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1,3.1 作用于大氣上的力，慣性坐標系運動方程,3.3 連續(xù)方程和熱力學方程,3.2 視示力，旋轉坐標系運動方程,3.4 球坐標系大氣運動方程,3.5 P坐標系大氣運動方程,第三章 大氣運動基本方程組,2,第三章 大氣運動基本方程組,前兩章主要介紹了連續(xù)介質的概念，研究流體力學的兩種常用方法，并介紹了N-S方程及其應用，這一章我們著重來研究一個具體的流體的運動規(guī)律，即旋轉地球上的大氣運動的規(guī)律。,旋轉地球上的大氣運動的規(guī)律，主要是用流體力學的方法，來描述與討論大氣運動的基本規(guī)律。因此，它的基礎就是流體力學，但是它又與一般的流體力學有所差別，正因為有差別，才能將氣象科學與其它流體力學區(qū)別開來。,3,1、 大氣運動與一般流體運動區(qū)別最重要的一點，就是氣象上的運 動具有大尺度的特征,氣象上運動一般水平尺度是數(shù)百公里到數(shù)千公里的范圍，有時候還幾乎等于地球半徑。因此，這類運動中就必須考慮地球自轉的作用，也正是這一點，在大氣中存在一種準地轉關系。 例如在給定壓力分布情況下，一般流體均是沿著壓力梯度方向 運動的，即“水是從高處往低處流的”，但是，由于地球的旋轉效應，將會改變“水往低處流”，而是出現(xiàn)流體沿著等壓線（即與壓力梯度相垂直）流動的趨勢和現(xiàn)象，這就是我們將要學習的地轉風；而且旋轉的越厲害，這種趨勢和現(xiàn)象越明顯。,大氣運動的主要特點,4,2、 大氣的運動具有準水平的特征,由于重力場的作用，使得大氣質量向地表面集中。由此造成了氣壓在鉛直方向上的分布不均勻，描述這種分布的就是眾所周知的靜力方程。,此外，密度和溫度在垂直方向的分布也不均勻，這種介質的物理性質的不均勻分布，使大氣具有層結的分布。,但是，就大范圍而言，層結具有穩(wěn)定的特點，這就使垂直方向的擾動受到了抑制，再加上地球旋轉的效應，因此，運動就具有準水平的特征。,大氣運動的主要特點,5,大氣運動的主要特點,3、 大氣中含有水汽,大氣中的水汽成分在運動過程中發(fā)生了相變，而相變的潛熱又反過來供給大氣，促使運動得到支持和發(fā)展。,4、 大氣的其它的一些重要特征，例如大氣的斜壓性，準不 可壓縮性,那么準的含義是什么呢？,6,※ “準”的含義 水平運動：垂直速度為零。 準水平運動：主要是水平運動，但垂直運動也很重要（降水的形成）。 地轉運動：科氏力與氣壓梯度力相等，加速度等于零。 準地轉運動：科氏力與氣壓梯度力近似相等，加速度不等于零，系統(tǒng)能發(fā)展。,7,流體力學對大氣運動的研究包括: 考慮地球自轉的、準水平運動大尺度大氣動力過程。 大尺度系統(tǒng)，又稱天氣尺度系統(tǒng)、天氣系統(tǒng)。,所以說,8,以流體力學為基礎的動力氣象學與天氣學不同之處在于：,天氣學：從觀測資料出發(fā)，經驗性的，總結天氣過程的發(fā)生發(fā)展規(guī)律，（主觀）推斷可能機理 動力學：從物理定律出發(fā)，從理論上，（客觀）揭示天氣過程的發(fā)生發(fā)展規(guī)律和機理,9,3.1 作用于大氣上的力，慣性坐標系運動方程,1、慣性坐標系,相對于某個恒星（如太陽）靜止或作勻速直線運動（即沒有加速度）的坐標系。,所謂慣性坐標系就是牛頓第二定律適用的坐標系，否則就是非慣性坐標系。,10,慣性坐標系下牛頓第二定律成立：,對于空氣微圖，作用于其上的外力有,摩擦力=外摩擦力+內摩擦力,11,旋轉(相對)坐標系,相對于某個恒星（如太陽）作旋轉運動（即有加速度）的坐標系，則固定在地球上的坐標系屬于旋轉坐標系,12,由于人們總是取固定在地球上并且與地球一起轉動的參考系來考察和研究大氣的運動，而這種坐標系是非慣性坐標系。,當把加速度轉換在非慣性坐標系中，它并非不變量，而要出現(xiàn)由于參考系旋轉所引起的加速度的附加項。而且，對于隨同參考系一起旋轉的觀測者而言，加速度中的此種附加項是作為體積力作用的形式而出現(xiàn)的，統(tǒng)稱為慣性力。,13,14,15,16,17,2、旋轉坐標系中加速度的表達式,所謂慣性坐標系就是牛頓第二定律適用的坐標系，否則就是非慣性坐標系。,如圖所示，點P表示某質點在起始時刻的位置，假設觀測者也在該同一位置。經過時間dt，空氣質點移到點Pa，同時，對于地面不動的觀測者隨地球自轉移動到Pe處。我們稱 為牽連位移，以 來表示；在絕對（即固定）坐標中觀測到的質點位移 為絕對位移，以 來表示；在相對坐標（即隨地球一起轉的坐標）中觀測到的位移 為相對位移，以 表示。,,,,,,,,,,,R,p,pe,pa,,r,地軸,,,,18,顯然，絕對位移是相對位移與牽連位移的矢量和，即,,,,,,,,,,,R,p,pe,pa,,r,地軸,,,,,,此式除以dt，得,19,此式除以dt，得,即,（3.5）,其中 =,是絕對速度，,因為由轉動引起的牽連速度是P點位置矢的時間導數(shù)，即,=,是相對速度，,是牽連速度,其中 是地轉角速度矢，R是在緯圈面上的半徑,（3.2*）,（3.1*）,=,20,將3.2* 代入,3.1* 即得：,3.3*,將3.3*中的 去掉，則得：,表示相對坐標系中的個別變化,其中 ，表示絕對坐標系中的個別變化,3.3**,1）3.3**表示了絕對坐標系的個別變化與相對坐標系中的個別變化之間的關系,說明：,2）3.3**式中的算符對任意矢量都是成立的,21,將3.3* 中的 換成絕對速度,以 （3.5）與 代入3.10式 得 ：,3.10,將3.4*式右端展開后，因 為常數(shù)，可得：,3.4*,上式表示絕對坐標系中的加速度與相對坐標系中的加速度之間的關系,3.5*,22,23,稱為科里奧利力（科氏力）， 稱為慣性離心力,我們知道，慣性流體動力學方程或N-S方程為：,不考慮黏性力，將3.5*代入上式，即得,3.7*,根據(jù)達朗貝爾（D’Alembert)原理，3.7*式可以移到右邊作為慣性力來考慮，這樣，3.5*中的3項加速度都可以看作是慣性力.,但是為了明確起見，我們以后只把 稱為慣性力，而把,3.6*,,24,將3.7*改寫一下：,3.8*,討論：,1）方程是在相對坐標系或旋轉坐標系中的大氣運動方程,2）方程的右邊多了兩項，它們在物理學中稱為慣性力，是由于旋轉效應而引起的附加項,3） 就是科氏力,4） 是慣性離心力（慣性離心力和離心力是兩個不同的概念）,5）ga 是萬有引力,25,26,二、作用于大氣上的力 共有兩類,第一種稱為表面力，它是周圍空氣介質作用在空氣微團表面上的力，與作用面的面積大小成比例,第二種稱為質量力或體力，這種力作用在組成空氣微團的所有質點上，與空氣微團的質量或體積成比例，而與空氣微團以外的空氣介質的存在無關,27,1，氣壓梯度力,氣壓梯度力是空氣介質對空氣微團的,作用力?？紤]大氣中一物質體積元，取笛卡爾,坐標系，其體積為 體積元的 中心在（x0，y0，z0）處，如右圖所示，該體積元各面上都要受到,周圍空氣對它的作用力——壓力。以P0代表該體積元中心處的氣壓,則在右圖中A面上的氣壓為：,作用在A面上的總壓力為：,其中 是A的面積,28,同理，作用在B面上的總壓力為：,因此，作用在體積元上x方向的合壓力為：,若空氣微團的密度為ρ，該體積元含有的大,質量上的合壓力為：,該力的方向與x軸的方向平行。,氣質量為,因而作用于每單位空氣,考慮周圍空氣對其它面上的壓力，則有,所以周圍空氣介質對每單位質量空氣微團的作用力為：,29,將上式寫成矢量形式，即可得到作用在單位質量的氣壓梯度力：,討論：,氣壓梯度力是面力,水平氣壓梯度力比垂直氣壓梯度力小很多,顯然只有在非均勻氣壓場中才存在氣壓梯度力,氣壓梯度力的大小與氣壓梯度成正比，與空氣的密度成反比。 即等壓線越密集，氣壓梯度就越大，在同樣的氣壓梯度下，高處 的風比低空的大，因為高空的密度小。,氣壓梯度力的方向指向- 方向，即由高壓指向低壓，垂直于等壓線。,水平方向 100km 相差1hPa 垂直方向 8-10km 相差1hPa,由于向上的氣壓梯度力和重力得到準靜力平衡，所以雖然垂直方 向上氣壓梯度力大，但運動不明顯；而水平方向上力很小但運動明 顯，故大氣基本上是準水平運動,30,31,32,33,2，重力,地球上任何物體（單位質量），都受地心的萬有引力ga，它是指向,地心的。由于地球是一個近似的橢球體，因此，萬有引力ga并不垂直 于地面。,由于地球自轉，單純的萬有引力ga是無法測量的，實際測量的是 地心引力和慣性離心力的合力，這就是通常說是的重力，對單位質量 空氣微團而言，它表示為,3.9*,重力加速度的經驗公式為（精確度相當 地高）：,其中 是緯度 ，在動力氣象中一般可以不 考慮g與緯度和高度z的關系。并把重力加速度 看作常數(shù)。,34,討論：,1）除赤道和極地外，重力g并不指向球心，而具有指向赤道方向的分量,3.10*,2）重力g是位勢力（重力對物體所做的功與物體的運動路勁無關 ，只決定于物體的初始和終止位置離地心的距離），它可以表為,其中 稱為重力位勢，它是引力位勢和離心力位勢之和,3）重力g的方向垂直于等重力位勢面，且由高重力位勢面指向 低重力位勢面,4）g的大小，就是重力加速度,35,各等重力位勢面示意圖,重力位勢面：,1）重力位勢面是一族包圍著地球的橢球面。海平面也是一個等重 力位勢面，一般令其位勢等于0,3）重力位勢用位勢米（gpm）去度量重力位勢面，因為用幾何“米”這把尺子去度量重力位勢時，等重力位勢面存在不平行的情況,4）重力位勢 表示移動單位空氣質量微團從海平面（z=0）到z高度，克服重力所做的功，其數(shù)值近似等于重力加速度g乘以海拔高度z,2）等重力位勢面的幾何距離是不不同的。在極地密（g數(shù)值相對大） 赤道疏（ g數(shù)值相對?。?,4）位勢米的本質不是高度，而是重力位勢,36,3，分子黏性力,略,除了以上三種力以外，根據(jù)達朗貝爾（D’Alembert)原理，在旋轉坐標系中又增加了兩個力，一個是慣性離心力，另一個就是科里奧利力（科氏力），,37,1） 垂直于地轉軸，它在緯圈面內，但不一定在直徑園 面內,4，科里奧利力（科氏力）,對單位質量的空氣微團而言，Coriolis力的特征,討論：,2） 垂直于風速 ，因此，科氏力僅能改變運動的方向， 但不能改變速度的大小，所以科氏力也稱為折向力或地轉偏向力,3）即使做水平方向上的運動，仍有鉛直方向上的科氏力分量,38,39,三、大氣運動方程,綜上，可以得到在旋轉 (相對 )坐標系中單位質量空氣質點的運動方程為：,3.18,40,四、Z坐標系中大氣運動方程,以上寫出的方程是矢量形式，便以理解，但是在具體用于計算時，還需把它按照一定的相對坐標系寫出分量的形式。在氣象上，相對坐標有好幾種，如Z坐標，P坐標，σ坐標，下面講述Z坐標中的分量方程,41,Z坐標中也稱為標準坐標（局地直角平面坐標系），它的坐標原點取在地球表面某一點O處，Z軸與地面垂直，指向天頂為正。x軸與y軸組成的平面與地面相切于O點，令x向東為正，y向北為正，這是一個正交的右手坐標，它是隨著地球自轉而運動的。,42,在Z坐標中，地球自轉角速度矢 的三個分量為,可將 寫成：,其中 依次為x，y，z軸的方向矢,風速矢量可以寫成：,43,科氏力可以寫成：,因此，如果不計摩擦力，那么，相對運動方程在標準坐標系中可以寫成x，y，z軸的三個分量如下：,44,這就是描述旋轉地球上大氣運動的方程組，以后，將對此方程再做合適的簡化，使其能夠更深刻地刻劃出不同尺度的運動特質,45,五、地轉參數(shù)的簡化以及β平面近似,需要指出的是，由于Z坐標把球面性的地面當作平面，這在應用時是有一定的誤差的。在小尺度運動中，誤差可以不計，隨著運動尺度的增大，誤差逐漸增大，為了克服這一缺點，一種辦法是用球坐標（后面還要講），但是比較復雜，所以通常采用另外一種辦法，即仍使用Z坐標，而把地面球面性的主要影響，即科氏參數(shù)f=（2Ωsin）的變化考慮在內，即,46,即將f在緯度φ0處展開成泰勒級數(shù)，則有：,若令L代表運動的徑向水平尺度，則（）式前兩項之比為：,47,因此，在中緯度地區(qū)，若運動的經向水平尺度遠小于地球半徑時 ，可以取 既把f作為常數(shù)處理，這種近似稱為 近似。取這種近似相當于完全沒有考慮地球球面性所引起的f隨緯度的變化。 高一級近似是所謂 平面近似，其主要內容是： （一）當f處于系數(shù)地位不被微商時，?。? ； （二）當f處于對y求導時，取 為常數(shù)。,取β為常數(shù)為何稱為β平面近似呢？,48,如右圖，過 處作一平面, 其天頂方向如圖。這時 唯一由 決定 ；這時 平面確定后 因此 矢量在此平面上的 為常數(shù)。 因此， 相當于把地面取成過 處的平面，所以稱其為 平面近似。 采用 平面近似后，用局地直角坐標系討論大尺度大氣運動是方便的，由于球面效應引起的曲率項被忽略了，但球面性引起的f隨緯度的變化對大尺度的作用卻被部份保留下來。 在低緯赤道地區(qū)， ，因而有 這時稱為赤道 平面近似，常用 于研究低緯度大氣動力學問題,49,3.2 連續(xù)方程和熱力學方程,一、連續(xù)方程,質量守恒原理是指流體在流動 過程中既不會產生也不會消失。 對于右圖所示的空間某固定處 的正六面體，流體通過該六面體 的界面流入此區(qū)域，也有通過另 一界面而流出此區(qū)域。該區(qū)域內凈 流入或凈流出的質量應該等于該 區(qū)域增加或者減少的質量,基本原理——質量守恒原理,50,如圖所示，在δt時間內，經過 左側面流入該六面體的質量為,在δt 時間內，經過左側面流入該六面體的 質量為 ，經過六面體右側面流出 的質量為,將上面兩項相減，即，沿x軸方向經過左面流入的與經過右面流出的質量之差為：,其中， 為正六面體的體積，以 來表示 ，則上式可以寫為：,,它是沿x軸方向質量的凈得,51,同理：沿y軸方向質量的凈得為：,沿z軸方向質量的凈得為：,將這三個方向凈得的質量相加，即為該六面體內總的質量凈得：,這個凈得的質量應該等于在該小六面體的質量的增加,而該小六面體的質量的增加為：,3.11*,3.12*,3.11*與3.12*相等，即得：,52,3.20,這就是連續(xù)方程,上式表明：如果 為負值，那么， 就大于0，就是有質 量的增加，因此把 稱為質量輻合，反之，把,稱為質量輻散。,連續(xù)方程的其它形式，將3.20式右端展開后，可寫成,上式開頭兩項之和即為，因此連續(xù)方程也可寫成,3.19,53,3.19,如果流體在運動過程中，密度保持不變，即 ，那么就有：,3.13*,所以，在質量守恒條件下，密度不變，就意味著容積不變，也就是說是不可壓的。,所以，3.13*式為不可壓流體的連續(xù)方程——運動是無輻散的。,由于大氣運動主要是水平的，所以在氣象上，通常將上式寫成：,3.14*,其中，,稱為水平散度，容易證明，它是單位面積的膨脹或收縮率,54,二、熱力學方程,由熱力學觀點來說，可以認為地球大氣是由大小不等的熱機所構成的一個系統(tǒng)。例如，可以把整個大氣看作是一個在赤道附近受熱而在兩極附近冷卻的熱機，也可以把范圍小的一些系統(tǒng)如海陸風等看作是一小些的熱機。,這些熱機的根本動力是太陽輻射能，由于太陽輻射在地球表面上的不均勻分布，形成了冷熱源匯的不均勻分布，也就構成了各種不同特征的熱機。,雖然太陽輻射是大氣暈的的主要能量來源，但是它只能決定大氣能夠運動，而不能決定如何運動。后者還決定于作用在大氣上的其它因子，例如地球自轉、摩擦、地表面不均勻、水汽的分布以及相變。,只是由于這些熱力和動力因子的相互作用，才決定了大氣的運動狀態(tài)。,55,總之，作為熱機的大氣，它一方面不斷地由外界獲得能量，另一方面在不短補償其它各種消耗，由此維持它不停息的運動。所以，大氣在運動過程中還要收到能量守恒原理的約束,在熱力學中，表示能量守恒原理的就是熱力學第一定律，也稱為熱流量方程,56,1、熱力學第一定律,3.21,其中， 為定容比熱， 為大氣作為理想流體的內能，,為體積膨脹或收縮作功率，A是熱功當量的倒數(shù)， 為,單位質量的加熱率,3.21表明：加熱作用一部分用于改變溫度改變內能，一部分用于做功,57,1、熱力學第一定律,1*,其中， 為定容比熱， 為大氣作為理想流體的內能，,為體積膨脹或收縮作功率，A是熱功當量的倒數(shù)， 為,單位質量的加熱率,1*表明：加熱作用一部分用于改變溫度改變內能，一部分用于做功,以上是大氣熱流量方程的第一種形式,58,b）大氣熱流量方程的第二種形式,理想氣體的狀態(tài)方程，,其中 是比容，R是氣體常數(shù)，R與Cp和Cv的關系式,則 可以改寫為,2*表明：加熱可以引起大氣的焓或壓能的改變,其中， 是焓的變化率， 是壓能變化率,2*,59,討論：,在絕熱情形下的大氣運動（ ）,變?yōu)椋?將狀態(tài)方程代入上式，可得,或,上式由狀態(tài)方程（p=1000hpa,T=θ)積分到任一狀態(tài)（p，T），可求得絕熱運動中P與T的關系式為,其中，θ是大氣絕熱運動到氣壓為1000hPa高度上的溫度，稱為位置溫度或位溫,60,對其取對數(shù)微分得：,變?yōu)椋?則,考慮到絕熱大氣中,這表明，在絕熱運動中，大氣的位溫是守恒不變的。,61,c）大氣熱流量方程的第三種形式,合并,可得到,和,3*表明：在絕熱運動中，熵也是守恒不變，即ds=0。因此，大氣的絕熱運動，又可稱為等熵運動。,其中已定義 ，此處S稱為大氣的熵 。這也是大氣熱流量方程的一種形式,或,3*,62,d）大氣熱流量方程的第四種形式,如果 中的ds仍用 代入，并且將 按 照等壓面坐標展開（后面講）， 其可寫成,3*,式中， ，是靜力穩(wěn)定度參數(shù)，,，是p坐標中的垂直速度,63,e）大氣熱流量方程的第五種形式,5*,式中， 為靜力穩(wěn)定度有關的一 個參量,在p坐標中的可展開成,64,f）大氣熱流量方程的第六種形式,可得,其中 稱為位勢 ， 為比容,利用靜力方程，即 或,代入,其中 仍是與靜力穩(wěn)定度有關的另一個參量,65,以上推導出大氣熱流量方程的六種常用形式，實際上在大氣動力學方程組中，熱流量方程還可用其他一些形式，此處就不一一列舉了。,66,三、閉合方程組、初始條件和邊界條件,（1）大氣閉合方程組,綜上所述：我們可以得到下面的方程組：,,其中，q是比濕，S是水汽源匯，以上7個方程，7個變量（u,v,w,p,ρ,T,q),方程組閉合。,67,說明：熱流量方程中 單位質量空氣在單位時間內所得到的熱量，也稱為非絕熱加熱：,主要形式：,1）在輻射方面：大氣中含有水汽、二氧化碳與臭氧等對于太陽短波的吸收；其次還包括海陸地表對于太陽太陽短波輻射的吸收、同時，大氣和海陸地表放出的長波輻射,2）在傳導和對流方面：由于分子的熱傳導和對流擴散引起的熱量交換,68,假如空氣為絕熱變化（短期天氣演變可以考慮為絕熱變化），即： =0,由于大氣運動的復雜性，必須采取合理的簡化和假定，才能構成適用于所研究問題的、能夠求解閉合的方程組，才能得到合適的解答，這些問題將在以后有關的章節(jié)中講述。,69,（2）初始條件,可見，天氣預報是個初值問題。,70,（2）邊界條件,a）下邊界條件可分不同的情況來取，對氣壓有：,若考慮空氣黏性，則為：,若不考慮空氣黏性，但為平坦地面，則為：,若考慮空氣黏性，但為平坦地面，則為：,71,若考慮空氣黏性，但有地形時（地形函數(shù)：,）可取為：,它表示空氣沿地形運動，下界面的垂直運動系地形強迫所致。這里（us，vs）為下邊界的風速。,72,b）上邊界條件 是指上邊界（在z趨于無窮大時的條件），對氣壓p而言，它隨高度z的增加呈指數(shù)減小，因而有：,：,73,c）內邊界條件 大氣中經常存在著分界面，如不連續(xù)面或某些物理量劇烈變化的過渡區(qū)域，如鋒面，切變線、對流層頂和逆溫層等，此時常常需要列入內邊界條件：,（法向速度）和,：,（即為流體內部邊界的連續(xù)性條件）,