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2019-2020年高一數(shù)學(xué) 5.7平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示（備課資料） 大綱人教版必修 1.在△ABC中，＝(1，1)，＝(2，k)，若△ABC中有一個角為直角，求實數(shù)k的值. 解：若A＝90，則＝0， ∴12＋1k＝0，即k＝－2 若B＝90，則＝0，又＝－＝(2，k)－(1，1)＝(1，k－1) 即得：1＋(k－1)＝0，∴k＝0 若C＝90，則＝0，即2＋k(k－1)＝0，而k2－k＋2＝0無實根， 所以不存在實數(shù)k使C＝90 綜上所述，k=－2或k=0時，△ABC內(nèi)有一內(nèi)角是直角. 評述：本題條件中無明確指出哪個角是直角，所以需分情況討論.討論要注意分類的全面性，同時要注意坐標(biāo)運算的準(zhǔn)確性. 2.已知：O為原點，A(a，0)，B(0，a)，a為正常數(shù)，點P在線段AB上，且＝t(0≤t≤1)，則的 最大值是多少? 解：設(shè)P(x，y)，則＝(x－a，y)，＝(－a，a)，由＝t可有： ，解得 ∴＝(a－at，at)，又＝(a，0)， ∴＝a2－a2t ∵a＞0，可得－a2＜0，又0≤t≤1， ∴當(dāng)t＝0時，＝a2－a2t，有最大值a2. 3.判斷兩向量的垂直 若a、b是非零向量，則a⊥bab=0. ［例1］已知｜a｜=3，｜b｜=2，a，b夾角為60，m為何值時兩向量3a+5b與ma－3b互相垂直？ 解法一：(3a+5b)(ma－3b) =3m｜a｜2－9ab+5mab－15｜b｜2 =27m+(5m－9)32cos60－154 =42m－87=0 ∴m=時，(3a+5b)⊥(ma－3b). 解法二：如圖建立直角坐標(biāo)系，則 a=(3，0)，b=(1，)， ∴3a+5b=(14，5)， ma－3b=(3m－3，－3). ∵(3a+5b)⊥(ma－3b)， ∴(3a+5b)(ma－3b). =143(m－1)+5(－3)=0 ∴m=時兩向量垂直. 4.計算向量的長度或平面上兩點間距離. 由數(shù)量積的定義，知：aa=｜a｜｜a｜cos0=｜a｜2， ∴｜a｜===， ｜｜= =. ［例2］已知｜a｜=6，｜b｜=4，a，b夾角為60，求｜a+b｜、｜a－3b｜. 解法一：｜a+b｜= = ｜a－3b｜= = 解法二：利用加減法的幾何意義 如下圖，在四邊形ABCD中，｜｜=6，｜｜=4，∠OAB=120，則｜a+b｜= ｜｜==2 如下圖，｜a－3b｜=｜｜ =. 解法三：如下圖，建立直角坐標(biāo)系. 則a=(6，0)，b=(2，2)， ∴a+b=(8，2)， a－3b=(0，－6)， ∴｜a+b｜=， ｜a－3b｜=. 5.錯解分析 ［例1］已知｜a｜=1，｜b｜=1，｜c｜=，a與b的夾角為90，c與a的夾角為45，c與b的夾角為45，則a(bc)為( ) A.0 B.a C.b D.c 誤解：a(bc)=(ab)c=(｜a｜｜b｜cos90)c=(110)c=0c=0，故選A. 剖析：向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律. 事實上，a(bc)=a(｜b｜｜c｜cos45)=a(1)=a1=a，故選B. 6.數(shù)量積應(yīng)用常見題型： (一)直接計算數(shù)量積 此題型重在考查數(shù)量積定義式、應(yīng)注意兩向量夾角同起點以便正確確定. (二)由數(shù)量積確定兩向量夾角 可由＜a，b＞表示a與b夾角，但應(yīng)注意＜，＞與＜，＞關(guān)系為互補角.若已知模及數(shù)量積求夾角則用公式 cos=. 若已知坐標(biāo)求角則用公式. cos(其中a=(x1，y1)，b=(x2，y2)) (三)已知三角形各頂點坐標(biāo)判定三角形形狀. 通常應(yīng)用公式 cos= 其中a=(x1，y1)，b=(x2，y2) (四)數(shù)量積運算律應(yīng)用： 此類題常以命題判斷形式出現(xiàn)，如判斷(ab)c=a(bc)是否正確，其次簡化數(shù)量積運算. (五)運用距離公式解決有關(guān)綜合問題. (六)用于判定a⊥b. a⊥b＜a，b＞=ab=0 x1x2+y1y2=0.