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第十一章 方差分析,,學習要求,基本概念： 指標、 因素、 水平、 單因素方差分析、 雙因素方差分析 基本步驟 掌握單因素方差分析的基本方法,單因素試驗 的方差分析,在工農業(yè)生產和科研活動中，我們經常遇到這樣的問題：影響產品產量、質量的因素很多，例如影響農作物的單位面積產量有品種、施肥種類、施肥量等許多因素。我們要了解這些因素中哪些因素對產量有顯著影響，就要先做試驗，然后對測試結果進行分析，作出判斷。方差分析就是分析測試結果的一種方法。,引 言,基 本 概 念,試驗指標——試驗結果。,可控因素——在影響試驗結果的眾多因素中，可人為 控制的因素。,水平——可控因素所處的各種各種不同的狀態(tài)。每個 水平又稱為試驗的一個處理。,單因素試驗——如果在一項試驗中只有一個因素改變， 其它的可控因素不變，則該類試驗稱為 單因素試驗。,引例,例1 （燈絲的配料方案優(yōu)選）某燈泡廠用四種配料方案制成的燈絲生產了四批燈泡，在每批燈泡中作隨機抽樣，測量其使用壽命（單位：小時），數(shù)據(jù)如下：,,,燈泡的使用壽命——試驗指標,燈絲的配料方案——試驗因素（唯一的一個）,四種配料方案（甲乙丙?。膫€水平,因此，本例是一個四水平的單因素試驗。,引 例,用X1，X2，X3，X4分別表示四種燈泡的使用壽命，即為 四個總體。假設X1，X2，X3，X4相互獨立，且服從方差 相同的正態(tài)分布，即Xi~N（?i，?2）（i=1，2，3，4）,本例問題歸結為檢驗假設 H0：?1= ?2= ?3= ?4 是否成立,我們的目的是通過試驗數(shù)據(jù)來判斷因素 A 的不同水平對試驗指標是否有影響。,設 A 表示欲考察的因素，它的 個不同水平，對應的指標視作 個總體 每個水平下,我們作若干次重復試驗： （可等重復也可不等重復），同一水平的 個結果，就是這個總體 的一個樣本：,單因素試驗的方差分析,單因素試驗資料表,縱向個體間的差異稱為隨機誤差（組內差異），由試驗造成；橫向個體間的差異稱為系統(tǒng)誤差（組間差異），由因素的不同水平造成。,單因素試驗的方差分析的數(shù)學模型,具有方差齊性。,相互獨立，從而各子樣也相互獨立。,首先，我們作如下假設：,檢驗假設：,考察統(tǒng)計量,經恒等變形，可分解為：,其中,反映的是各水平平均值偏離總平均值的偏離程度。,,如果H0 成立，則SSA 較小。,總離差平方和,反映的是重復試驗種隨機誤差的大小。,由272頁4可得：,將 的自由度分別記作,則,（記 ，稱作均方和）,則,（記 ，稱作均方和）,對給定的檢驗水平 ，由,得H0 的拒絕域為：,F 單側檢驗,,結論：方差分析實質上是假設檢驗，從分析離差平方和入手，找到F統(tǒng)計量，對同方差的多個正態(tài)總體的均值是否相等進行假設檢驗。單因素試驗中兩個水平的均值檢驗可用第九章的雙樣本均值檢驗法。,思考：為什么此處只做單側檢驗？,（1）若 ，則稱因素的差異極顯著（極有統(tǒng)計意義），或稱因素A的影響高度顯著，這時作標記 ；,約 定,（2）若 ，則稱因素的差異顯著（差異 有統(tǒng)計意義），或稱因素A的影響顯著，作標記 ；,（3）若 ，則稱因素A有一定影響，作標記（ ）；,（4）若 ，則稱因素A無顯著影響（差異無統(tǒng)計意義）。,注意：在方差分析表中，習慣于作如下規(guī)定：,簡便計算公式：,其中,同一水平下觀測值 之和,所以觀測 值之和,方差分析步驟,,【例】為了對幾個行業(yè)的服務質量進行評價，消費者協(xié)會在四個行業(yè)分別抽取了不同的企業(yè)作為樣本。最近一年中消費者對總共23家企業(yè)投訴的次數(shù)如下表,分析四個行業(yè)之間的服務質量是否有顯著差異，作出這種判斷需要檢驗這四個行業(yè)被投訴次數(shù)的均值是否相等 如果它們的均值相等，就意味著“行業(yè)”對投訴次數(shù)是沒有影響的，即它們之間的服務質量沒有顯著差異； 如果均值不全相等，則意味著“行業(yè)”對投訴次數(shù)是有影響的，它們之間的服務質量有顯著差異,分析步驟 提出假設 構造檢驗統(tǒng)計量 統(tǒng)計決策,提出假設,一般提法 H0: m1 = m2 =…= mk H1: m1 ，m2 ，… ，mk不全相等 注意：拒絕原假設，只表明至少有兩個總體的均值不相等，并不意味著所有的均值都不相等,構造檢驗的統(tǒng)計量,構造統(tǒng)計量需要計算 水平的均值 全部觀察值的總均值 誤差平方和 均方(MS),構造檢驗的統(tǒng)計量 (計算水平的均值),假定從第i個總體中抽取一個容量為ni的簡單隨機樣本，第i個總體的樣本均值為該樣本的全部觀察值總和除以觀察值的個數(shù) 計算公式為,式中： ni為第 i 個總體的樣本觀察值個數(shù) xij 為第 i 個總體的第 j 個觀察值,構造檢驗的統(tǒng)計量 (計算全部觀察值的總均值),全部觀察值的總和除以觀察值的總個數(shù) 計算公式為,構造檢驗的統(tǒng)計量 (例題分析),構造檢驗的統(tǒng)計量 (計算總誤差平方和 SST),全部觀察值 與總平均值 的離差平方和 反映全部觀察值的離散狀況 其計算公式為,前例的計算結果： SST = (57-47.869565)2+…+(58-47.869565)2 =115.9295,構造檢驗的統(tǒng)計量 (計算水平項平方和 SSA),各組平均值 與總平均值 的離差平方和 反映各總體的樣本均值之間的差異程度，又稱組間平方和 該平方和既包括隨機誤差，也包括系統(tǒng)誤差 計算公式為,前例的計算結果：SSA = 1456.608696,構造檢驗的統(tǒng)計量 (計算誤差項平方和 SSE),每個水平或組的各樣本數(shù)據(jù)與其組平均值的離差平方和 反映每個樣本各觀察值的離散狀況，又稱組內平方和 該平方和反映的是隨機誤差的大小 計算公式為,前例的計算結果：SSE = 2708,構造檢驗的統(tǒng)計量 (三個平方和的關系),?總離差平方和(SST)、誤差項離差平方和(SSE)、水平項離差平方和 (SSA) 之間的關系,SST = SSA + SSE,,,,前例的計算結果： 4164.608696=1456.608696+2708,構造檢驗的統(tǒng)計量 (F分布與拒絕域),統(tǒng)計決策,? 將統(tǒng)計量的值F與給定的顯著性水平?的臨界值F?進行比較，作出對原假設H0的決策 根據(jù)給定的顯著性水平?，在F分布表中查找與第一自由度df1＝k-1、第二自由度df2=n-k 相應的臨界值 F? 若FF? ，則拒絕原假設H0 ，表明均值之間的差異是顯著的，所檢驗的因素對觀察值有顯著影響 若FF? ，則不拒絕原假設H0 ，不能認為所檢驗的因素對觀察值有顯著影響,單因素方差分析表 (基本結構),單因素方差分析 (例題分析),觀察值之間的差異來自兩個方面：,某因素不同水平的影響 （系統(tǒng)性影響）,其他隨機因素的影響 （隨機性影響）,水平間方差 （組間方差）,水平內方差 （組內方差）,,,,進一步的理解：,如果原假設成立：說明某因素不同水平的影響不顯著（無系統(tǒng)性影響），只剩下隨機性影響，因此組間方差與組內方差差別不大，它們的比接近于1。 如果原假設不成立：說明某因素不同水平的影響顯著（存在系統(tǒng)性影響），組間方差與組內方差差別較大，它們的比遠超出1。,用Excel進行方差分析,用Excel進行方差分析,第1步：選擇“工具”下拉菜單 第2步：選擇“數(shù)據(jù)分析”選項 第3步：在分析工具中選擇“單因素方差分析” ，然后選擇“確定” 第4步：當對話框出現(xiàn)時 在“輸入區(qū)域”方框內鍵入數(shù)據(jù)單元格區(qū)域 在?方框內鍵入0.05（可根據(jù)需要確定） 在“輸出選項”中選擇輸出區(qū)域,補充概念：雙因素方差分析 (two-way analysis of variance),分析兩個因素(行因素Row和列因素Column)對試驗結果的影響 如果兩個因素對試驗結果的影響是相互獨立的，分別判斷行因素和列因素對試驗數(shù)據(jù)的影響，這時的雙因素方差分析稱為無交互作用的雙因素方差分析或無重復雙因素方差分析(Two-factor without replication) 如果除了行因素和列因素對試驗數(shù)據(jù)的單獨影響外，兩個因素的搭配還會對結果產生一種新的影響，這時的雙因素方差分析稱為有交互作用的雙因素方差分析或可重復雙因素方差分析 (Two-factor with replication ),