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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.1正弦定理和余弦定理教案2 新人教A版必修5 一、教學(xué)目標(biāo)： 1、能力要求： ①掌握余弦定理，能初步運用余弦定理解一些斜三角形。 ②明確余弦定理可解決哪種類型的三角形問題。 2、過程與方法： ①探究式教學(xué)使學(xué)生明確余弦定理的用途。 ②在探究學(xué)習(xí)中，認(rèn)識到余弦定理可以解決某些與幾何計算和測量有關(guān)的實際問題。 二、教學(xué)重點、難點： 重點：余弦定理公式及其推論的應(yīng)用； 難點：綜合運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解斜三角形 三、預(yù)習(xí)問題處理： 1、余弦定理：三角形中 平方等于 減去 的兩倍，即 ； ； 。 2、從余弦定理，可以得到它的推論： ； ； 。 3、從余弦定理和余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是 ；如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是 ；如果大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是 。 4、只利用余弦定理，我們可以解決何種類型的問題？ 四、新課講解： 通過上一節(jié)課的學(xué)習(xí)我們知道，利用正弦定理可以解決兩類三角形問題：①已知三角形兩角和任一邊解三角形；②已知兩邊和其中一邊的對角解三角形。那么其它類型的解三角形問題是否就沒有辦法解決了呢？下面我們由正弦定理出發(fā)，進行一下探索。 正弦定理：（為外接圓半徑） 由正弦定理可知： 即。 同理可證：　　 于是，我們可以得到如下定理： 余弦定理（law of cosines） 三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即 上述證明方法比較煩瑣，有沒有余弦定理的簡單證法呢？ 我們可以用向量法對其加以證明。 如圖，設(shè)，那么， 所以。 同理可以證明： 在這個定理的證明過程中，你感覺到向量運算的威力了嗎？ 應(yīng)用余弦定理，我們可以隨一些正弦定理所解決不了的三角形問題進行求解，如：已知兩邊和夾角求三角形第三邊。 從余弦定理，可以得到它的推論： ， ， 。 應(yīng)用上述推論，可以對已知三角形三邊求其三個內(nèi)角的問題進行求解。 由上述推論可知：如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角；如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角；如果大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是銳角。也就是說，如果已知一個三角形的三邊長度，我們可以用余弦定理的推論判定三角形的形狀。 五、例題講解： 例1、在中，已知，解此三角形。 解：由余弦定理： ， ； ； 例２、在中，已知，求此三角形三個角的余弦值并判定其形狀。 解：由余弦定理的推論可得： 由可知為鈍角，所以為鈍角三角形。 例3、在中，已知,解此三角形。 解： 法一：由正弦定理，即，解得， 因為，所以或， 當(dāng)時，，為直角三角形，此時； 當(dāng)時，，，所以。 法二：由余弦定理，得， 化簡可得，解得或。 當(dāng)時，由正弦定理得，; 當(dāng)時，由正弦定理得， 問題拓展：如果本題只要求判定三角形形狀，是否還是按照上述步驟進行求解。 請同學(xué)分析上述兩種解法的優(yōu)缺點，從而總結(jié)適合自己的方法。 六、小結(jié)： 1、 向量法證明余弦定理； 2、 余弦定理及其推論可解決哪種類型的三角形問題； 3、 求邊用定理，求角用推論； 4、 注意正弦定理和余弦定理的結(jié)合使用； 5、 已知三角形的兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可以使用余弦定理先求解第三邊，第三邊解的個數(shù)對應(yīng)三角形解的個數(shù)。