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2019-2020年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 兩角和與差的余弦教案 理 教材分析 這節(jié)內(nèi)容是在掌握了任意角的三角函數(shù)的概念、向量的坐標(biāo)表示以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究用單角的三角函數(shù)表示的兩角和與差的三角函數(shù)．這些內(nèi)容在高等數(shù)學(xué)、電功學(xué)、力學(xué)、機(jī)械設(shè)計(jì)與制造等方面有著廣泛的應(yīng)用，因此要求學(xué)生切實(shí)學(xué)好，并能熟練的應(yīng)用，以便為今后的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)． “兩角差的余弦公式”在教科書(shū)中采用了一種易于教學(xué)的推導(dǎo)方法，即先借助于單位圓中的三角函數(shù)線，推出α，β，α－β均為銳角時(shí)成立．對(duì)于α，β為任意角的情況，教材運(yùn)用向量的知識(shí)進(jìn)行了探究．同時(shí)，補(bǔ)充了用向量的方法推導(dǎo)過(guò)程中的不嚴(yán)謹(jǐn)之處，這樣，兩角差的余弦公式便具有了一般性． 這節(jié)課的重點(diǎn)是兩角差的余弦公式的推導(dǎo)，難點(diǎn)是把公式中的α，β角推廣到任意角． 教學(xué)目標(biāo) 1. 通過(guò)對(duì)兩角差的余弦公式的探究過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)交流，探索，發(fā)現(xiàn)和獲得新知識(shí)的能力． 2. 通過(guò)兩角差的余弦公式的推導(dǎo)，體會(huì)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程和初步的應(yīng)用過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維方法和勇于探索的科學(xué)精神． 3. 能正確運(yùn)用兩角差的余弦公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和恒等式證明． 任務(wù)分析 這節(jié)內(nèi)容以問(wèn)題情景中的問(wèn)題作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，利用單位圓中的三角函數(shù)線和平面向量的數(shù)量積的概念推導(dǎo)出結(jié)論，并不斷補(bǔ)充推導(dǎo)過(guò)程中的不嚴(yán)謹(jǐn)之處．推導(dǎo)過(guò)程采用了從特殊到一般逐層遞進(jìn)的思維方法，學(xué)生易于接受．整個(gè)過(guò)程始終結(jié)合單位圓，以強(qiáng)調(diào)其直觀性．對(duì)于公式中的α和β角要強(qiáng)調(diào)其任意性．?dāng)?shù)學(xué)中要注意運(yùn)用啟發(fā)式，切忌把結(jié)果直接告訴學(xué)生，盡量讓學(xué)生通過(guò)觀察、思考和探索，自己發(fā)現(xiàn)公式，使學(xué)生充分體會(huì)到成功的喜悅，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)他們學(xué)習(xí)的積極性，從而使其自覺(jué)主動(dòng)地學(xué)習(xí)． 教學(xué)過(guò)程 一、問(wèn)題情景 我們已經(jīng)學(xué)過(guò)誘導(dǎo)公式，如 可以這樣來(lái)認(rèn)識(shí)以上公式：把角α轉(zhuǎn)動(dòng)，則所得角α＋的正弦、余弦分別等于cosα和－sinα．把角α轉(zhuǎn)動(dòng)π，則所得角α＋π的正弦、余弦分別等于－sinα和－cosα． 由此，使我們想到一個(gè)一般性的問(wèn)題：如果把角α的終邊轉(zhuǎn)動(dòng)β（度或弧度），那么所得角α＋β的正弦、余弦如何用α或β的正弦、余弦來(lái)表示呢？ 出示一個(gè)實(shí)際問(wèn)題： 右圖41-1是架在小河邊的一座吊橋的示意圖．吊橋長(zhǎng)AB＝ａ（m），A是支點(diǎn)，在河的左岸．點(diǎn)C在河的右岸，地勢(shì)比A點(diǎn)高．AD表示水平線，∠DAC＝α，α為定值．∠CAB＝β，β隨吊橋的起降而變化．在吊橋起降的過(guò)程中，如何確定點(diǎn)B離開(kāi)水平線AD的高度BE？ 由圖可知BE＝asin（α＋β）． 我們的問(wèn)題是：如何用α和β的三角函數(shù)來(lái)表示sin（α＋β）．如果α＋β為銳角，你能由α，β的正弦、余弦求出sin（α＋β）嗎？ 引導(dǎo)學(xué)生分析：事實(shí)上，我們?cè)谘芯咳呛瘮?shù)的變形或計(jì)算時(shí)，經(jīng)常提出這樣的問(wèn)題：能否用α，β的三角函數(shù)去表示αβ的三角函數(shù)？為了解決這類(lèi)問(wèn)題，本節(jié)首先來(lái)探索α－β的余弦與α，β的函數(shù)關(guān)系式． 更一般地說(shuō)，對(duì)于任意角α，β，能不能用α，β的三角函數(shù)值把α＋β或α－β的三角函數(shù)值表示出來(lái)呢？ 二、建立模型 1. 探　究 （1）猜想：cos（α－β）＝cosα－cosβ． （2）引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)特例否定這一猜想． 例如，α＝60，β＝30，可以發(fā)現(xiàn)，左邊＝cos（60－30）＝cos30＝，右邊＝cos60－cos30＝－．顯然，對(duì)任意角α，β，cos（α－β）＝cosα－cosβ不成立． （3）再引導(dǎo)學(xué)生從道理上否定這一猜想． 不妨設(shè)α，β，α－β均為銳角，則α－β＜α，則cos（α－β）＞cosα．又cosβ＞０，所以cos（α－β）＞cosα－cosβ． 2. 分析討論 （1）如何把α，β，α－β角的三角函數(shù)值之間建立起關(guān)系？要獲得相應(yīng)的表達(dá)式需要哪些已學(xué)過(guò)的知識(shí)？ （2）由三角函數(shù)線的定義可知，這些角的三角函數(shù)值都與單位圓中的某些有向線段有關(guān)系，那么，這些有向線段之間是否有關(guān)系呢？ 3. 教師明晰 通過(guò)學(xué)生的討論，教師引導(dǎo)學(xué)生作出以下推理： 設(shè)角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P1，∠POP1＝β，則∠POx＝α－β． 過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，那么，OM即為α－β角的余弦線，這里要用表示α，β的正弦、余弦的線段來(lái)表示OM． 過(guò)點(diǎn)P作PA⊥OP1，垂足為A，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸，垂足為B，再過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB，垂足為C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是 OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OAcosα＋APsinα＝ cosβcosα＋sinβsinα． 4. 提出問(wèn)題，組織學(xué)生討論 （1）當(dāng)α，β，α－β為任意角時(shí)，上述推導(dǎo)過(guò)程還能成立嗎？ 若要說(shuō)明此結(jié)果是否對(duì)任意角α，β都成立，還要做不少推廣工作，可引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考． 事實(shí)上，根據(jù)誘導(dǎo)公式，總可以把α，β的三角函數(shù)化為（0，）內(nèi)的三角函數(shù)，再根據(jù)cos（－β）＝cosβ，把α－β的余弦，化為銳角的余弦．因此， 三、解釋?xiě)?yīng)用 ［例　題］ 1. 求cos15及cos105的值． 分析：本題關(guān)鍵是將15角分成45與30的差或者分解成60與45的差，再利用兩角差的余弦公式即可求解．對(duì)于cos105，可進(jìn)行類(lèi)似地處理，cos105＝cos（60＋45）． 2. 已知sinα＝，α∈（，π），cosβ＝－，且β是第三象限的角，求cos（α＋β）的值． 分析：觀察公式Cα＋β與本題已知條件應(yīng)先計(jì)算出cosα，cosβ，再代入公式求值．求cosα，cosβ的值可借助于同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，并注意α，β的取值范圍來(lái)求解． ［練　習(xí)］ 1. （1）求sin75的值． （2）求cos75cos105＋sin75sin105的值． （3）化簡(jiǎn)cos（A＋B）cosB＋sin（A＋B）sinB． （4）求cos215－sin215的值． 分析：對(duì)于（1），可先用誘導(dǎo)公式化sin75為cos15，再用例題1中的結(jié)果即可．對(duì)于（2），逆向使用公式Cα-β，即可將原式化為cos30．對(duì)于（3），可以把A＋B角看成一個(gè)整體，去替換Cα-β中的α角，用B角替換β角． 2. （1）求證：cos（－α） ＝sinα． （2）已知sinθ＝，且θ為第二象限角，求cos（θ－）的值． （3）已知sin（30＋α）＝，60＜α＜150，求cosα． 分析：（1）和（差）公式可看成誘導(dǎo)公式的推廣，誘導(dǎo)公式是和（差）公式的特例． （2）在三角函數(shù)求值問(wèn)題中，變角是一種常用的技巧，α＝（30＋α）－30，這樣可充分利用題中已知的三角函數(shù)值． 3. 化簡(jiǎn)cos（36＋α）cos（α－54）＋sin（36＋α）sin（α－54）． 分析：這里可以把角36＋α與α－54均看成單角，進(jìn)而直接運(yùn)用公式Cα-β，不必將各式展開(kāi)后再計(jì)算． 分析：本題是一道綜合題，由于cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ，欲求cos（α－β）的值，只須將已知兩式平方相加求出cosαcosβ＋sinαsinβ即可． 四、拓展延伸 1. 由任意角三角函數(shù)定義，可知角α，β的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)均可用α，β的三角函數(shù)表示，即α－β角與，兩向量的夾角有關(guān)，那么能否用向量的有關(guān)知識(shí)來(lái)推導(dǎo)公式Cα-β呢？ 教師引導(dǎo)學(xué)生分析：在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)作單位圓O，以O(shè)x為始邊作角α，β，它們的終邊與單位圓的交點(diǎn)為A，B，則＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ）． 由向量數(shù)量積的概念，有 ＝｜｜｜｜c(diǎn)os（α－β）＝cos（α－β）． 由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有 ＝cosαcosβ＋sinαsinβ． 于是，有 cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ． 依據(jù)向量數(shù)量積的概念，角α－β必須符合０≤α－β≤π，即在此條件下，以上推導(dǎo)才是正確的． 由于α，β都是任意角，α－β也是任意角，因此，須研究α－β為任意角時(shí)，以上推導(dǎo)是否正確． 當(dāng)α－β為任意角時(shí)，由誘導(dǎo)公式總可以找到一個(gè)角θ，θ∈［0，2π），使cosθ＝cos（α－β）． 若θ∈［0，π］，則＝cosθ＝cos（α－β）； 若θ∈［π，2π］，則2π－θ∈［0，π］，且 ＝cos（2π－θ）＝cosθ＝cos（α－β）． 于是，對(duì)于任意角α，β都有 2. 教師提出進(jìn)一步拓展性問(wèn)題：本節(jié)問(wèn)題情景中，涉及如何用sinα，sinβ，cosα，cosβ來(lái)表示sin（α＋β）的問(wèn)題，試探索與研究sin（α＋β）的表達(dá)式． 點(diǎn)　評(píng) 這篇案例設(shè)計(jì)完整，思路清晰．案例首先通過(guò)問(wèn)題情景闡述了兩角和、差、三角函數(shù)公式的產(chǎn)生背景，然后通過(guò)組織學(xué)生分析，討論，并借助于單位圓中的三角函數(shù)線對(duì)α，β，α－β為銳角時(shí)給出證明，進(jìn)而用向量知識(shí)探究任意角的情形．這些均體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中從特殊到一般的思想方法，符合新課改的基本理念．同時(shí)，例題與練習(xí)由淺入深，完整，全面． 總之，關(guān)注學(xué)生的已有基礎(chǔ)，充分利用歸納、類(lèi)比等方法激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究的欲望，建立Cαβ模型．這種設(shè)計(jì)思路有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平的提高，同時(shí)及時(shí)鞏固，應(yīng)用，拓展延伸，體現(xiàn)了對(duì)傳統(tǒng)的中國(guó)式數(shù)學(xué)教學(xué)精華的繼承．如果能在結(jié)束時(shí)再創(chuàng)設(shè)引導(dǎo)學(xué)生自我小結(jié)、反思的環(huán)節(jié)，可能會(huì)錦上添花．