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1,10-2 單自由度體系的自由振動,研究單自由度體系的自由振動重要性在于：,1、它代表了許多實際工程問題，如水塔、單層廠房等。,2、它是分析多自由度體系的基礎(chǔ)，包含了許多基本概念。,,I,I,m,+αm柱,廠房排架水平振時的計算簡圖,自由振動反映了體系的固有動力特性。,2,自由振動：體系在振動過程中沒有動荷載的作用。,,,,,,,,,自由振動產(chǎn)生原因：體系在初始時刻（t=0）受到外界的干擾。,研究方法及要解決的問題包括：,1、建立振動方程 2、求解振動方程 3、計算自振頻率、周期,,3,一、運動微分方程的建立,原理：達朗伯原理,剛度法：研究作用于被隔離的質(zhì)量上的力，建立平衡方程。,k,,,單自由度體系自由 振動的微分方程,4,二、自由振動微分方程的解,改寫為,,其中,它是二階線性齊次微分方程，其一般解為：,積分常數(shù)C1，C2由初始條件確定,,設(shè) t=0 時,,5,由式可知，位移是由初位移y?引起的余弦運動和由初速度v?引起的正弦運動的合成，為了便于研究合成運動,,c式改寫成,它表示合成運動仍是一個簡諧運動。其中A和?可由下式確定,振幅,相位角,,令,6,,,7,三、結(jié)構(gòu)的自振周期和頻率,由式,及圖可見位移方程是一個周期函數(shù)。,周期－,工程頻率－,園頻率－,計算頻率和周期的幾種形式,頻率和周期的討論,1.只與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量與剛度有關(guān)，與外界干擾無關(guān)；,2.Ｔ與m的平方根成正比，與k成反比，據(jù)此可改變周期；,3.是結(jié)構(gòu)動力特性的重要數(shù)量標志。,,8,,例1. 計算圖示結(jié)構(gòu)的頻率和周期。,例2.計算圖示結(jié)構(gòu)的水平和豎向振動頻率。,,,,例3.計算圖示剛架的頻率和周期。,,由截面平衡,,9,例4、圖示三根單跨梁，EI為常數(shù)，在梁中點有集中質(zhì)量m， 不考慮梁的質(zhì)量，試比較三者的自振頻率。,解：1）求δ,,3l/16,,5l/32,,l/2,,據(jù)此可得：ω1? ω2 ? ω3= 1 ? 1.512 ? 2,,結(jié)構(gòu)約束越強,其剛度越大,剛度越大,其自振動頻率也越大。,10,四、簡諧自由振動的特性,由式,可得，加速度為：,在無阻尼自由振動中，位移、加速度和慣性力都按正弦規(guī)律變化，且作相位相同的同步運動，即它們在同一時刻均達極值，而且慣性力的方向與位移的方向一致。,它們的幅值產(chǎn)生于,時，其值分別為：,既然在運動的任一瞬時質(zhì)體都處于平衡狀態(tài)，在幅值出現(xiàn)時間也一樣，于是可在幅值處建立運動方程，此時方程中將不含時間t，結(jié)果把微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程了，使計算得以簡化。,,,慣性力為：,11,例5. 計算圖示體系的自振頻率。,,,,解：單自由度體系， 以?表示位移參數(shù)的幅值, 各質(zhì)點上所受的力為：,建立力矩平衡方程,化簡后得,,12,作業(yè) 13-3，13-4,