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2019-2020年高一數(shù)學(xué)圓的一般方程 新課標 人教版2 學(xué)習目標 主要概念： 圓的一般方程――()。 軌跡方程-----是指點動點M的坐標滿足的關(guān)系式。 教材分析 　　一、重點難點 本節(jié)教學(xué)重點是掌握圓的一般方程，以及用待定系數(shù)法求圓的一般方程，難點是二元二次方程與圓的一般方程的關(guān)系及求動點的軌跡方程。 　　二、教材解讀 　　本節(jié)教材的理論知識有問題提出、探索研究、思考交流三個板塊組成。編寫形式上采用了特殊到一般，由具體到抽象的認知方式。 第一板塊 問題提出 解讀 方程表示什么圖形？方程表示什么圖形？ 對給出的方程通過配方，化成圓的標準方程的形式，第一個方程為，它表示以(1，-2)為圓心，2為半徑的圓；第二個方程為，由于不存在點的坐標滿足這個方程，所以它不表示任何圖形。 第二板塊 探索研究 解讀 方程在什么條件下表示圓？ 配方得。(1)當時，方程表示以為圓心，為半徑的圓； (2)當時，方程表示一個點 ； (3) 當時，方程不表示任何圖 形。 關(guān)于的二元二次方程 成為圓方程的充要條件是(1)和的系數(shù)相同且不等于0，即A=C0；(2)沒有這樣的二次項，即B=0；(3) 。 　　　對于圓的一般方程，要熟練地通過配方法，求出圓的圓心坐標和半徑。 　　　根據(jù)已知條件求圓的方程，仍然采用待定系數(shù)法，但要注意的是待定的方程是設(shè)標準方程還是設(shè)一般方程，這要根據(jù)已知條件而定。 第三板塊 思考交流 解讀 1、圓的標準方程和圓的一般方程各有什么特點？ 2、課本P.129例4解完后，問：與例2的方法比較，你有什么體會？ 1、圓的標準方程指出了圓心坐標與半徑大小，幾何特征明顯；圓的一般方程表明圓的方程是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯。圓的一般方程與圓的標準方程可以相互轉(zhuǎn)化。 2、讓學(xué)生通過對同一個類似問題的兩種解法的比較，一方面加深對解題方法的理解；另一方面促使學(xué)生養(yǎng)成解題后反思的良好習慣． 拓展閱讀 O P x y 設(shè)圓O的圓心在原點，半徑是，圓O與軸的正半軸的交點是(如圖)。設(shè)點在圓O上從開始按逆時針方向運動到達點P，。我們看到，點P的位置與旋轉(zhuǎn)角有密切的關(guān)系。當確定時，點P在圓O上的位置也隨著確定；當變化時，點P在圓O上的位置也隨著變化。如果點P的坐標是，根據(jù)三角函數(shù)的定義，點P的橫坐標、縱坐標都是的函數(shù)，即 ， ① 并且對于的每一個允許值，由方程組①所確定的點P都在圓O上。 我們把方程組①叫做圓心為原點、半徑為的圓的參數(shù)方程，是參數(shù)。 圓心為、半徑為的圓可以看成由圓心為原點O、半徑為的圓按向量平移得到的。 容易求得此圓的參數(shù)方程為 ，(為參數(shù)) ② 相對于圓的參數(shù)方程來說，前面學(xué)過的直接給出圓上點的坐標關(guān)系的方程，叫做圓的普通方程。 在圓的有些問題中，借助于圓的參數(shù)方程，能夠使問題變得容易解決。例如：已知實數(shù)滿足等式，求的最值。 解：設(shè)，則 = ，∴，∴ ∴的最大值為，最小值為。 網(wǎng)站點擊 典型例題解析 例1：已知方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一個圓，求k的取值范圍。 點撥由二元二次方程成為圓方程的條件，得到關(guān)于k的不等式。 解答方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一個圓， 　　∴，解得 　　∴當時，方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一個圓。 總結(jié)在圓的一般方程中，系數(shù)D、E、F必須滿足。 變式題演練 若（2m2+m-1）x2+(m2-m+2)y2+m+2=0的圖形表示一個圓，則m的值是＿＿＿。 　　　答案：－3 例2：求經(jīng)過三點A（1，－1）、B（1,4）、C（4，－2）的圓的方程。 點撥利用圓的一般方程，尋找關(guān)于D、E、F的方程組。 解答設(shè)所求圓的方程為， 　　A（1，－1）、B（1,4）、C（4，－2）三點在圓上，代入圓的方程并化簡，得 　　，解得D＝－7，E＝－3，F(xiàn)＝2 　　∴所求圓的方程為。 總結(jié)待定系數(shù)法是求圓的方程最常見的方法，但是在求圓的方程時是設(shè)標準方程還是設(shè)一般方程，要由已知條件確定。一般地，如果由已知條件易求得圓心坐標、半徑或需要利用圓心坐標或半徑列方程，常選用標準方程；如果已知條件與圓心坐標、半徑無直接關(guān)系，常選用一般方程。 變式題演練 已知ABC的頂點坐標分別是A(1,1)、B(3,1)、C(3,3)，求ABC外接圓的方程。 答案：容易發(fā)現(xiàn)ABC 是以AC為斜邊的直角三角形，故ABC外接圓應(yīng)是以AC為直徑的圓，∴ABC外接圓的方程為=0，即。 例3：若實數(shù)滿足，則的最大值是__________。 點撥因為的幾何意義是表示原點到點P(x, y)的距離的平方，而點P(x, y)在圓上，故可利用幾何法先求出原點到圓上的點之間的最大距離，然后再求出的最大值。 解答由，得 　　∴點P(x, y)在以（－2,1）為圓心，半徑r=3的圓C上， 　　， 　　∴原點到圓上的點P(x, y)之間的最大距離為｜OC｜＋r＝＋3 　　∴的最大值為。 總結(jié)反思本題的求解過程可看出：不管點P與圓C的位置關(guān)系怎樣，點P到半徑為r的圓C上的點之間的最大距離恒為｜PC｜＋r。同理可得，點P到半徑為r的圓C上的點之間的最小距離恒為|｜PC｜－r|。 變式題演練 已知點和圓，一束光線從點經(jīng)過軸反射到圓周的最短路程是 （ ） A、 B、 C、 D、 答案：D 例4：已知一曲線是與兩個定點O（0,0）、A（，0）（）距離的比為（）的點的軌跡，求此曲線的方程，并判斷曲線的形狀。 點撥利用曲線上的任一點到兩個定點的距離之比為，尋找動點橫坐標、縱坐標滿足的條件。 解答設(shè)M是曲線上的任意一點，點M到點O、A的距離之比為， 　　∴，化簡，得　 　　 　　且＞0，∴ 　　∴ 　　 　　∴所求曲線的方程是，它表示一個圓。 總結(jié)1、由本例可知，圓除了看作是平面內(nèi)動點到定點的距離等于定長的點的軌跡外，還可以看作是動點到兩個定點的距離的比為常數(shù)（常數(shù)不為1）的動點的軌跡。 　　2、“軌跡”與“軌跡方程”是不同的兩個概念，前者是圖形，要指出形狀、位置、大?。ǚ秶┑忍匦?；后者是方程（等式），不僅要給出方程，還要指出變量的取值范圍。 3、在探求點的軌跡時，可先用信息技術(shù)工具探究軌跡的形狀，對問題有一個直觀的了解，然后再從本質(zhì)上分析軌跡形成的原因，找出解決問題的方法，制訂合理的解題策略。 變式題演練 　　　過圓外一點Q向圓O：作割線，交圓于A、B兩點，求弦AB中點M的軌跡。 　　　答案：設(shè)M（x，y），連OM，則OMAB，∴點M的軌跡為以O(shè)Q為直徑的圓，∴弦AB中點M的軌跡方程是=0，即（），∴弦AB中點M的軌跡是圓?。ǎ?。 知識結(jié)構(gòu) 知識點圖表 圓的一般方程二元二次方程成為圓方程的條件圓的標準方程和一般方程的特點 學(xué)法指導(dǎo) 1、用待定系數(shù)法求圓方程的大致步驟是：(1)根據(jù)題意，選擇標準方程或一般方程； (2)根據(jù)條件列出關(guān)于或D、E、F的方程組；(3)解出或D、E、F，代入標準方程或一般方程。 2、“曲線”和“方程”是動點運動規(guī)律在“形”和“數(shù)”方面的反映。在解析幾何的問題中，求動點的軌跡方程是一種常見題型。求動點的軌跡方程的常用方法有： （1）直接法：應(yīng)用解析幾何中公式，根據(jù)已知條件直接列出動點M的兩個坐標之間的等量關(guān)系，從而求得動點的軌跡方程（如例3）。 （2）代入法：已知點P在已知曲線上運動，動點M隨著點P的變化而變化，而點P的坐標又可設(shè)法用動點M的坐標表示，那么為了要得到動點M的軌跡方程，只需把用M的坐標所表示的P點的坐標代入已知的曲線方程中，即可求出動點M的軌跡方程（如課本P.129例5）。 （3）定義法：先根據(jù)已知條件判斷動點的軌跡所表示的曲線的類型，再利用已知曲線的方程求出所求動點的軌跡方程。如變式題演練3，因M為圓O的弦AB的中點，故OMAB，因此點M的軌跡是以O(shè)Q為直徑的圓。 （4）參數(shù)法：當動點M的兩個坐標之間的等量關(guān)系不易直接得到時，可先引進一個中間變量（參數(shù)）分別表示動點M的橫坐標、縱坐標，間接地把動點M的兩個坐標聯(lián)系起來，然后消去參數(shù)，求得動點M的軌跡方程。例如：過定點P引動直線分別交于A、B兩點，求線段AB中點M的軌跡方程。此題中的動點M是隨著的變化而變化，而又過定點P，故的變化實質(zhì)是由斜率的變化而引起的，所以可引進斜率作為參數(shù)，用表示出A、B的坐標，由此用表示出M的坐標，消去參數(shù)即可得動點M的軌跡方程。答案：。 求動點的軌跡方程時，要做到滿足曲線方程的兩個要求，防止遺留和多余。