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2019-2020年高三數(shù)學第一輪復習單元講座 第19講 用樣本估計總體及線性相關關系教案 新人教版 一．課標要求： 1．用樣本估計總體 ①通過實例體會分布的意義和作用，在表示樣本數(shù)據(jù)的過程中，學會列頻率分布表、畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，體會他們各自的特點； ②通過實例理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，學會計算數(shù)據(jù)標準差； ③能根據(jù)實際問題的需求合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標準差），并作出合理的解釋； ④在解決統(tǒng)計問題的過程中，進一步體會用樣本估計總體的思想，會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征；初步體會樣本頻率分布和數(shù)字特征的隨機性； ⑤會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想，解決一些簡單的實際問題；能通過對數(shù)據(jù)的分析為合理的決策提供一些依據(jù)，認識統(tǒng)計的作用，體會統(tǒng)計思維與確定性思維的差異； ⑥形成對數(shù)據(jù)處理過程進行初步評價的意識。 2．變量的相關性 ①通過收集現(xiàn)實問題中兩個有關聯(lián)變量的數(shù)據(jù)作出散點圖，并利用散點圖直觀認識變量間的相關關系； ②經(jīng)歷用不同估算方法描述兩個變量線性相關的過程。知道最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程。 二．命題走向 “統(tǒng)計”是在初中“統(tǒng)計初步”基礎上的深化和擴展，本講主要會用樣本的頻率分布估計總體的分布，并會用樣本的特征來估計總體的分布。 預測xx年高考對本講的考察是： 1．以基本題目（中、低檔題）為主，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，以實際問題為背景，綜合考察學生學習基礎知識、應用基礎知識、解決實際問題的能力； 2．熱點問題是頻率分布直方圖和用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征。 三．要點精講 1．用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征 （1）眾數(shù)、中位數(shù) 在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)； 將一組數(shù)據(jù)按照從大到?。ɑ驈男〉酱螅┡帕校幵谥虚g位置上的一個數(shù)據(jù)（或中間兩位數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)； （2）平均數(shù)與方差 如果這n個數(shù)據(jù)是，那么叫做這n個數(shù)據(jù)平均數(shù)； 如果這n個數(shù)據(jù)是，那么叫做這n個數(shù)據(jù)方差；同時 叫做這n個數(shù)據(jù)的標準差。 2．頻率分布直方圖、折線圖與莖葉圖 樣本中所有數(shù)據(jù)（或數(shù)據(jù)組）的頻率和樣本容量的比，就是該數(shù)據(jù)的頻率。所有數(shù)據(jù)（或數(shù)據(jù)組）的頻率的分布變化規(guī)律叫做頻率分布，可以用頻率分布直方圖、折線圖、莖葉圖來表示。 頻率分布直方圖： 具體做法如下： （1）求極差（即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差）； （2）決定組距與組數(shù)； （3）將數(shù)據(jù)分組； （4）列頻率分布表； （5）畫頻率分布直方圖。 注：頻率分布直方圖中小正方形的面積=組距=頻率。 折線圖：連接頻率分布直方圖中小長方形上端中點，就得到頻率分布折線圖。 總體密度曲線：當樣本容量足夠大，分組越多，折線越接近于一條光滑的曲線，此光滑曲線為總體密度曲線。 3．線性回歸 回歸分析：對于兩個變量，當自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關系叫相關關系或回歸關系。 回歸直線方程：設x與y是具有相關關系的兩個變量，且相應于n個觀測值的n個點大致分布在某一條直線的附近，就可以認為y對x的回歸函數(shù)的類型為直線型：。其中，。我們稱這個方程為y對x的回歸直線方程。 四．典例解析 題型1：數(shù)字特征 例1．為了檢查一批手榴彈的殺傷半徑，抽取了其中20顆做試驗，得到這20顆手榴彈的殺傷半徑，并列表如下： (1)在這個問題中，總體、個體、樣本和樣本容量各是什么？ (2)求出這20顆手榴彈的殺傷半徑的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)，并估計這批手榴彈的平均殺傷半徑． 解析： (1)總體是要檢查的這批手榴彈的殺傷半徑的全體；個體是每一顆手榴彈的殺傷半徑；樣本是所抽取的20顆手榴彈的殺傷半徑；樣本容量是20。 (2)在20個數(shù)據(jù)中，10出現(xiàn)了6次，次數(shù)最多，所以眾數(shù)是10（米）。 20個數(shù)據(jù)從小到大排列，第10個和第11個數(shù)據(jù)是最中間的兩個數(shù)，分別為9（米）和10（米），所以中位數(shù)是（9+10）=9.5（米）。 樣本平均數(shù)（米） 所以，估計這批手榴彈的平均殺傷半徑約為9.4米。 點評：(1)根據(jù)總體、個體、樣本、樣本容量的概念答題．要注意：總體、個體和樣本所說的考察對象是一種數(shù)量指標，不能說成考察的對象是手榴彈，而應說是手榴彈的殺傷半徑。 (2)讀懂表格的意義，利用概念求眾數(shù)、中位數(shù)，用樣本平均數(shù)估計這批手榴彈的平均殺傷半徑．另外在這里要會簡便計算有多個重復數(shù)據(jù)的樣本的平均數(shù)。 例2．為估計一次性木質筷子的用量，xx年從某縣共600家高、中、低檔飯店抽取10家作樣本，這些飯店每天消耗的一次性筷子盒數(shù)分別為： 0.6 3.7 2.2 1.5 2.8 1.7 1.2 2.1 3.2 1.0 (1)通過對樣本的計算，估計該縣xx年消耗了多少盒一次性筷子（每年按350個營業(yè)日計算）； (2)xx年又對該縣一次性木質筷子的用量以同樣的方式作了抽樣調(diào)查，調(diào)查的結果是10個樣本飯店，每個飯店平均每天使用一次性筷子2.42盒．求該縣xx年、xx年這兩年一次性木質筷子用量平均每年增長的百分率（xx年該縣飯店數(shù)、全年營業(yè)天數(shù)均與xx年相同）； (3)在(2)的條件下，若生產(chǎn)一套學生桌椅需木材0.07m3，求該縣xx年使用一次性筷子的木材可以生產(chǎn)多少套學生桌椅。計算中需用的有關數(shù)據(jù)為：每盒筷子100雙，每雙筷子的質量為5g，所用木材的密度為0.5103kg/m3； (4)假如讓你統(tǒng)計你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量，如何利用統(tǒng)計知識去做，簡要地用文字表述出來。 解析：(1) 所以,該縣xx年消耗一次性筷子為2600350=4xx0（盒）。 (2)設平均每年增長的百分率為X，則2（1+X）2=2.42, 解得X1=0.1=10%，X2=－2.1（不合題意，舍去）。 所以,平均每年增長的百分率為10%； (3)可以生產(chǎn)學生桌椅套數(shù)為（套）。 (4)先抽取若干個縣（或市、州）作樣本，再分別從這些縣（或市、州）中抽取若干家飯店作樣本，統(tǒng)計一次性筷子的用量． 點評：本題是一道統(tǒng)計綜合題，涉及的知識點很多，需要靈活運用各種知識分析解決問題．對于第(1)小題，可先求得樣本平均數(shù)，再利用樣本估計總體的思想來求得問題的解．對于第(2)小題，實際是一個增長率問題的應用題，可通過設未知數(shù)列方程的方法來解．對于第(3)小題，用到了物理公式m＝ρv，　體現(xiàn)了各學科知識之間的聯(lián)系，讓學生觸類旁通，在解決實際問題時能綜合運用多種知識靈活地解決問題．第(4)小題只要能夠運用隨機抽樣方法，能體會到用樣本估計總體的統(tǒng)計思想就可解決，在文字表述上要注意簡潔、明了、正確。 題型2：數(shù)字特征的應用 例3．（xx年全國高考天津文科卷(15)）甲、乙兩種冬小麥試驗品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下（單位：t / hm2） 品種 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 其中產(chǎn)量比較穩(wěn)定的小麥品種是 甲 。 解析：甲 = ( 9.8 + 9.9 + 10.1 + 10 + 10.2) = 10.0，乙 = ( 9.4 + 10.3 + 10.8 + 9.7 + 9.8) = 10.0； s = ( 9.82 + … + 10.22) – 102 = 0.02，s = ( 9.42 + … + 9.82) – 102 = 0.244 > 0.02 。 點評：方差與平均數(shù)在反映樣本的特征上一定要區(qū)分開。 例4．（xx江蘇7）在一次歌手大獎賽上，七位評委為歌手打出的分數(shù)如下： 9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7 去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為 （A）9.4, 0.484 （B）9.4, 0.016 （C）9.5, 0.04 （D）9.5, 0.016 答案：D； 解析：7個數(shù)據(jù)中去掉一個最高分和一個最低分后，余下的5個數(shù)為：9.4, 9.4, 9.6, 9.4, 9.5。 則平均數(shù)為：，即。 方差為： 即 ，故選D。 點評：一定要根據(jù)實際的題意解決問題，并還原實際情景。 題型3：頻率分布直方圖與條形圖 例5．為檢測,某種產(chǎn)品的質量,抽取了一個容量為30的樣本,檢測結果為一級品5件,而極品8件,三級品13件,次品14件. （1）列出樣本頻率分布表; （2）畫出表示樣本頻率分布的條形圖; （3）根據(jù)上述結果,估計辭呈商品為二極品或三極品的概率約是多少 解析：(1)樣本的頻率分布表為 產(chǎn)品 頻數(shù) 頻率 一級晶 5 0．17 二級晶 8 0．27 三級晶 13 0．43 次品 4 0．13 (2)樣本頻率分布的條形圖為： (3)此種產(chǎn)品為二極品或三極品的概率約為0.27+0.43=0.7。 點評：條形圖中縱坐標一般是頻數(shù)或頻率。 例6．（xx重慶理，6）為了了解某地區(qū)高三學生的身體發(fā)育情況，抽查了該地區(qū)100名年齡為17.5歲－１８歲的男生體重(kg) ,得到頻率分布直方圖如下： 根據(jù)上圖可得這100名學生中體重在〔56.5,64.5〕的學生人數(shù)是 (A)20 (B)30 (C)40 （D）50 答案：C； 解析：根據(jù)運算的算式：體重在〔56.5,64.5〕學生的累積頻率為20.03＋20.05＋20.05＋20.07=0.4，則體重在〔56.5,64.5〕學生的人數(shù)為0.4100=40。 點評：熟悉頻率、頻數(shù)、組距間的關系式。 例7．某中學對高三年級進行身高統(tǒng)計，測量隨機抽取的40名學生的身高，其結果如下（單位：cm） 分組 ［140，145） ［145，150） ［150，155） ［155，160） ［160，165） ［165，170） ［170，175） ［175，180） 合計 人數(shù) 1 2 5 9 13 6 3 1 40 （1）列出頻率分布表； （2）畫出頻率分布直方圖； （3）估計數(shù)據(jù)落在［150，170］范圍內(nèi)的概率。 解析：（1）根據(jù)題意可列出頻率分布表： 分　值 頻　數(shù) 頻　率 ［140，145］ 1 0.025 ［145，150］ 2 0.050 ［150，155］ 5 0.125 ［155，160］ 9 0.225 ［160，165］ 13 0.325 ［165，170］ 6 0.15 ［170，175］ 3 0.075 ［175，180］ 1 0.025 合　計 40 1.00 （2）頻率分布直方圖如下： （3）數(shù)據(jù)落在［150，170］范圍內(nèi)的概率約為0.825。 題型4：莖葉圖 例8．觀看下面兩名選手全壘打數(shù)據(jù)的莖葉圖，對他們的表現(xiàn)進行比較。 1961年揚基隊外壘手馬利斯打破了魯斯的一個賽季打出60個全壘打的記錄。下面是揚基隊的歷年比賽中的魯斯和馬利斯每年擊出的全壘打的比較圖： 魯斯 馬利斯 0 8 1 3 4 6 5 2 2 3 6 8 5 4 3 3 9 9 7 6 6 1 1 4 9 4 4 5 0 6 1 解析：魯斯的成績相對集中，穩(wěn)定在46左右；馬利斯成績相對發(fā)散，成績穩(wěn)定在26左右。 題型5：線性回歸方程 例9．由施肥量x與水稻產(chǎn)量y試驗數(shù)據(jù)的關系，畫出散點圖，并指明相關性。 解析：散點圖為： 通過圖象可知是正相關。 例10．在某種產(chǎn)品表面進行腐蝕線實驗，得到腐蝕深度y與腐蝕時間t之間對應的一組數(shù)據(jù)： 時間t(s) 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120 深度y(m) 6 10 10 13 16 17 19 23 25 29 46 (1)畫出散點圖； (2)試求腐蝕深度y對時間t的回歸直線方程。 略解：（1）散點圖略，呈直線形。 （2）經(jīng)計算可得 =46.36，=19.45，=36750，=5442，=13910。 B==0.3. A=－b=19.45－035.542。 故所求的回歸直線方程為=0.3t+5.542。 題型6：創(chuàng)新題 例11．把容量為100的某個樣本數(shù)據(jù)分為10組，并填寫頻率分布表，若前七組的累積頻率為0.79，而剩下三組的頻數(shù)成公比大于2的整數(shù)等比數(shù)列，則剩下三組中頻數(shù)最高的一組的頻數(shù)為___________. 答案：16 點評：已知前七組的累積頻率為0.79，而要研究后三組的問題，因此應先求出后三組的頻率之和為1－0.79=0.21，進而求出后三組的共有頻數(shù)，或者先求前七組共有頻數(shù)后，再計算后三組的共有頻數(shù)。由已知知前七組的累積頻數(shù)為0.79100=79，故后三組共有的頻數(shù)為21，依題意=21，a1（1+q+q2）=21.∴a1=1，q=4?！嗪笕M頻數(shù)最高的一組的頻數(shù)為16。此題剖析只按第二種思路給出了解答，你能按第一種思路來解嗎？ 例12．某班學生在一次數(shù)學考試中成績分布如下表： 分數(shù)段 ［0，80） ［80，90） ［90，100） 人數(shù) 2 ） 5 6 分數(shù)段 ［100，110） ［110，120 ［120，130） 人數(shù) 8 12 6 分數(shù)段 ［130，140） ［140，150） 人數(shù) 4 2 那么分數(shù)在［100，110）中的頻率和分數(shù)不滿110分的累積頻率分別是______________、_______（精確到0.01）. 解析：由頻率計算方法知：總人數(shù)=45. 分數(shù)在［100，110）中的頻率為 =0.178≈0.18. 分數(shù)不滿110分的累積頻率為=≈0.47. 答案：0.18 0.47 五．思維總結 1．統(tǒng)計是為了從數(shù)據(jù)中提取信息，學習時根據(jù)實際問題的需求選擇不同的方法合理地選取樣本，并從樣本數(shù)據(jù)中提取需要的數(shù)字特征。不應把統(tǒng)計處理成數(shù)字運算和畫圖表。對統(tǒng)計中的概念（如"總體"、"樣本"等）應結合具體問題進行描述性說明，不應追求嚴格的形式化定義。 2．當總體中個體取不同值很少時，我們黨用樣本的頻率分布標記頻率分布梯形圖取估計總體體分布,總體分布排除了抽樣造成的錯誤，精確反映了總體取值的概率分布規(guī)律。對于所取不同數(shù)值較多或可以在實數(shù)區(qū)間范圍內(nèi)取值的總體，需用頻率分布直方圖來表示相應的頻率分布。當樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小時，頻率分布直方圖無限接近一條光滑曲線——總體密度曲線．由于總體分布通常不易知道，往往是用樣本的頻率分布估計總體分布。樣本容量越大，估計就越精確。 3．相關關系 　　研究兩個變量間的相關關系是學習本節(jié)的目的。對于相關關系我們可以從下三個方面加以認識： 　　（1）相關關系與函數(shù)關系不同。函數(shù)關系中的兩個變量間是一種確定性關系。例如正方形面積S與邊長x之間的關系就是函數(shù)關系。即對于邊長x的每一個確定的值，都有面積S的惟一確定的值與之對應。相關關系是一種非確定性關系，即相關關系是非隨機變量與隨機變量之間的關系。例如人的身高與年齡；商品的銷售額與廣告費等等都是相關關系。 　?。?）函數(shù)關系是一種因果關系，而相關關系不一定是因果關系，也可能是伴隨關系。例如有人發(fā)現(xiàn)，對于在校兒童，身高與閱讀技能有很強的相關關系。然而學會新詞并不能使兒童馬上長高，而是涉及到第三個因素——年齡，當兒童長大一些，他們的閱讀能力會提高而且由于長大身高也會高些。 　?。?）函數(shù)關系與相關關系之間有著密切聯(lián)系，在一定的條件下可以相互轉化。例如正方形面積S與其邊長x間雖然是一種確定性關系，但在每次測量邊長時，由于測量誤差等原因，其數(shù)值大小又表現(xiàn)出一種隨機性。而對于具有線性關系的兩個變量來說，當求得其回歸直線后，我們又可以用一種確定性的關系對這兩個變量間的關系進行估計。 相關關系在現(xiàn)實生活中大量存在，從某種意義上講，函數(shù)關系是一種理想的關系模型，而相關關系是一種更為一般的情況。因此研究相關關系，不僅可使我們處理更為廣泛的數(shù)學應用問題，還可使我們對函數(shù)關系的認識上升到一個新的高度。 4．好破勢訓練，為提高能力，運用變式題目，常規(guī)題向典型問題的轉化，進行多種解法訓練，從不同角度，不同側面對題目進行全面分析，結合典型的錯解分析，查找思維的缺陷，提高分析解決問題的能力。