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2019-2020年高中數(shù)學 1.1 空間幾何體 1.1.1 構(gòu)成空間幾何體的基本元素課堂探究 新人教B版必修2 探究一 平面的概念及表示 1．在立體幾何中，平面是無限延展的，是理想的、絕對平直的． 2．平面是抽象出來的，沒有厚度、沒有大小，因此無法度量．平面幾何中的平面圖形，如三角形、四邊形等都是有大小的，可以度量的，它們本身不是平面． 3．任何一個平面都可以將空間分為兩部分，如果想從平面的一側(cè)到另一側(cè)，必須穿過這個平面． 【典型例題1】 判斷下列說法是否正確，并說明理由． (1)平面的形狀是平行四邊形； (2)任何一個平面圖形都是一個平面； (3)圓和平面多邊形都可以表示平面； (4)若′，則平面ABCD大于平面A′B′C′D′． 解：(1)不正確．我們常用平行四邊形表示平面，但不能說平面的形狀是平行四邊形，平面是無形狀可言的． (2)不正確．平面和平面圖形是兩個完全不同的概念，平面圖形是有大小的，它是不可能無限延展的． (3)正確．通常情況下我們利用平行四邊形來表示平面，但有時根據(jù)需要也可以用圓或其他平面多邊形來表示平面． (4)不正確．因為平面無大小、面積可言． 探究二 構(gòu)成幾何體的基本元素 空間中的幾何體，一方面可以看作是由若干個面(平面的一部分或曲面的一部分)圍成的，另一方面也可以用運動的觀點來看待，即我們常說的“點動成線、線動成面、面動成體”． 【典型例題2】 (1)下列結(jié)論中正確的是(　　) A．直線平行運動的軌跡一定是平面 B．曲線運動的軌跡一定是曲面 C．平面圖形運動的軌跡一定是幾何體 D．點運動的軌跡一定是線 (2)如圖所示，長方體ABCDA1B1C1D1中，下列說法正確的有__________．(填序號) ①長方體的頂點一共有8個； ②線段AA1所在的直線是長方體的一條棱； ③矩形ABCD所在的平面是長方體的一個面； ④長方體由六個平面圍成． 解析：(1)直線平行移動可形成曲面，如圖①，故A錯；曲線運動可以形成平面，如圖②，故B錯；平面圖形運動后的軌跡可能是一個面，不一定是幾何體，故C錯；點運動的軌跡一定是線，故D對． (2)①長方體一共有8個頂點； ②長方體的一條棱為線段AA1； ③矩形ABCD為長方體的一個面； ④長方體由六個矩形(包括它的)內(nèi)部圍成． 答案：(1)D　(2)① 探究三 幾何體中基本元素的位置關(guān)系 以長方體為例， 1．平行關(guān)系． (1)直線與直線的平行關(guān)系： 如圖，在長方體的12條棱中，分成“長”“寬”“高”三組，其中“高”AA1，BB1，CC1，DD1相互平行；“長”AB，DC，A1B1，D1C1相互平行；“寬”AD，BC，A1D1，B1C1相互平行． (2)直線與平面的平行關(guān)系： 在長方體的12條棱及表面中，若棱所在的直線與某一平面(棱不在該平面內(nèi))不相交，就平行． (3)平面與平面的平行關(guān)系：長方體的對面相互平行． 2．垂直關(guān)系． (1)直線與平面的垂直關(guān)系： 在長方體的棱所在直線與各表面中，若直線與平面有且只有一個公共點，則二者垂直． (2)平面與平面的垂直關(guān)系： 在長方體的各表面中，若兩平面有公共點，則二者垂直． 【典型例題3】 (1)在長方體ABCDA1B1C1D1中，與棱A1A既不平行也不相交的棱有(　　)　　　 　　　　　　 　　　　　　 　　　 A．1條 B．2條 C．3條 D．4條 (2)如圖所示的長方體ABCDA1B1C1D1，在長方體的面與棱中， ①與棱BC平行的棱是哪幾條？ ②與棱BC平行的平面是哪幾個？ ③與棱BC垂直的平面是哪幾個？ ④與平面BC1垂直的平面是哪幾個？ (1)解析：與棱A1A平行的棱有3條，相交的有4條，故既不平行也不相交的有4條． 答案：D (2)解：在長方體的面與棱中， ①與棱BC平行的棱有：棱B1C1，A1D1，AD． ②與棱BC平行的平面有：平面A1C1，平面AD1． ③與棱BC垂直的平面有：平面AB1，平面DC1． ④與平面BC1垂直的平面有：平面AB1，平面A1C1，平面DC1，平面AC． 探究四　易錯辨析 易錯點1：不理解直線與平面的關(guān)系而致誤 【典型例題4】 能正確表示點A在直線l上且直線l在平面α內(nèi)的是(　　) 錯解：B 錯因分析：在平面內(nèi)的直線一定要將表示它的線段畫在表示平面的平行四邊形的內(nèi)部． 正解：選項A只表示點A在直線l上；選項D表示直線l與平面α相交于點A；選項B中的直線l有部分在平行四邊形的外面，所以不能表示直線在平面α內(nèi)，故選C． 答案：C 點評點、線、面這三個原始概念各自具有三大特征： (1)點：①最基本元素；②只有位置；③沒有大小． (2)直線：①沒有粗細；②絕對的直；③向兩方無限延伸． (3)平面：①沒有厚度；②絕對的平；③向周圍無限延展． 易錯點2　對“運動方向”認識不清而致誤 【典型例題5】下列說法錯誤的是__________．(填序號) (1)射線運動后的軌跡不可能是整個平面； (2)直線繞著一個點轉(zhuǎn)動，只能形成曲面； (3)將一個矩形沿同一方向移動一段距離，其軌跡就是長方體． 錯解：填(1)(2)或填(1)(3)或填(2)(3)． 錯因分析：忽視了運動方向，或者說運動方向考慮不全面而致誤． (1)沒考慮射線繞頂點；(2)沒考慮直線繞一點左右轉(zhuǎn)動；(3)沒考慮必須沿鉛垂線方向． 正解：(1)錯誤．水平放置的射線繞頂點在水平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周，可形成平面． (2)錯誤．直線繞一個點左右轉(zhuǎn)動也能形成平面． (3)錯誤．矩形上各點沿鉛垂線方向移動相同的距離，其軌跡才形成長方體． 答案：(1)(2)(3)