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2019-2020年高一數(shù)學(xué) 4.3任意角的三角函數(shù)（第三課時） 大綱人教版必修 ●教學(xué)目標(biāo) (一)知識目標(biāo) 1.單位圓的概念; 2.有向線段的概念; 3.正弦線、余弦線、正切線. (二)能力目標(biāo) 1.理解并掌握單位圓、有向線段的概念; 2.正確利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角α的正弦、余弦、正切函數(shù)值表示出來，即用正弦線、余弦線、正切線表示出來. (三)德育目標(biāo) 通過三角函數(shù)的幾何表示，使學(xué)生進(jìn)一步加深對數(shù)形結(jié)合思想的理解，拓展思維空間. ●教學(xué)重點(diǎn) 正弦、余弦、正切函數(shù)值的幾何表示. ●教學(xué)難點(diǎn) 正弦、余弦、正切函數(shù)值的幾何表示. ●教學(xué)方法 講授法 講清楚單位圓的概念，有向線段的概念，本節(jié)內(nèi)容中的有向線段與坐標(biāo)軸是平行的，使學(xué)生弄清楚線段的正負(fù)與坐標(biāo)軸正反方向之間的對應(yīng)，以及線段的數(shù)量與三角函數(shù)值之間的對應(yīng).對于理解正弦線、余弦線、正切線是突破難點(diǎn)的關(guān)鍵所在. ●教具準(zhǔn)備 幻燈片一張：本節(jié)課教案后面的預(yù)習(xí)提綱. 多媒體課件：課本P14圖4－12，在平面直角坐標(biāo)系中，作出單位圓，角α的終邊，標(biāo)出單位圓與角α的終邊的交點(diǎn)P(x，y），過P向x軸作垂線，垂足為M，過點(diǎn)A（1，0）作單位圓的切線與角α的終邊或終邊的反向延長線交于點(diǎn)T(利用現(xiàn)代教育技術(shù)手段的優(yōu)勢，邊講述邊作圖，使學(xué)生看得清楚，聽得明白). ●教學(xué)過程 Ⅰ.課題導(dǎo)入 ［師］上節(jié)課，我們研究了三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號，學(xué)習(xí)了將任意角的三角函數(shù)化成0到360角的三角函數(shù)的一組公式，前面還分析討論了三角函數(shù)的定義域，這些內(nèi)容的研究，都是建立在任意角的三角函數(shù)定義之上的，這些知識在以后我們繼續(xù)學(xué)習(xí)“三角”內(nèi)容時，是經(jīng)常、反復(fù)運(yùn)用的，請同學(xué)們務(wù)必在理解的基礎(chǔ)上要加強(qiáng)記憶.由三角函數(shù)的定義我們知道，對于角α的各種三角函數(shù)我們都是用比值來表示的，或者說是用數(shù)來表示的，今天我們再來學(xué)習(xí)正弦、余弦、正切函數(shù)的另一種表示方法——幾何表示法(板書課題) Ⅱ.講授新課 ［師］為了幾何表示的需要，我們先來看單位圓的概念：以原點(diǎn)為圓心，單位長為半徑的圓稱為單位圓.(板書)單位長——如1 cm、1 dm、1m、1 km等等，都是1個單位長，它們的單位雖不同，但長度都是1個單位長.即單位圓的半徑是1(個單位長). （使用多媒體課件，教師邊敘述邊作圖). 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，作單位圓，設(shè)任意角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交于點(diǎn)P(x，y），x軸的正半軸與單位圓相交于A（1，0），過P作x軸的垂線，垂足為M；過A作單位圓的切線，這條切線必平行于y軸(垂直于同一條直線的兩直線平行)，設(shè)它與角α的終邊或其反向延長線交于點(diǎn)T. 顯然，線段OM的長度為｜x｜，線段MP的長度為｜y｜，它們都只能取非負(fù)值. 當(dāng)角α的終邊不在坐標(biāo)軸上時，我們可以把OM、MP都看作帶有方向的線段： 如果x＞0，OM與x軸同向(利用多媒體課件的優(yōu)勢，將①圖、④圖中的OM從O到M運(yùn)動，讓學(xué)生看清楚后再“定格”，運(yùn)動的方向說明與x軸同向)，規(guī)定此時OM具有正值x；如果x＜0，OM與x軸正向相反(即反向)，(將課件上②圖、③圖中的OM從O到M運(yùn)動，讓學(xué)生看清楚后再“定格”，運(yùn)動的方向說明與x軸反向)，規(guī)定此時OM具有負(fù)值x，所以不論哪一種情況，都有OM＝x. 如果y＞0，把MP看作與y軸同向，規(guī)定此時MP具有正值y；如果y＜0，把MP看作與y軸反向，規(guī)定此時MP具有負(fù)值y，所以不論哪一種情況，都有MP＝y(tǒng)(與前面所述相同，談到MP與y軸同向或反向時，仍作從M到P的演示，讓學(xué)生觀察)，由上面所述，OM、MP都是帶有方向的線段，這種被看作帶有方向的線段叫做有向線段(板書). 于是，根據(jù)正弦、余弦函數(shù)的定義，就有 sinα＝＝y(tǒng)＝MP cosα＝＝x＝OM 這兩條與單位圓有關(guān)的有向線段MP、OM分別叫做角α的正弦線、余弦線(板書). 類似地，我們把OA、AT也看作有向線段，那么根據(jù)正切函數(shù)的定義和相似三角形的 知識，就有tanα＝＝AT 這條與單位圓有關(guān)的有向線段AT，叫做角α的正切線(板書). 注意：(1)當(dāng)角α的終邊在y軸上時，余弦線變成一個點(diǎn)，正切線不存在. (2)當(dāng)角α的終邊在x軸上時，正弦線、正切線都變成點(diǎn). (3)正弦線、余弦線、正切線都是與單位圓有關(guān)的有向線段，所以作某角的三角函數(shù)線時，一定要先作單位圓. (4)線段有兩個端點(diǎn)，在用字母表示正弦線、余弦線、正切線時，要先寫起點(diǎn)字母，再寫終點(diǎn)字母，不能顛倒；或者說，含原點(diǎn)的線段，以原點(diǎn)為起點(diǎn)，不含原點(diǎn)的線段，以此線段與x軸的公共點(diǎn)為起點(diǎn). (5)三種有向線段的正負(fù)與坐標(biāo)軸正反方向一致，三種有向線段的數(shù)量與三種三角函數(shù)值相同. 正弦線、余弦線、正切線統(tǒng)稱為三角函數(shù)線. Ⅲ.課堂練習(xí) 課本P15練習(xí)1、2. Ⅳ.課時小結(jié) 本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了單位圓的概念，有向線段的定義，正弦線、余弦線、正切線的定義，這三種三角函數(shù)線都是一些特殊的有向線段，其之所以特殊，一是其與坐標(biāo)軸平行(或重合)，二是其與單位圓有關(guān)，這些線段分別都可以表示相應(yīng)三角函數(shù)的值，所以說它們是三角函數(shù)的一種幾何表示. Ⅴ.課后作業(yè) （一）課本P20習(xí)題4.3 1、2. （二）1.預(yù)習(xí)內(nèi)容 課本P24同角三角函數(shù)的關(guān)系至例3結(jié)束. 2.預(yù)習(xí)提綱(打出幻燈片) (1)同角三角函數(shù)關(guān)系式是怎樣得到的? (2)它們的成立有條件嗎?若有，是什么? (3)怎樣記憶同角三角函數(shù)的基本關(guān)系. (4)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系有哪幾個方面的應(yīng)用. (5)例1、例2是同一類型嗎?這兩例有區(qū)別嗎?區(qū)別在哪里? ●板書設(shè)計(jì) 4.3.3 三角函數(shù)的一種幾何表示 課題：…… 練習(xí) 單位圓的定義. 有向線段的定義. 正弦線、余弦線、正切線的定義. 注意：①… ②… ③… ④… ⑤… 小結(jié)