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2019-2020年高三上學期期末考試 數(shù)學文試題 考生須知： 1． 本試卷共6頁，分第Ⅰ卷選擇題和第Ⅱ卷非選擇題兩部分。 2． 答題前考生務必將答題卡上的學校、班級、姓名、考試編號用黑色字跡的簽字筆填寫。 3． 答題卡上第I卷(選擇題)必須用2B鉛筆作答，第II卷(非選擇題)必須用黑色字跡的簽字筆作答，作圖時可以使用2B鉛筆。請按照題號順序在各題目的答題區(qū)內作答，未在對應的答題區(qū)域內作答或超出答題區(qū)域作答的均不得分。 4． 修改時，選擇題部分用塑料橡皮擦涂干凈，不得使用涂改液。保持答題卡整潔，不要折疊、折皺、破損。不得在答題卡上做任何標記。 5． 考試結束后，考生務必將答題卡交監(jiān)考老師收回，試卷自己妥善保存。 第Ⅰ卷（選擇題 共40分） 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項． （1）復數(shù)的虛部是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】，所以虛部為1，選B. （2） “”是“直線垂直”的 A. 充分不必要條件 B 必要不充分條件 C. 充要條件 D.既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】若直線垂直，則有，即，所以。所以“”是“直線垂直”的充分不必要條件，選A. （3）在數(shù)列中 ，則的值為 A．7 B．8 C．9 D．16 【答案】B 【解析】因為點生意，即數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，所以，選B. （4）如圖，在 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因為，所以。因為，選C. （5）已知一個空間幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中標出的尺寸，可得這個幾何體的體積為 A. B． C. D. 【答案】A 【解析】 根據(jù)三視圖復原的幾何體是底面為直角梯形，一條側棱垂直直角梯形的直角頂點的四棱錐 其中ABCD是直角梯形，AB⊥AD， AB=AD=2，BC=4，即PA⊥平面ABCD，PA=2。且底面梯形的面積為，所以.選A. （6）函數(shù)的零點個數(shù)為 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由得。令，在同一坐標系下分別作出函數(shù)的圖象，由圖象可知兩個函數(shù)的交點個數(shù)為2個，所以函數(shù)的零點個數(shù)為2個，選C. （7）設不等式組 表示的平面區(qū)域為．在區(qū)域內隨機取一個點，則此點到直線的距離大于2的概率是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】不等式對應的區(qū)域為三角形DEF,當點D在線段BC上時，點D到直線的距離等于2，所以要使點D到直線的距離大于2，則點D應在三角形BCF中。各點的坐標為,所以 ,根據(jù)幾何概型可知所求概率為,選D. （8）設定義域為的函數(shù)滿足以下條件；①對任意； ②對任意.則以下不等式一定成立的是 ① ② ③ ④ A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③ 【答案】B 【解析】由①知，所以函數(shù)為奇函數(shù)。由②知函數(shù)在上單調遞增。因為，所以，即②成立。排除AC.因為，所以，又，所以 ，因為函數(shù)在在上單調遞增，所以在上也單調遞增，所以有成立，即④也成立，所以選B. 二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分） （9）在中，若,，，則= 【答案】 【解析】由余弦定理可得，即，整理得，解得。 （10）已知是等差數(shù)列的前項和，其中則 【答案】6；9 【解析】由得。所以。。 （11）已知某算法的流程圖如圖所示，則程序運行結束時輸出的結果為 ． 【答案】3 【解析】第一次循環(huán)有；第二次循環(huán)有；第三次循環(huán)有；此時滿足條件，輸出。 （12）以雙曲線的右焦點為圓心，并與其漸近線相切的圓的標準方程是 _______. 【答案】 【解析】雙曲線的漸近線為，不妨取，即。雙曲線的右焦點為，圓心到直線的距離為，即圓的半徑為4，所以所求圓的標準方程為。 (13) 已知函數(shù) 則________; 若，則實數(shù)的取值范圍是_______________. 【答案】-5; 【解析】，所以。由圖象可知函數(shù)在定義域上單調遞減，所以由得，，即，解得，即實數(shù)的取值范圍是。 （14）過橢圓上一點作直線交橢圓于兩點，設的斜率分別為，若點關于原點對稱，且則此橢圓的離心率為___________. 【答案】 【解析】設,則，所以，又，兩式相減得，即，所以，即，整理得，即，所以離心率。 三、解答題(本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．) （15）（本小題滿分13分）已知函數(shù). （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）求在區(qū)間上的最值. (16) （本小題滿分14分） 在四棱錐中，底面是正方形，為的中點. （Ⅰ）求證：∥平面； （Ⅱ）求證：； （Ⅲ）若在線段上是否存在點，使？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由． (17) （本小題滿分13分） 以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學在某次數(shù)學測驗中的成績，甲組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認，在圖中以X表示. 甲組 乙組 6 X 8 7 4 1 9 0 0 3 （Ⅰ）如果甲組同學與乙組同學的平均成績一樣，求X及甲組同學數(shù)學成績的方差； （Ⅱ）如果X=7，分別從甲、乙兩組同學中各隨機選取一名，求這兩名同學的數(shù)學成績之和大于180的概率.（注：方差其中） （18）（本小題滿分13分）已知函數(shù). （Ⅰ）若求函數(shù)上的最大值； （Ⅱ）若對任意，有恒成立，求的取值范圍. 19. （本小題滿分13分） 已知橢圓，其短軸的一個端點到右焦點的距離為，且點在橢圓上. 直線的斜率為,且與橢圓交于、兩點． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）求面積的最大值. 20. （本小題滿分14分） 已知每項均是正整數(shù)的數(shù)列，其中等于的項有個，設， （Ⅰ）設數(shù)列， ①求；②求的值； （Ⅱ）若中最大的項為50， 比較的大小. 昌平區(qū)xx－xx第一學期高三年級期末質量抽測 數(shù) 學 試卷 參考答案（文科） 一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．) 題 號 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答案 B A B C A C D B 二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分．） （9） （10）6；9 （11） 3 （12） （13） -5; （14） 三、解答題(本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．) （15）(本小題滿分13分) 解：（Ⅰ）因為 .………………………………5分 所以的最小正周期．…………………7分 （II）由 …………..9分 當，…………….11分 當.……………….13分 （16）(本小題滿分14分) 解：（I）連接. 由是正方形可知,點為中點. 又為的中點， 所以∥………………….2分 又 所以∥平面………….4分 (II) 證明：由 所以 由是正方形可知, 又 所以………………………………..8分 又 所以…………………………………………..9分 (III) 在線段上存在點，使. 理由如下： 如圖，取中點，連接. 在四棱錐中，， 所以.…………………………………………………………………..11分 由（II）可知，而 所以， 因為 所以…………………………………………………………. 13分 故在線段上存在點，使. 由為中點，得…………………………………………… 14分 （17）(本小題滿分13分) 解：（I）乙組同學的平均成績?yōu)?，甲組同學的平均成績?yōu)?0， 所以…………………………………2分 甲組同學數(shù)學成績的方差為…………… 6分 (II)設甲組成績?yōu)?6,87,91,94的同學分別為乙組成績?yōu)?7,90,90,93的同學分別為則所有的事件構成的基本事件空間為： 共16個基本事件. 設事件“這兩名同學的數(shù)學成績之和大于180”，則事件包含的基本事件的空間為{共7個基本事件， ………………………………………………………………………….13分 （18）(本小題滿分13分) 解：（I）當時，， .............1分 令..................................2分 列表： - + ↘ ↗ ∴當時，最大值為. ………………………7分 （Ⅱ）令 ① 若單調遞減. 單調遞增. 所以，在時取得最小值， 因為. …………………..9分 ② 若， 所以當……………………………………..10分 ③若單調遞減. 單調遞增. 所以，在取得最小值， 令 綜上，的取值范圍是.………………………………13分 （19）(本小題滿分13分) 解: (Ⅰ)由題意知，所以. 故所求橢圓方程為………………………………….5分 (Ⅱ) 設直線的的方程為,則.設 代入橢圓方程并化簡得, …………6分 由,可得 . () 由()，得, 故…..9分 又點到的距離為, …………………10分 故 , 當且僅當,即時取等號滿足()式. 所以面積的最大值為. ……………………13分 （20）(本小題滿分13分) 解: (I)① 因為數(shù)列， 所以， 所以 . ………8分 ②……….10分 (II) 一方面，， 根據(jù)的含義知， 故，即 ， 當且僅當時取等號. 因為中最大的項為50，所以當時必有， 所以 即當時，有； 當時，有. 14分