(xiàn)圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用.標(biāo)準(zhǔn)卷更重視應(yīng)用意識(shí)的考查. （10）由于對(duì)雙曲線的要求明顯降低，以它作為載體的解析幾何大題的可能性已減少，所以解析幾何大題的最大可能素材是用坐標(biāo)法解決直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系等問題. 練習(xí)6-4 1.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，且軸， 直線交軸于點(diǎn)．若，則橢圓的離心率是（ ） A． B． C． D． 2.斜率為 1的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，則的最大值為（ ） A. B． C． D. 3.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn).若線段的中點(diǎn)在拋物線上，則到該拋物線準(zhǔn)線的距離為_____________. 4．已知橢圓、拋物線的焦點(diǎn)均在軸上，的中心和的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)，從每條曲線上取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于下表中： 3 2 4 0 4 （Ⅰ）求的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）請(qǐng)問是否存在直線滿足條件：①過的焦點(diǎn)；②與交不同兩點(diǎn)且滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由． 5. 已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為 （Ⅰ）若，求橢圓的方程； （Ⅱ）設(shè)直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若，求的取值范圍。 【答案】 變式與引申 圓與直線不相交，不符合題意舍去，圓的方程為. 2. 1 提示：設(shè)F1(－c,0）、F2(c,0)、P(x,y),則|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)＜2(52+c2), 即|PF1|2+|PF2|2＜50+2c2,又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|－|PF2|)2+2|PF1||PF2|, 依雙曲線定義，有|PF1|－|PF2|=4, 依已知條件有|PF1||PF2|=|F1F2|2=4c2 ∴16+8c2＜50+2c2,∴c2＜,又∵c2=4+b2＜,∴b2＜,∴b2=1. 3. C 提示：本題考查拋物線的相關(guān)幾何性質(zhì)及直線與圓的位置關(guān)系 法一：拋物線y2＝2px（p>0）的準(zhǔn)線方程為，因?yàn)閽佄锞€y2＝2px（p>0）的準(zhǔn)線與圓（x－3）2＋y2＝16相切，所以 法二：作圖可知，拋物線y2＝2px（p>0）的準(zhǔn)線與圓（x－3）2＋y2＝16相切與點(diǎn)（-1,0） 所以 4．解：（Ⅰ）由已知得，解得，所以橢圓方程為． 橢圓的右焦點(diǎn)為，此時(shí)直線的方程為 ，代入橢圓方程得 ，解得，代入直線的方程得 ，所以， 故． （Ⅱ）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)與題意不符． 設(shè)直線的方程為．代入橢圓方程得． 解得，代入直線的方程得，所以D點(diǎn)的坐標(biāo)為． 又直線AC的方程為，又直線BD的方程為，聯(lián)立得 因此，又．所以．故為定值． 習(xí)題6-4 1．D 提示：對(duì)于橢圓，因?yàn)?，則 2．C 提示：設(shè)直線的方程為，則弦長. 3. 提示：利用拋物線的定義結(jié)合題設(shè)條件可得出p的值為，B點(diǎn)坐標(biāo)為（）所以點(diǎn)B到拋物線準(zhǔn)線的距離為，本題主要考察拋物線的定義及幾何性質(zhì)，屬容易題. （Ⅱ）方法一：假設(shè)存在這樣的直線過拋物線焦點(diǎn)，設(shè)直線的方程為兩交點(diǎn)坐標(biāo)為，由消去，得 ∴ ① ② 由，即，得 將①②代入（*）式，得， 解得 所以假設(shè)成立，即存在直線滿足條件，且的方程為：或. 方法二：容易驗(yàn)證直線的斜率不存在時(shí)，不滿足題意； 當(dāng)直線斜率存在時(shí)，假設(shè)存在直線過拋物線焦點(diǎn)，設(shè)其方程為，與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，由消掉，得 ， 于是 ， ① 即 ② 由，即，得 將①、②代入（*）式，得 ，解得； 所以存在直線滿足條件，且的方程為：或． 整理得 ，因?yàn)?，所以? 所以，即 來源：