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第二節(jié) 與圓有關的位置關系,考點 與切線有關的證明與計算 百變例題5 如圖，△ABC內接于⊙O，∠CBG＝∠A，CD為直 徑，OC與AB相交于點E，過點E作EF⊥BC，垂足為F，延長CD 交GB的延長線于點P，連接BD.,(1)求證：PG與⊙O相切； (2)若 ＝ ，求 的值； (3)在(2)的條件下，若⊙O的半徑為8，PD＝OD，求OE的長.,【分析】 (1)要證PG與⊙O相切只需證明∠OBG＝90，由∠A與∠BDC是同弧所對的圓周角，∠BDC＝∠DBO可得∠CBG＝∠DBO，結合∠DBO＋∠OBC＝90即可得證；,(2)求 需將BE與OC或與OC相等的線段放入兩三角形中，通 過相似求解可得，作OM⊥AC，連接OA，證△BEF∽△OAM得 ＝ ，由AM＝ AC，OA＝OC，結合 ＝ 即可得；(3) 根據PD＝OD，OD＝OB，可知△OBD是等邊三角形，在Rt△DBC 中求得BC長，∠OCB＝30，在Rt△EFC中設EF＝x，則EC＝ 2x，FC＝ x，BF長可用x表示，繼而在Rt△BEF中利用勾股 定理求出x的值，從而得出答案.,【自主解答】 (1)證明：如解圖，連接OB，則OB＝OD， ∴∠BDC＝∠DBO， ∵∠BAC＝∠BDC，∠BAC＝∠GBC， ∴∠GBC＝∠BDC， ∵CD是⊙O的直徑，∴∠DBO＋∠OBC＝90， ∴∠GBC＋∠OBC＝90，∴∠GBO＝90， ∵OB是⊙O的半徑，∴PG與⊙相切.,(2)解：如解圖，過點O作OM⊥AC于點M，連接OA，,變式一： 若CD＝6，∠PCB＝30. (1)求證：△PBD∽△PCB； (2)點Q在半圓DAC上運動，填空： ①當DQ＝_______時，四邊形DQCB的面積最大； ②當DQ＝_______時，△DBC與△DQC全等.,(1)證明：如解圖①，連接OB. ∵PB是⊙O的切線，OB是半徑， ∴OB⊥PB，即∠PBO＝90， ∴∠PBD＋∠DBO＝90. ∵CD是直徑，∴∠DBC＝90， ∴∠BCD＋∠BDC＝90.,變式一解圖①,∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠BDC， ∴∠BCD＋∠DBO＝90， ∴∠PBD＝∠BCD. 又∵∠P＝∠P，∴△PBD∽△PCB. (2)解：①3 .,【解法提示】當點Q運動到OQ⊥CD時，四邊形BDQC的面積 最大. 如解圖②，連接DQ，CQ.,變式一解圖②,∵OD＝OC，OQ⊥CD， ∴DQ＝CQ. ∵CD是直徑，∴∠DQC＝90， ∴△DQC是等腰直角三角形， ∴DQ＝ CD＝3 . ②3或3 .,【解法提示】∵∠DBC＝90，∠BCD＝30， ∴BD＝ CD＝3，BC＝ BD＝3 . 分兩種情況： 當DQ＝DB＝3時， 在Rt△DBC和Rt△DQC中， ∴△DBC≌△DQC(HL).,當DQ＝CB＝3 時，同理△DBC≌△CQD. 綜上所述，當DQ＝3或3 時，△DBC與△DQC全等.,變式二： 若BD＝ BC，PC＝3，求PB的長.,1．(2018福建A卷)如圖，AB是⊙O的直徑，BC與⊙O相切于 點B，AC交⊙O于點D，若∠ACB＝50，則∠BOD等于( ) A．40 B．50 C．60 D．80,D,2．(2017河南)如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑 的⊙O交AC邊于點D，過點C作CF∥AB，與過點B的切線交于 點F，連接BD. (1)求證：BD＝BF； (2)若AB＝10，CD＝4，求BC的長.,(1)證明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB. ∵AB∥CF，∴∠ABC＝∠BCF， ∴∠ACB＝∠BCF. ∵AB為⊙O的直徑， ∴∠ADB＝∠BDC＝90.,∵AB∥CF，∴∠F＝90， 在△BDC和△BFC中， ∴△BDC≌△BFC， ∴BD＝BF.,(2)解：∵AC＝AB＝10，CD＝4， ∴AD＝6，∴BD＝8， ∴BC＝ ＝4 .,