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2019-2020年高三數(shù)學(xué) 考試清單 考點(diǎn)十三 三視圖、幾何計(jì)算 1．認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)． 2．能畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易組合)的三視圖，能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出它們的直觀圖． 3．會(huì)用平行投影與中心投影兩種方法畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式． 了解柱體、錐體、臺(tái)體、球體的表面積和體積的計(jì)算公式(不要求記憶公式) 高考真題示例 1．（xx安徽高考理科Ｔ6）一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（ ） （A）48 （B）32+ （C）48+ （D）80 【思路點(diǎn)撥】將三視圖還原成直觀圖，可以知道這是一個(gè)底面為等腰梯形的直棱柱，之后利用面積公式，求出六個(gè)面的面積. 【精講精析】選C.這是一個(gè)底面為等腰梯形的直棱柱,兩底面等腰梯形的面積和為四個(gè)側(cè)面的面積為所以該幾何體的表面積為48+. 2.（xx新課標(biāo)全國(guó)高考理科Ｔ6）在一個(gè)幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為（ ） （A） （B） （C） （D） 【思路點(diǎn)撥】由正視圖和俯視圖可聯(lián)想到幾何體的直觀圖，然后再推出側(cè)視圖. 【精講精析】選D. 由正視圖和俯視圖可以推測(cè)幾何體為半圓錐和三棱錐的組合體（如圖所示），且頂點(diǎn)在底面的射影恰是底面半圓的圓心， 可知側(cè)視圖為等腰三角形，且輪廓線為實(shí)線，故選D 3.（xx北京高考文科T5）某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的表面積是（ ） （A）32 （B） （C）48 （D） 正（主）視圖 側(cè)（左）視圖 俯視圖 2 4 4 【思路點(diǎn)撥】作出直觀圖，先求出斜高，再計(jì)算表面積. 【精講精析】選B.斜高為，表面積為 . 4.（xx湖南高考理科T3）設(shè)如圖所示是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（ ） 3 3 2 正視圖 側(cè)視圖 俯視圖 （A） （B） （C） （D） 【思路點(diǎn)撥】本題考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算幾何體的體積的 能力. 【精講精析】選B.由三視圖可以得到幾何體的上面是一個(gè)半徑為 的球，下面是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為3高為2的正四棱柱.故體積為 5．（xx陜西高考理科T5）某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積 是（ ） （A） （B） （C） （D） 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)已知的三視圖想象出空間幾何體，然后由幾何體的組成和有關(guān)幾何體體積公式進(jìn)行計(jì)算． 【精講精析】選A．由幾何體的三視圖可知該幾何體為一個(gè)組合體，即一個(gè)正方體中間去掉一個(gè)圓錐體，所以它的體積是 . 6.（xx浙江高考理科Ｔ3）若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是（ ） 【思路點(diǎn)撥】逐個(gè)檢驗(yàn)篩查. 【精講精析】選D.由正視圖來(lái)看符合條件的只有C,D.從俯視圖來(lái)看只有D選項(xiàng)中的幾何體符合. 7.（xx天津高考理科T10）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積為_(kāi)_________ 【思路點(diǎn)撥】由三視圖正確判斷出組合體的圖形是關(guān)鍵. 【精講精析】組合體的底座是一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為3、2、1的長(zhǎng)方體，上面是一個(gè)底面半徑為1，高為3的圓錐，所以所求的體積是： 【答案】 8.（xx新課標(biāo)全國(guó)高考理科Ｔ15）已知矩形的頂點(diǎn)都在半徑為 4的球的球面上，且,則棱錐的體積為 __ . 【思路點(diǎn)撥】畫(huà)出圖形，找出球心位置，然后數(shù)形結(jié)合求出棱錐O-ABCD的 體積. 【精講精析】 如圖所示，垂直于矩形ABCD所在的平面，垂足為， 連接，，則在中，由OB＝4, ，可得＝2, 【答案】 9.（xx新課標(biāo)全國(guó)高考文科Ｔ16）已知兩個(gè)圓錐有公共底面，且兩個(gè)圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球面上，若圓錐底面面積是這個(gè)球面面積的 ，則這兩個(gè)圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為_(kāi)_______ 【思路點(diǎn)撥】畫(huà)出圖形，利用數(shù)形結(jié)合，然后利用球及圓的性質(zhì)求解. 【精講精析】如圖設(shè)球的半徑為，圓錐的底面 圓半徑為，則依題意得 ，即 ，, 【答案】 10. （xx福建卷理科Ｔ12）三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則三棱錐P-ABC的體積等于______. 【思路點(diǎn)撥】利用公式求體積. 【精講精析】由題意得： 【答案】 】 11.（xx浙江高考文科Ｔ8）若某幾何體的三視圖 （單位：cm）如圖所示，則此幾何體的體積是（ ） （A）cm3 （B）cm3 （C）cm3 （D）cm3 【命題立意】本題主要考查了對(duì)三視圖所表達(dá)的空間幾何體的 識(shí)別以及幾何體體積的計(jì)算，屬容易題. 【思路點(diǎn)撥】解答本題要先由三視圖，想象出直觀圖，再求體積. 【規(guī)范解答】選B.此幾何體上方為正四棱柱、下方為四棱臺(tái).所以其體積為 （cm3）. 12.（xx 海南寧夏高考理科T10）設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長(zhǎng)為，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為（ ） （A） （B） （C） （D） 【命題立意】本小題主要考查了幾何體的外接球問(wèn)題. 【思路點(diǎn)撥】找出球與棱柱的相應(yīng)關(guān)系，找出球的半徑與三棱柱棱長(zhǎng)之間的關(guān)系. 【規(guī)范解答】選Ｂ.設(shè)球心為，設(shè)正三棱柱上底面為，中心為，因?yàn)槿庵欣獾拈L(zhǎng)為，則可知 ，，又由球的相關(guān)性質(zhì)可知，球的半徑，所以球的表面積為，故選Ｂ. 13.（xx天津高考文科Ｔ12）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示， 則這個(gè)幾何體的體積為 . 【命題立意】本題主要考查三視圖的基礎(chǔ)知識(shí)，和柱體體積的計(jì)算，屬于容易題. 【思路點(diǎn)撥】由三視圖還原幾何體的形狀. 【規(guī)范解答】由俯視圖可知該幾何體的底面為直角梯形，則由正視圖和側(cè)視圖可知該幾何體的高為1，結(jié)合三個(gè)視圖可知該幾何體是底面為直角梯形的直四棱柱，所以該幾何體的體積為. 【答案】3 14. （xx山東高考文科Ｔ4）一個(gè)四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等，底面是正方形，其正（主）視圖如圖所示，該四棱錐側(cè)面積和體積分別是（ ） A. B. C. D. 8,8 【解題指南】本題考查空間幾何體的三視圖及表面積和體積公式. 【解析】選B.由圖知，此棱錐高為2，底面正方形的邊長(zhǎng)為2，,側(cè)面積需要計(jì)算側(cè)面三角形的高，. 15. （xx廣東高考理科Ｔ5）某四棱臺(tái)的三視圖如圖所示，則該四棱臺(tái)的體積是（ ） A．4 B． C． D．6 【解題指南】本題考查空間想象能力與臺(tái)體體積公式，應(yīng)首先還原出臺(tái)體形狀再計(jì)算. 【解析】選B. 四棱臺(tái)的上下底面均為正方形，兩底面邊長(zhǎng)和高分別為，. 16. （xx遼寧高考文科Ｔ10）與（xx遼寧高考理科Ｔ10）相同已知三棱柱的6個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，若，則球的半徑為（ ） 【解題指南】對(duì)于某些簡(jiǎn)單組合體的相接問(wèn)題，通過(guò)作出截面，使得有關(guān)的元素間的數(shù)量關(guān)系相對(duì)集中在某個(gè)平面圖形中。 【解析】選C.由題意，結(jié)合圖形，經(jīng)過(guò)球心和三棱柱的側(cè)棱中點(diǎn)的大圓，與三棱柱的側(cè)棱垂直，三棱柱的底面三角形ABC為直角三角形，其外接圓的圓心為其斜邊BC的中點(diǎn)，連接,由勾股定理， 其中,所以球的半徑為 17. （xx新課標(biāo)Ⅰ高考理科Ｔ6）如圖,有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器,容器高8cm,將一個(gè)球放在容器口,再向容器內(nèi)注水,當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm,如果不計(jì)容器的厚度,則球的體積為　(　　) A. B. C. D. 【解題指南】結(jié)合截面圖形,構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理列出關(guān)于球半徑的方程,求出球半徑,再利用求出球的體積. 【解析】選A. 設(shè)球的半徑為R,由勾股定理可知， ,解得 ，所以球的體積. 18.(xx浙江高考文科T5)已知某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則該幾何體的體積是　(　　) A.108cm3 B.100cm3 C.92cm3 D.84cm3 【解題指南】根據(jù)幾何體的三視圖,還原成幾何體,再求體積. 【解析】選B.由三視圖可知原幾何體如圖所示, 所以. 19. （xx新課標(biāo)Ⅰ高考文科Ｔ11）與（xx新課標(biāo)Ⅰ高考理科Ｔ8）相同 某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為　(　　) A.16+8π B.8+8π C.16+16π D.8+16π 【解題指南】觀察三視圖，根據(jù)三視圖確定幾何體的構(gòu)成，利用圓柱及長(zhǎng)方體的體積公式求解. 【解析】選A.由三視圖可知,該幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)半圓柱組成的幾何體, 所以體積為π224+224=16+8π. 20. （xx遼寧高考理科Ｔ13）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是_______. 【解題指南】由三視圖知該幾何體是一個(gè)簡(jiǎn)單的組合體，一個(gè)圓柱的內(nèi)部被挖去一個(gè)長(zhǎng)方體。 【解析】圓柱的底面半徑為2，母線長(zhǎng)4，其體積 被挖去一個(gè)底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)4的長(zhǎng)方體，其體積故該幾何體的體積是 【答案】