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2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第15講 算法的含義 程序框圖教案 新人教版 一．課標(biāo)要求： 1．通過對解決具體問題過程與步驟的分析（如，二元一次方程組求解等問題），體會算法的思想，了解算法的含義； 2．通過模仿、操作、探索，經(jīng)歷通過設(shè)計程序框圖表達(dá)解決問題的過程。在具體問題的解決過程中（如，三元一次方程組求解等問題），理解程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序、條件分支、循環(huán)。 二．命題走向 算法是高中數(shù)學(xué)課程中的新內(nèi)容，本章的重點(diǎn)是算法的概念和算法的三種邏輯結(jié)構(gòu)。 預(yù)測xx年高考對本章的考察是：以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，分值在5分左右，考察的熱點(diǎn)是算法的概念。 三．要點(diǎn)精講 1．算法的概念 （1）算法的定義：廣義的算法是指完成某項工作的方法和步驟，那么我們可以說洗衣機(jī)的使用說明書是操作洗衣機(jī)的算法，菜譜是做菜的算法等等。 在數(shù)學(xué)中，現(xiàn)代意義的算法是指可以用計算機(jī)來解決的某一類問題的程序和步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成。 （2）算法的特征：①確定性：算法的每一步都應(yīng)當(dāng)做到準(zhǔn)確無誤、“不重不漏”?！安恢亍笔侵覆皇强捎锌蔁o的、甚至無用的步驟，“不漏” 是指缺少哪一步都無法完成任務(wù)。②邏輯性：算法從開始的“第一步”直到“最后一步”之間做到環(huán)環(huán)相扣。分工明確，“前一步”是“后一步”的前提， “后一步”是“前一步”的繼續(xù)。③有窮性：算法要有明確的開始和結(jié)束，當(dāng)?shù)竭_(dá)終止步驟時所要解決的問題必須有明確的結(jié)果，也就是說必須在有限步內(nèi)完成任務(wù)，不能無限制的持續(xù)進(jìn)行。 （3）算法的描述：自然語言、程序框圖、程序語言。 2．程序框圖 （1）程序框圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來準(zhǔn)確、直觀地表示算法的圖形； （2）構(gòu)成程序框的圖形符號及其作用 程序框 名稱 功能 起止框 表示一個算法的起始和結(jié)束，是任何算法程序框圖不可缺少的。 輸入、輸出框 表示一個算法輸入和輸出的信息，可用在算法中任何需要輸入、輸出的位置。 處理框 賦值、計算。算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、公式等，它們分別寫在不同的用以處理數(shù)據(jù)的處理框內(nèi)。 判斷框 判斷某一條件是否成立，成立時在出口處標(biāo)明“是”或“Y”；不成立時在出口處標(biāo)明則標(biāo)明“否”或“N”。 流程線 算法進(jìn)行的前進(jìn)方向以及先后順序 循環(huán)框 用來表達(dá)算法中重復(fù)操作以及運(yùn)算 連結(jié)點(diǎn) 連接另一頁或另一部分的框圖 注釋框 幫助編者或閱讀者理解框圖 （3）程序框圖的構(gòu)成 一個程序框圖包括以下幾部分：實現(xiàn)不同算法功能的相對應(yīng)的程序框；帶箭頭的流程線；程序框內(nèi)必要的說明文字。 3．幾種重要的結(jié)構(gòu) （1）順序結(jié)構(gòu) 順序結(jié)構(gòu)是最簡單的算法結(jié)構(gòu)，語句與語句之間，框與框之間是按從上到下的順序進(jìn)行的。它是由若干個依次執(zhí)行的步驟組成的，它是任何一個算法都離不開的一種基本算法結(jié)構(gòu)。 A B 示意圖 輸入n flag=1 見示意圖和實例： 順序結(jié)構(gòu)在程序框圖中的體現(xiàn)就是用流程線將程序框自上而下地連接起來，按順序執(zhí)行算法步驟。如在示意圖中，A框和B框是依次執(zhí)行的，只有在執(zhí)行完A框指定的操作后，才能接著執(zhí)行B框所指定的操作。 p A B Y N （2）條件結(jié)構(gòu) 如下面圖示中虛線框內(nèi)是一個條件結(jié)構(gòu)，此結(jié)構(gòu)中含有一個判斷框，算法執(zhí)行到此判斷給定的條件P是否成立，選擇不同的執(zhí)行框（A框、B框）。無論P(yáng)條件是否成立，只能執(zhí)行A框或B框之一，不可能既執(zhí)行A框又執(zhí)行B框，也不可能A框、B框都不執(zhí)行。A框或B框中可以有一個是空的，即不執(zhí)行任何操作。 見示意圖 （3）循環(huán)結(jié)構(gòu) 在一些算法中要求重復(fù)執(zhí)行同一操作的結(jié)構(gòu)稱為循環(huán)結(jié)構(gòu)。即從算法某處開始，按照一定條件重復(fù)執(zhí)行某一處理過程。重復(fù)執(zhí)行的處理步驟稱為循環(huán)體。 循環(huán)結(jié)構(gòu)有兩種形式：當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)。 ①當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如左下圖所示，它的功能是當(dāng)給定的條件P成立時，執(zhí)行A框，A框執(zhí)行完畢后，返回來再判斷條件P是否成立，如果仍然成立，返回來再執(zhí)行A框，如此反復(fù)執(zhí)行A框，直到某一次返回來判斷條件P不成立時為止，此時不再執(zhí)行A框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。繼續(xù)執(zhí)行下面的框圖。 A 成立 不成立 P 當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu) 直到型循環(huán)結(jié)構(gòu) 成立 不成立 P A ②直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如右下圖所示，它的功能是先執(zhí)行重復(fù)執(zhí)行的A框，然后判斷給定的條件P是否成立，如果P仍然不成立，則返回來繼續(xù)執(zhí)行A框，再判斷條件P是否成立。以次重復(fù)操作，直到某一次給定的判斷條件P時成立為止，此時不再返回來執(zhí)行A框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。繼續(xù)執(zhí)行下面的框圖。 見示意圖 四．典例解析 題型1：算法概念 例1．下列說法正確的是（ ） A．算法就是某個問題的解題過程； B．算法執(zhí)行后可以產(chǎn)生不同的結(jié)果； C．解決某一個具體問題算法不同結(jié)果不同； D．算法執(zhí)行步驟的次數(shù)不可以為很大，否則無法實施。 解析：答案為選項B；選項B，例如：判斷一個整數(shù)是否為偶數(shù)，結(jié)果為“是偶數(shù)”和“不是偶數(shù)”兩種；選項A ，算法不能等同于解法；選項C，解決某一個具體問題算法不同結(jié)果應(yīng)該相同，否則算法構(gòu)造的有問題；選項D，算法可以為很多次，但不可以無限次。 點(diǎn)評：算法一般是機(jī)械的，有時需要進(jìn)行大量的重復(fù)計算。只要按部就班去做，總能算出結(jié)果。通常把算法過程稱為“數(shù)學(xué)機(jī)械化”。數(shù)學(xué)機(jī)械化的最大優(yōu)點(diǎn)是它可以借助計算機(jī)來完成；實際上處理任何問題都需要算法。如：中國象棋有中國象棋的棋譜、走法、勝負(fù)的評判準(zhǔn)則；而國際象棋有國際象棋的棋譜、走法、勝負(fù)的評判準(zhǔn)則；再比如申請出國有一系列的先后手續(xù)，購買物品也有相關(guān)的手續(xù)……。 例2．下列語句中是算法的個數(shù)為（ ） ①從濟(jì)南到巴黎：先從濟(jì)南坐火車到北京，再坐飛機(jī)到巴黎； ②統(tǒng)籌法中“燒水泡茶”的故事； ③測量某棵樹的高度，判斷其是否是大樹； ④已知三角形的一部分邊長和角，借助正余弦定理求得剩余的邊角，再利用三角形的面積公式求出該三角形的面積。 A．1 B．2 C．3 D．4 解析：正確選項為C，③中我們對“樹的大小”沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)，無法完成任務(wù)，不是有效的算法構(gòu)造。①中，勾畫了從濟(jì)南到巴黎的行程安排，完成了任務(wù)；②中，節(jié)約時間，燒水泡茶完成了任務(wù)；④中，純數(shù)學(xué)問題，借助正、余弦定理解三角形，進(jìn)而求出三角形的面積。 點(diǎn)評：算法過程要做到能一步一步的執(zhí)行，每一步執(zhí)行的操作，必須確切，不能含混不清，且在有限步后的必須得到問題的結(jié)果。 題型2：經(jīng)典算法 例3．一個人帶著三只狼和三只羚羊過河，只有一條船，同船可容納一個人和兩只動物，沒有人在的時候，如果狼的數(shù)量不少于羚羊的數(shù)量就會吃羚羊。該人如何將動物轉(zhuǎn)移過河？請設(shè)計算法？ 解析：任何動物同船不用考慮動物的爭斗但需考慮承載的數(shù)量，還應(yīng)考慮到兩岸的動物都得保證狼的數(shù)量要小于羚羊的數(shù)量，故在算法的構(gòu)造過程中盡可能保證船里面有狼，這樣才能使得兩岸的羚羊數(shù)量占到優(yōu)勢，具體算法如下： 算法步驟： 第一步：人帶兩只狼過河，并自己返回； 第二步：人帶一只狼過河，自己返回； 第三步：人帶兩只羚羊過河，并帶兩只狼返回； 第四步：人帶一只羊過河，自己返回； 第五步：人帶兩只狼過河。 點(diǎn)評：算法是解決某一類問題的精確描述，有些問題使用形式化、程序化的刻畫是最恰當(dāng)?shù)摹＿@就要求我們在寫算法時應(yīng)精練、簡練、清晰地表達(dá)，要善于分析任何可能出現(xiàn)的情況，體現(xiàn)思維的嚴(yán)密性和完整性。本題型解決問題的算法中某些步驟重復(fù)進(jìn)行多次才能解決，在現(xiàn)實生活中，很多較復(fù)雜的問題經(jīng)常遇到這樣的問題，設(shè)計算法的時候，如果能夠合適地利用某些步驟的重復(fù)，不但可以使得問題變得簡單，而且可以提高工作效率。 例4．這是中國古代的一個著名算法案例：一群小兔一群雞，兩群合到一群里，要數(shù)腿48，要數(shù)腦袋17，多少小兔多少雞？ 解析：求解雞兔的問題簡單直觀，卻包含著深刻的算法思想。應(yīng)用解二元一次方程組的方法來求解雞兔同籠問題。 第一步：設(shè)有小雞x只，小兔y只，則有 第二步：將方程組中的第一個方程兩變乘－2加到第二個方程中去，得到，得到y(tǒng)=7； 第三步：將y=7代入（1）得x=10。 點(diǎn)評：解決這些問題的基本思想并不復(fù)雜，很清晰，但敘述起來很煩瑣，有的步驟非常多，有的計算量很大，有時候完全依靠人力完成這些工作很困難。但是這些恰恰是計算機(jī)的長處，它能不厭其煩的枯燥的、重復(fù)的、繁瑣的工作。但算法也有優(yōu)劣，我們要追求高效。 題型3：順序結(jié)構(gòu) 例5．寫出通過尺軌作圖確定線段AB一個5等分點(diǎn)的算法。 解析：我們借助于平行線定理，把位置的比例關(guān)系變成已知的比例關(guān)系，只要按照規(guī)則一步一步去做就能完成任務(wù)。 算法分析： 第一步：從已知線段的左端點(diǎn)A出發(fā)，任意作一條與AB不平行的射線AP； 第二步：在射線上任取一個不同于端點(diǎn)A的點(diǎn)C，得到線段AC； 第三步：在射線上延AC的方向截取線段CE=AC； 第四步：在射線上延AC的方向截取線段EF=AC； 第五步：在射線上延AC的方向截取線段FG=AC； 第六步：在射線上延AC的方向截取線段GD=AC，那么線段AD=5AB； 第七步：連接DB； 第八步：過C作BD的平行線，交線段AB于M，這樣點(diǎn)M就是線段AB的一個5等分點(diǎn)。 開始 從A點(diǎn)出發(fā)作一條與AB不平行射線AC 在射線上任取一個不同于端點(diǎn)A的點(diǎn)C，取AC為單位線段， 再在AC上順次取點(diǎn)E、F、G、D，滿足CE=EF=FG=GD=AC 連結(jié)BD 過點(diǎn)C作BD的平行線交AB于點(diǎn)M，點(diǎn)M即為5等分點(diǎn) 結(jié)束 程序框圖： 點(diǎn)評：這個算法步驟具有一般性，對于任意自然數(shù)n，都可以按照這個算法的思想，設(shè)計出確定線段的n等分點(diǎn)的步驟，解決問題。 例6．有關(guān)專家建議，在未來幾年內(nèi)，中國的通貨膨脹率保持在3%左右，這將對我國經(jīng)濟(jì)的穩(wěn)定有利無害。所謂通貨膨脹率為3%，指的是每年消費(fèi)品的價格增長率為3%。在這種情況下，某種品牌的鋼琴xx年的價格是10 000元，請用流程圖描述這種鋼琴今后四年的價格變化情況，并輸出四年后的價格。 解析：用P表示鋼琴的價格，不難看出如下算法步驟： xx年P(guān)=10000（1+3%）=10300； xx年P(guān)=10300（1+3%）=10609； xx年P(guān)=10609（1+3%）=10927.27； xx年P(guān)=10927.27（1+3%）=11255.09； 因此，價格的變化情況表為： 年份 xx xx xx xx xx 鋼琴的價格 10000 10300 10609 10927.27 11255.09 程序框圖為： 開始 P=10000 P=100001.03=10300 P=103001.03=10609 P=106091.03=10927.27 P=10927.271.03=11255.09 結(jié)束 輸出P 點(diǎn)評：順序結(jié)構(gòu)只須嚴(yán)格按照傳統(tǒng)的解決數(shù)學(xué)問題的解題思路，將問題解決掉。最后將解題步驟 “細(xì)化”就可以?！凹?xì)化”指的是寫出算法步驟、畫出程序框圖。 題型4：條件結(jié)構(gòu) 例7．設(shè)計算法判斷一元二次方程是否有實數(shù)根，并畫出相應(yīng)的程序框圖。 解析：算法步驟如下： 第一步：輸入一元二次方程的系數(shù)：a，b，c； 第二步：計算△的值； 第三步：判斷△≥0是否成立。若△≥0成立，輸出“方程有實根”；否則輸出“方程無實根”。結(jié)束算法。 相應(yīng)的程序框圖如下： Y N 結(jié) 束 開始 輸入a,b,c △≥0？ 輸出無實根 輸出有實根 △=b2－4ac 點(diǎn)評：根據(jù)一元二次方程的意義，需要計算判別式△的值。再分成兩種情況處理：（1）當(dāng)△≥0時，一元二次方程有實數(shù)根；（2）當(dāng)△＜0時，一元二次方程無實數(shù)根。該問題實際上是一個分類討論問題，根據(jù)一元二次方程系數(shù)的不同情況，最后結(jié)果就不同。因而當(dāng)給出一個一元二次方程時，必須先確定判別式的值，然后再用判別式的值的取值情況確定方程是否有解。該例僅用順序結(jié)構(gòu)是辦不到的，要對判別式的值進(jìn)行判斷，需要用到條件結(jié)構(gòu)。 例8．（1）設(shè)計算法，求的解，并畫出流程圖。 解析：對于方程來講，應(yīng)該分情況討論方程的解。 我們要對一次項系數(shù)a和常數(shù)項b的取值情況進(jìn)行分類，分類如下： （1）當(dāng)a≠0時，方程有唯一的實數(shù)解是； （2）當(dāng)a=0，b=0時，全體實數(shù)都是方程的解； （3）當(dāng)a=0，b≠0時，方程無解。 聯(lián)想數(shù)學(xué)中的分類討論的處理方式。可得如下算法步驟： 第一步：判斷a是否不為零。若成立，輸出結(jié)果“解為”； 第二步：判斷a=0，b=0是否同時成立。若成立，輸出結(jié)果“解集為R”； 第三步：判斷a=0，b≠0是否同時成立。若成立，輸出結(jié)果“方程無解”，結(jié)束。 程序框圖： Y a≠0? a=0,b=0? a=0,b≠0? 開始 輸出解為 輸出解集為R 輸出方程無解 結(jié)束 Y N N N 輸入a，b Y （2）。設(shè)計算法，找出輸入的三個不相等實數(shù)a、b、c中的最大值，并畫出流程圖。 解析：算法步驟： 第一步：輸入a，b，c的值； 第二步：判斷a>b是否成立，若成立，則執(zhí)行第三步；否則執(zhí)行第四步； 第三步：判斷a>c是否成立，若成立，則輸出a，并結(jié)束；否則輸出c，并結(jié)束； 第四步：判斷b>c是否成立，若成立，則輸出b，并結(jié)束；否則輸出c，并結(jié)束。 程序框圖： 開始 a > b? 輸出a 結(jié)束 N a > c? Y 輸出c b >c? 輸出b 輸出c Y Y N N 輸入a,b,c 點(diǎn)評：條件結(jié)構(gòu)嵌套與條件結(jié)構(gòu)疊加的區(qū)別是： （1）條件結(jié)構(gòu)疊加，程序執(zhí)行時需依次對“條件1”、“條件2”、“條件3”……都進(jìn)行判斷只有遇到能滿足的條件才執(zhí)行該條件對應(yīng)的操作。 （2）條件結(jié)構(gòu)的嵌套中，“條件2”是“條件1”的一個分支，“條件3”是“條件2”的一個分支，……依此類推，這些條件中很多在算法執(zhí)行過程中根據(jù)所處的分支位置不同可能不被執(zhí)行。 （3）條件結(jié)構(gòu)嵌套所涉及的“條件2”、“條件3”……是在前面的所有條件依次一個一個的滿足“分支條件成立”的情況下才能執(zhí)行的此操作，是多個條件同時成立的疊加和復(fù)合。 題型5：循環(huán)結(jié)構(gòu) 例9．設(shè)計一個算法，求的值，并劃出程序框圖。。 解析：算法步驟： 第一步：sum=0； 第二步：i=0； 第三步：sum=sum+2i； 第四步：i=i+1； 第五步：判斷i是否大于49，若成立，則輸出sum，結(jié)束；否則返回第三步重新執(zhí)行。 程序框圖： 結(jié) 束 開始 i>49？ 輸出sum sum=0,i=0 sum=sum+2i i=i+1 N Y 點(diǎn)評： 1．如果算法問題里涉及的運(yùn)算進(jìn)行了許多次重復(fù)的操作，且先后參與運(yùn)算的數(shù)之間有相同的規(guī)律，就可引入變量循環(huán)參與運(yùn)算（我們稱之為循環(huán)變量），應(yīng)用于循環(huán)結(jié)構(gòu)。在循環(huán)結(jié)構(gòu)中，要注意根據(jù)條件設(shè)計合理的計數(shù)變量、累加和累乘變量及其個數(shù)等，特別要求條件的表述要恰當(dāng)、精確。 2．累加變量的值初始值一般取成0，而累乘變量的初始值一般取成1。 例10．相傳古代的印度國王要獎賞國際象棋的發(fā)明者，問他需要什么。發(fā)明者說：陛下，在國際象棋的第一個格子里面放1粒麥子，在第二個格子里面放2粒麥子，第三個格子放4粒麥子，以后每個格子中的麥粒數(shù)都是他前一個格子中麥粒數(shù)的二倍，依此類推（國際象棋棋盤共有64個格子）。請將這些麥子賞給我，我將感激不盡。國王想這還不容易，就讓人扛了一袋小麥，但不到一會兒就沒了，最后一算結(jié)果，全印度一年生產(chǎn)的糧食也不夠。國王很奇怪，小小的“棋盤”，不足100個格子，如此計算怎么能放這么多麥子？試用程序框圖表示一下算法過程。 解析：將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，該問題就是來求的和 結(jié) 束 開始 i≥64？ 輸出sum sum=0,i=0 sum=sum+2i i=i+1 N Y 點(diǎn)評：對于開放探究問題，我們可以建立數(shù)學(xué)模型（上面的題目要與等比數(shù)列的定義、性質(zhì)和公式聯(lián)系起來）和過程模型來分析好算法，通過設(shè)計算法以及語言的描述選擇一些成熟的辦法進(jìn)行處理。像上面應(yīng)用到了等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式。 五．思維總結(jié) 描述算法可以用不同的方式。例如：可以用自然語言和數(shù)學(xué)語言加以敘述，也可以借助形式語言（算法語言）給出精銳的說明，也可以用程序框圖直觀的顯示算法全貌。 1．自然語言 自然語言就是人們?nèi)粘Ｊ褂玫恼Z言，可以是人之間來交流的語言、術(shù)語等，通過分步的方式來表達(dá)出來的解決問題的過程。 其優(yōu)點(diǎn)為：好理解，當(dāng)算法的執(zhí)行都是先后順序時比較容易理解； 缺點(diǎn)是：表達(dá)冗長，且不易表達(dá)清楚步驟間的重復(fù)操作、分情況處理現(xiàn)象、先后順序等問題。 2．程序框圖 程序框圖是用規(guī)定的圖形符號來表達(dá)算法的具體過程。 優(yōu)點(diǎn)是：簡捷形象、步驟的執(zhí)行方向直觀明了。 3．程序語言 程序語言是將自然語言和框圖所表達(dá)的解決問題的步驟用特定的計算機(jī)所識別的低級和高級語言編寫而成。特點(diǎn)：能在計算機(jī)上執(zhí)行，但格式要求嚴(yán)格。 程序框圖 1．學(xué)習(xí)這部分知識的時候，要掌握各種圖形的形狀、作用以及使用規(guī)則 2．畫程序框圖的規(guī)則如下： （1）一個完整的程序框圖必須有起止框，用來表示程序的開始和結(jié)束。 （2）使用標(biāo)準(zhǔn)的圖形符號表示操作，帶箭頭的流程線表示算法步驟的先后順序，框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。 （3）算法中間要處理數(shù)據(jù)或計算，可分別寫在不同的處理框中。 （4）如果一個流程由于紙面等原因需要分開畫。要在斷開處畫上連結(jié)點(diǎn)，并標(biāo)出連結(jié)的號碼。如圖一。實際上它們是同一點(diǎn)，只是化不才分開畫。用連結(jié)點(diǎn)可避免流程線的交叉或過長，使流程圖清晰。 （5）注釋框不是流程圖必需的部分，只是為了提示用戶一部分框圖的作用以及對某些框圖的操作結(jié)果進(jìn)行說明。它幫助閱讀流程圖的用戶更好的理解流程圖的來龍去脈。 （6）在圖形符號內(nèi)用于描述的語言要非常簡練清楚。