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2019-2020年高三4月模擬考試 數(shù)學(xué)理 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1．設(shè)全集U＝R，集合，則圖中陰影部分所表示的集合為 (A)或 (B)或 (C) (D) 2．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則 (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 3．已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)（其中）為純虛數(shù)，則 (A) (B) (C) (D) 4．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖相同，其上部分是半圓，下部分是邊長(zhǎng)為2的正方形；俯視圖是邊長(zhǎng)為2的正方形及其外接圓．則該幾何體的體積為 (A) (B) (C) (D) 5．雙曲線E：(，)的一個(gè)焦點(diǎn)F到E的漸近線的距離為，則E的離心率是 (A) (B) (C) 2 (D) 3 6．將編號(hào)為1，2，3，4，5，6的六個(gè)小球放入編號(hào)為1，2，3，4，5，6的六個(gè)盒子，每個(gè)盒子放一個(gè)小球，若有且只有三個(gè)盒子的編號(hào)與放入的小球編號(hào)相同，則不同的放法總數(shù)是 (A) 40 (B) 60 (C) 80 (D) 100 7．已知MOD函數(shù)是一個(gè)求余函數(shù)，記表示m除以n的余數(shù)，例如．右圖是某個(gè)算法的程序框圖，若輸入m的值為48時(shí)，則輸出的值為 (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 10 8．已知函數(shù)，其中．若對(duì)恒成立，則的最小值為 (A) 2 (B) 4 (C) 10 (D) 16 9．已知，，下列不等式成立的是 (A) (B) (C) (D) 10．正方形ABCD與等邊三角形BCE有公共邊BC，若∠ABE＝120，則BE與平面ABCD所成角的大小為 (A) (B) (C) (D) 11．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作互相垂直的弦AC，BD，則點(diǎn)A，B，C，D所構(gòu)成四邊形的面積的最小值為 (A) 16 (B) 32 (C) 48 (D) 64 12．如圖，在直角梯形中，，∥，，，圖中圓弧所在圓的圓心為點(diǎn)C，半徑為，且點(diǎn)P在圖中陰影部分（包括邊界）運(yùn)動(dòng)．若，其中，則的取值范圍是 (A) (B) (C) (D) 本卷包括必考題和選考題兩部分。第13題~第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做答。第22題、第23題為選考題，考生根據(jù)要求做答。 注意事項(xiàng)： 必須使用0.5毫米黑色墨跡簽字筆在答題卡上題目指示的答題區(qū)域內(nèi)作答。作圖時(shí)可先用鉛筆繪出，確認(rèn)后再用0.5毫米黑色墨跡簽字筆描清楚。答在試題卷、草稿紙上無(wú)效。 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。 13．二項(xiàng)式的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是_____． 14．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2，σ)，且P(0≤X≤2)＝0.3，則P(X＞4)＝_____． 15．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問(wèn)題：“今有蒲（水生植物名）生一日，長(zhǎng)三尺；莞（植物名，俗稱水蔥、席子草）生一日，長(zhǎng)一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．問(wèn)幾何日而長(zhǎng)等？”意思是：今有蒲生長(zhǎng)1日，長(zhǎng)為3尺；莞生長(zhǎng)1日，長(zhǎng)為1尺．蒲的生長(zhǎng)逐日減半，莞的生長(zhǎng)逐日增加1倍．若蒲、莞長(zhǎng)度相等，則所需的時(shí)間約為_____日． （結(jié)果保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，） 16．已知函數(shù)（k是常數(shù)，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e＝2.71828…）在區(qū)間內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________． 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。 17.（本小題滿分12分） 在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知. (Ⅰ) 求角的大??； (Ⅱ) 若，求a的取值范圍． 18.（本小題滿分12分） 共享單車是指由企業(yè)在校園、公交站點(diǎn)、商業(yè)區(qū)、公共服務(wù)區(qū)等場(chǎng)所提供的自行車單車共享服務(wù)，由于其依托“互聯(lián)網(wǎng)＋”，符合“低碳出行”的理念，已越來(lái)越多地引起了人們的關(guān)注．某部門為了對(duì)該城市共享單車加強(qiáng)監(jiān)管，隨機(jī)選取了100人就該城市共享單車的推行情況進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，并將問(wèn)卷中的這100人根據(jù)其滿意度評(píng)分值（百分制）按照[50，60)，[60，70)，…，[90，100] 分成5組，制成如圖所示頻率分直方圖． (Ⅰ) 求圖中的值； (Ⅱ) 已知滿意度評(píng)分值在[90，100]內(nèi)的男生數(shù)與女生數(shù)的比為2:1，若在滿意度評(píng)分值為[90，100]的人中隨機(jī)抽取4人進(jìn)行座談，設(shè)其中的女生人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．21:12 19.（本小題滿分12分） 如圖，在三棱柱中，底面△ABC是等邊三角形，側(cè)面為正方形，且平面ABC，為線段上的一點(diǎn)． (Ⅰ) 若∥平面A1CD，確定D的位置，并說(shuō)明理由； (Ⅱ) 在(Ⅰ)的條件下，求二面角的余弦值． 20.（本小題滿分12分） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓W：的離心率為，直線l：y＝2上的點(diǎn)和橢圓W上的點(diǎn)的距離的最小值為1． (Ⅰ) 求橢圓W的方程； (Ⅱ) 已知橢圓W的上頂點(diǎn)為A，點(diǎn)B，C是W上的不同于A的兩點(diǎn)，且點(diǎn)B，C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線AB，AC分別交直線l于點(diǎn)E，F(xiàn)．記直線與的斜率分別為，． ① 求證：為定值； ② 求△CEF的面積的最小值. 21.（本小題滿分12分） 已知函數(shù)，其中. (Ⅰ) 當(dāng)a＝－1時(shí)，求證：； (Ⅱ) 對(duì)任意，存在，使成立，求a的取值范圍.（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e＝2.71828…） 請(qǐng)考生在22，23題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，做答時(shí)，請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡上將所選題目題號(hào)的方框涂黑。 22． (本小題滿分10分) 選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 已知在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程是． (Ⅰ) 求曲線與交點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)； (Ⅱ) 點(diǎn)分別在曲線，上，當(dāng)最大時(shí)，求的面積(為坐標(biāo)原點(diǎn))． 23．(本小題滿分10分) 選修4－5：不等式選講 已知函數(shù)． (Ⅰ) 解不等式； (Ⅱ) 若，，求證：． 資陽(yáng)市高中xx級(jí)高考模擬考試 數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分意見（理工類） 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。 1.D 2.A 3.B 4.C 5.C 6.A 7.C 8.B 9.D 10.C 11.B 12.B 二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分。 13. 28；14. 0.2；15.2.6；16. ． 三、解答題：本大題共70分。 17.（本小題滿分12分） （Ⅰ）由已知得， 2分 化簡(jiǎn)得， 整理得，即， 4分 由于，則， 所以． 6分 （Ⅱ）根據(jù)余弦定理，得 8分 ． 10分 又由，知，可得， 所以的取值范圍是． 12分 18.（本小題滿分12分） （Ⅰ）由，解得． 4分 （Ⅱ）滿意度評(píng)分值在[90，100]內(nèi)有人， 其中男生6人，女生3人． 5分 則X的值可以為0，1，2，3． ，， ，． 9分 則X分布列如下： X 0 1 2 3 P 10分 所以X的期望． 12分 19.（本小題滿分12分） （Ⅰ）D為的中點(diǎn)，理由如下： 連接AC1，交A1C于點(diǎn)E，可知E為AC1的中點(diǎn)，連接DE， 因?yàn)椤纹矫鍭1CD， 平面ABC1∩平面A1CD＝DE， 所以∥DE， 故為的中點(diǎn)． 4分 （Ⅱ）不妨設(shè)＝2，分別取BC，B1C1的中點(diǎn)O，O1，連接AO，OO1，可知OB，OO1， OA兩兩互相垂直，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O-xyz． 知， 則，， 設(shè)面A1CD的法向量， 由得 令，得A1CD的一個(gè)法向量為， 又平面BCC1的一個(gè)法向量， 設(shè)二面角的平面角為α， 則． 即該二面角的余弦值為． 12分 20.（本小題滿分12分） （Ⅰ）由題知，由， 所以． 故橢圓的方程為． 3分 （Ⅱ）① 證法一：設(shè)，則， 因?yàn)辄c(diǎn)B，C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則， 所以． 6分 證法二：直線AC的方程為， 由得， 解得，同理， 因?yàn)锽，O，C三點(diǎn)共線，則由， 整理得， 所以． 6分 ②直線AC的方程為，直線AB的方程為，不妨設(shè)，則， 令y＝2，得， 而， 所以，△CEF的面積 ． 8分 由得， 則，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號(hào)， 所以△CEF的面積的最小值為． 12分 21.（本小題滿分12分） （Ⅰ）當(dāng) a＝－1時(shí)，（x＞－1）， 則，令，得． 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減． 故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，也為最大值，所以， 所以，，得證． 4分 （Ⅱ）不等式， 即為． 而 ． 令．故對(duì)任意，存在，使恒成立， 所以． 6分 設(shè)，則， 設(shè)，知對(duì)于恒成立， 則為上的增函數(shù)，于是， 即對(duì)于恒成立，所以為上的增函數(shù)． 所以． 8分 設(shè)，即， 當(dāng)a≥0時(shí)，為上的減函數(shù)，且其值域?yàn)镽，可知符合題意． 當(dāng)a＜0時(shí)，，由可得， 由得，則p(x)在上為增函數(shù)；由得，則p(x)在上為減函數(shù)，所以． 從而由，解得． 綜上所述，a的取值范圍是. 12分 23． (本小題滿分10分) 選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 (Ⅰ)由得 則曲線的普通方程為. 又由，得，得. 把兩式作差得，，代入， 可得交點(diǎn)坐標(biāo)為為. 5分 (Ⅱ) 由平面幾何知識(shí)可知， 當(dāng)依次排列且共線時(shí)，最大，此時(shí)， 直線的方程為，則到的距離為， 所以的面積為. 10分 23．(本小題滿分10分) 選修4－5：不等式選講 （Ⅰ）原不等式即為． 當(dāng)時(shí)，則，解得； 當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)不成立； 當(dāng)時(shí)，則，解得． 所以原不等式的解集為或． 5分 （Ⅱ）要證，即，只需證明． 則有 ． 因?yàn)?，，則， 所以，原不等式得證． 10分