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2019-2020年高中數(shù)學(xué)知識精要 4.新課標(biāo)新題型教案 新人教A版 xx年全國數(shù)學(xué)考試大綱（課標(biāo)版）中，能力要求中指出，能力是指思維能力、運(yùn)算能力、空間想象能力以及實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識。其中創(chuàng)新意識指對新穎的信息、情境和設(shè)問，選擇有效的方法和手段收集信息，綜合與靈活地應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識、思想和方法，進(jìn)行獨(dú)立的思考、探索和研究，提出解決問題的思路，創(chuàng)造性地解決問題.創(chuàng)新意識：首先是能獨(dú)立思考、善于發(fā)現(xiàn)、提出有價值的問題，選擇有效的方法和手段分析信息，綜合與靈活地應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識、思想和方法，進(jìn)行獨(dú)立的思考、探索和研究，提出解決問題的思路，創(chuàng)造性地解決問題. xx年山東數(shù)學(xué)考試說明對創(chuàng)新意識的界定是：能夠獨(dú)立思考，靈活和綜合地運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)的知識、思想和方法，創(chuàng)造性地提出問題、分析問題和解決問題． 創(chuàng)新意識是理性思維的高層次表現(xiàn).對數(shù)學(xué)問題的“觀察、猜測、抽象、概括、證明”，是發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的重要途徑，對數(shù)學(xué)知識的遷移、組合、融會的程度越高，顯示出的創(chuàng)新意識也就越強(qiáng). 對創(chuàng)新意識的考查是對高層次理性思維的考查.在考試中創(chuàng)設(shè)新穎的問題情境，構(gòu)造有一定深度和廣度的數(shù)學(xué)問題，要注重問題的多樣化，體現(xiàn)思維的發(fā)散性.精心設(shè)計考查數(shù)學(xué)主體內(nèi)容、體現(xiàn)數(shù)學(xué)素質(zhì)的試題；反映數(shù)、形運(yùn)動變化的試題；研究型、探索型、開放型的試題. 一、開放型 開放型問題是指那些題目條件不完備、結(jié)論不明確、或者答案不唯一，給學(xué)生留有較大探索余地的試題．一般有題設(shè)開放型、結(jié)論開放型、題設(shè)和結(jié)論均開放型以及解題方法的開放型幾類問題．其中結(jié)論開放型探索性問題的特點(diǎn)是給出一定的條件而未給出結(jié)論，要求在給定的前提條件下，探索結(jié)論的多樣性，然后通過推理證明確定結(jié)論;題設(shè)開放型探索性問題的特點(diǎn)是給出結(jié)論，不給出條件或條件殘缺，需在給定結(jié)論的前提下，探索結(jié)論成立的條件，但滿足結(jié)論成立的條件往往不唯一，答案與已知條件對整個問題而言只要是充分的、相容的、獨(dú)立的．就視為正確的；全開放型，題設(shè)、結(jié)論都不確定或不太明確的開放型探索性問題，與此同時解決問題的方法也具有開放型的探索性問題，需要我們進(jìn)行比較全面深入的探索，才能研究出解決問題的辦法來。 1. 條件開放型 這類題目的特點(diǎn)是給出了題目的結(jié)論，但沒有給出滿足結(jié)論的條件，并且這類條件常常是不唯一的，需要解題者從結(jié)論出發(fā)，通過逆向思維去判斷能夠追溯出產(chǎn)生結(jié)論的條件，并通過推理予以確認(rèn)．這種條件探究性問題實(shí)質(zhì)上是尋找使命題為真的充分條件（未必是充要條件）．解決此類問題的策略有兩種，一種是將結(jié)論作為已知條件，逐步探索，找出結(jié)論成立所需的條件，這也是我們通常所說的"分析法"；第二種是假設(shè)題目中指定的探索條件，把它作為已知，并結(jié)合其他題設(shè)進(jìn)行推導(dǎo)，如果能正確推導(dǎo)出結(jié)論，則此探索條件就可以作為題設(shè)條件，直覺聯(lián)想、較好的洞察力都將有助于這一類問題的解答． 1．在四棱錐中，四條側(cè)棱長都相等，底面是梯形，，．為保證頂點(diǎn)P在底面所在平面上的射影O在梯形的外部，那么梯形需滿足條件___________________（填上你認(rèn)為正確的一個條件即可）． 講解： 條件給我們以啟示．由于四條側(cè)棱長都相等，所以，頂點(diǎn)P在底面上的射影O到梯形四個頂點(diǎn)的距離相等．即梯形有外接圓，且外接圓的圓心就是O．顯然梯形必須為等腰梯形． 再看結(jié)論．結(jié)論要求這個射影在梯形的外部，事實(shí)上，我們只需找出使這個結(jié)論成立的一個充分條件即可． 顯然，點(diǎn)B、C應(yīng)該在過A的直徑AE的同側(cè)．不難發(fā)現(xiàn)，應(yīng)該為鈍角三角形． 故當(dāng)（且AC>BC）時可滿足條件．其余等價的或類似的條件可以隨讀者想象． 點(diǎn)評：本題為條件探索型題目，其結(jié)論明確，需要完備使得結(jié)論成立的充分條件，可將題設(shè)和結(jié)論都視為已知條件，進(jìn)行演繹推理推導(dǎo)出所需尋求的條件．這類題要求學(xué)生變換思維方向，有利于培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力． 2.如圖，在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件__________時，有A1C⊥B1D1（注：填上你認(rèn)為正確的條件即可，不必考慮所有可能的情況） 分析：本題是條件探索型試題，即尋找結(jié)論A1C⊥B1D1成立的充分條件，由AA1⊥平面A1C1以及A1C⊥B1D1（平面A1C1的一條斜線A1C與面內(nèi)的一條直線B1D1互相垂直），容易聯(lián)想到三垂線定理及其逆定理。因此，欲使A1C⊥B1D1，只需B1D1與CA1在平面A1C1上的射影垂直即可。顯然，CA1在平面A1C1上的射影為A1C1，故當(dāng)B1D1⊥A1C1時，有A1C⊥B1D1，又由于直四棱柱的上、下底面互相平行，從而B1D1∥BD，A1C1∥AC。因此，當(dāng)BD⊥AC時，有A1C⊥B1D1。由于本題是要探求使A1C⊥B1D1成立的充分條件，故當(dāng)四邊形ABCD為菱形或正方形時，依然有BD⊥AC，從而有A1C⊥B1D1，故可以填：①AC⊥BD或②四邊形ABCD為菱形，或③四邊形ABCD為正方形中的任一個條件即可。 點(diǎn)評: AC⊥BD是結(jié)論A1C⊥B1D1成立的充要條件，而所填的ABCD是正方形或菱形則是使結(jié)論A1C⊥B1D1成立的充分而不必要的條件． 本例中，滿足題意的充分條件不唯一，具有開放性特點(diǎn)，這類試題重在考查基礎(chǔ)知識的靈活運(yùn)用以及歸納探索能力。 3.如圖，三條直線a、b、c兩兩平行，直線a、b間的距離為p，直線b、c間的距離為，A、B為直線a上兩定點(diǎn)，且｜AB｜=2p，MN是在直線b上滑動的長度為2p的線段. （1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求△AMN的外心C的軌跡E； （2）接上問，當(dāng)△AMN的外心C在E上什么位置時，d+｜BC｜最小，最小值是多少？（其中d是外心C到直線c的距離）. 解：（1）以直線b為x軸，以過A點(diǎn)且與b直線垂直的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系. 設(shè)△AMN的外心為C(x,y)，則有A(0,p)、M（x–p,0)，N(x+p,0)， 由題意，有|CA|=|CM| ∴,化簡，得x2=2py 它是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，y軸為對稱軸，開口向上的拋物線. （2）由（1）得，直線C恰為軌跡E的準(zhǔn)線. 由拋物線的定義知d=｜CF｜，其中F（0,）是拋物線的焦點(diǎn). ∴d+｜BC｜=｜CF｜+｜BC｜ 由兩點(diǎn)間直線段最短知，線段BF與軌跡E的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn) 直線BF的方程為聯(lián)立方程組 得. 即C點(diǎn)坐標(biāo)為(). 此時d+｜BC｜的最小值為｜BF｜=. 2.結(jié)論開放型 這類題目的特點(diǎn)是給出一定的條件，要求從條件出發(fā)去探索結(jié)論，而結(jié)論往往是不唯一的，甚至是不確定的，或給出特例后通過歸納得出一般性結(jié)論. 解決此類問題的策略有：從已知條件出發(fā)，運(yùn)用所學(xué)過的知識進(jìn)行推理、探究或?qū)嶒灥贸鼋Y(jié)論；通過歸納得出一般性結(jié)論，再去證明；對多種結(jié)論進(jìn)行優(yōu)化（內(nèi)含分類討論）等. 3．老師給出一個函數(shù)，四個學(xué)生甲、乙、丙、丁各指出這個函數(shù)的一個性質(zhì)： 甲：對于，都有； 乙：在上函數(shù)遞減； 丙：在上函數(shù)遞增； 丁：不是函數(shù)的最小值． 如果其中恰有三個人說得正確，請寫出一個這樣的函數(shù)：____________． 講解：首先看甲的話，所謂“對于，都有”，其含義即為：函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱．?dāng)?shù)形結(jié)合，不難發(fā)現(xiàn)：甲與丙的話相矛盾．（在對稱軸的兩側(cè)，函數(shù)的單調(diào)性相反） 因此，我們只需選擇滿足甲、乙、?。ɑ蛞?、丙、?。l件的函數(shù)即可． 如果我們希望找到滿足甲、乙、丁條件的函數(shù)，則需要認(rèn)識到：所謂函數(shù)在上單調(diào)遞減，并不是說函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間只有．考慮到關(guān)于直線的對稱性，我們不妨構(gòu)造函數(shù)，使之在上單調(diào)遞減，這樣，既不與乙的話矛盾，也滿足丁所說的性質(zhì)．如即可． 如果希望找到滿足乙、丙、丁條件的函數(shù)，則分段函數(shù)是必然的選擇．如． 點(diǎn)評：本題考查學(xué)生對于函數(shù)性質(zhì)的理解和掌握．思考這樣的問題，常常需要從熟悉的函數(shù)（一次、二次、反比例函數(shù)，指數(shù)、對數(shù)、三角函數(shù)等）入手，另外，分段函數(shù)往往是解決問題的關(guān)鍵． （xx年全國高考) 、是兩個不同的平面，、是平面及之外的兩條不同直線，給出四個論斷： ①⊥； ②⊥； ③⊥； ④⊥． 以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個命題：____________________________．②③④①／①③④②； 4.（xx年全國高考試題）如圖，E、F分別為正方體的面ADD1A1和面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面上的射影可能是_____________（要求把可能的圖形的序號都填上） 分析：本題為結(jié)論探索型的試題，要求有一定的空間想象能力。 解：由于正方體的6個面可分為互為平行的三對，而四邊形BFD1E的在互為平行的平面上的射影相同，因此可把問題分為三類：a：在上、下兩面上的射影為圖②；b：在前、后兩面上的射影為圖②；c：在左、右兩面上的射影為圖③. 綜上可知，在正方體各面上的射影是圖②或圖③。 點(diǎn)評：這也是一道結(jié)論探索型問題，結(jié)論不唯一，應(yīng)從題設(shè)出發(fā)，通過分類以簡化思維，再利用射影的概念，得到正確的結(jié)論。 3.條件和結(jié)論都開放型 有些題目條件和結(jié)論都是不確定的，但是給出了一定量的信息和情景，要求解題者在題目給出的情景中，自行設(shè)定條件，自己尋找結(jié)論，自己構(gòu)建命題并進(jìn)行演繹推理． 5.設(shè)f(x) 是定義域為R的一個函數(shù)，給出下列五個論斷： ① f(x)的值域為R； ② f(x)是R上的單調(diào)遞減函數(shù)； ③ f(x)是奇函數(shù)； ④ f(x)在任意區(qū)間[a, b] (a f(b)； ⑤ f(x)有反函數(shù)． 以其中某一論斷為條件，另一論斷為結(jié)論（例如：⑤①），至少寫出你認(rèn)為正確的三個命題： . 講解：本題考察對于函數(shù)性質(zhì)的理解． 根據(jù)單調(diào)性的定義，不難知道：②⑤等價，又由于單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)，所以，不難寫出三個正確命題：②⑤；④⑤；②④（或④②）． 進(jìn)一步思考，函數(shù)的值域與單調(diào)性、奇偶性并無直接聯(lián)系，而且單調(diào)性與是否存在反函數(shù)之間也不是等價的關(guān)系．所以，可以知道，只有上述三個正確命題． 6．已知是實(shí)數(shù)，給出下列四個論斷： （1）；（2）； （3）；（4） 以其中的兩個論斷為條件，其余兩個論斷為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個命題． __________________________________． 講解 ：顯然，（1）、（2）等價，它們的含義均為：同號．在此前提之下，由（3）必可推出（4），所以，正確的命題為：（1）（3）（4）；（2）（3）（4）． 點(diǎn)評：對于這一類只給出了一個特定的情境，而命題的條件、結(jié)論及推理論證的過程均不確定的開放性試題，應(yīng)該靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識，回顧相近的題型、結(jié)論、方法，進(jìn)行類比猜想．在給定的情境中自己去假設(shè)，去求解，去調(diào)整方法，去確定結(jié)果． 7.（xx年全國高考試題）α,β是兩個不同的平面，m , n是平面α,β之外的兩條不同直線，給出四個論斷：① m ⊥ n ，② α ⊥ β ，③ n ⊥ β ，④ m ⊥ α ．以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個命題． 8.已知函數(shù) ,給出以下三個條件: (1) 存在，使得； (2) 成立； (3) 在區(qū)間上是增函數(shù). 若同時滿足條件 和 （填入兩個條件的編號），則的一個可能的解析式為 . 答案：滿足條件(1)(2)時,等；滿足條件(1)(3)時,等；滿足條件(2)(3)時,等. 二、信息遷移型 這類題目的特點(diǎn)是通過文字或圖表等給出了中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容中沒有遇到過的新知識，這些新知識可以是新概念，新定義，新定理和新規(guī)則，新情境，并且這些解題的信息有可能不是直接給出的，要求解題者通過觀察，閱讀，歸納，探索進(jìn)行遷移，即讀懂新概念，理解新情境，獲取有用的新信息，然后運(yùn)用這些有用的信息進(jìn)一步演算和推理，從而考察在新的信息，新的情景下，獨(dú)立獲取和運(yùn)用新信息的能力，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力和探索能力．解答此類問題的方法主要是讀懂和理解題中給出的新概念，并能將陌生的情景和熟悉的知識內(nèi)容之間產(chǎn)生聯(lián)想，使知識產(chǎn)生遷移，進(jìn)而解決問題。 信息遷移題，由于信息呈現(xiàn)的方式不同，又可分為定義信息型，圖表信息型，圖像圖形信息型等． 1.定義信息型 1.（xx年上海春季高考）若記號“*”表示求兩個實(shí)數(shù)與的算術(shù)平均數(shù)的運(yùn)算，即，則兩邊均含有運(yùn)算符號“*”和“+”，且對于任意3個實(shí)當(dāng)選、、都能成立的一個等式可以是__________________． 答案：，等. 2.已知數(shù)列 的前 項的“均倒數(shù)”為 ． （1）求 的通項公式； （2）設(shè) ，試判斷并說明 的符號； （3）設(shè)函數(shù) ，是否存在最大的實(shí)數(shù) ，當(dāng) 時，對于一切自然數(shù) ，都有 ． 講解　(1)由題意，得關(guān)系式　 ， 從而有． 將兩式相減，得 ，而 ． (2)應(yīng)用（１）的結(jié)論，得 ， 于是　 . (3) 由（2）知 是數(shù)列 中的最小項， ∵ 時，對于一切自然數(shù) ，都有 ，即 ， ∴ ，即 ， 解之，得 ， ∴取 ． 點(diǎn)評　“均倒數(shù)”是指已知數(shù)列 的前 項的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)． 3．在 ，且對任何 都有： （i） ； （ii） ； （iii） ，給出以下三個結(jié)論： （1） ； （2） ； （3） 其中正確的個數(shù)為（A ）． A. 3個 B. 2個 C. 1個 D. 0個 4.（北京卷）下圖為某三岔路口交通環(huán)島的簡化模型，在某高峰時段，單位時間進(jìn)出路口的機(jī)動車輛數(shù)如圖所示，圖中分別表示該時段單位時間通過路段、、的機(jī)動車輛數(shù)（假設(shè)：單位時間內(nèi)，在上述路段中，同一路段上駛?cè)肱c駛出的車輛數(shù)相等），則 （A） （B） （C） （D） 解：依題意，有x1＝50＋x3－55＝x3－5，\x1‖AB‖. 其中真命題的個數(shù)為 A.0 B.1 C.2 D.3 解析：對于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點(diǎn)，定義它們之間的一種“距離”： ①若點(diǎn)C在線段AB上，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，x0在x1、x2之間，y0在y1、y2之間，則= ③在中， > = ∴命題① ③成立，而命題②在中，若則明顯不成立，選B. 6.（廣東卷）對于任意的兩個實(shí)數(shù)對和，規(guī)定：，當(dāng)且僅當(dāng)；運(yùn)算“”為：；運(yùn)算“”為：，設(shè)，若，則 A. B. C. D. 解析：由得, 所以,故選B. O M（ ， ） 7.（遼寧卷）設(shè)是R上的一個運(yùn)算,A是R的非空子集,若對任意有,則稱A對運(yùn)算封閉,下列數(shù)集對加法、減法、乘法和除法(除數(shù)不等于零)四則運(yùn)算都封閉的是 (A)自然數(shù)集 (B)整數(shù)集(C)有理數(shù)集 (D)無理數(shù)集 解析： A中1－2＝－1不是自然數(shù)，即自然數(shù)集不滿足條件；B中12＝0.5不是整數(shù)，即整數(shù)集不滿足條件；C中有理數(shù)集滿足條件；D中不是無理數(shù)，即無理數(shù)集不滿足條件，故選擇答案C。 【點(diǎn)評】本題考查了閱讀和理解能力，同時考查了做選擇題的一般技巧排除法。 8．（山東卷）定義集合運(yùn)算：A⊙B=｛z︳z= xy(x+y)，z∈A，y∈B｝，設(shè)集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，則集合A⊙B的所有元素之和為 （A）0 （B）6 （C）12 （D）18 解：當(dāng)x＝0時，z＝0，當(dāng)x＝1，y＝2時，z＝6，當(dāng)x＝1，y＝3時，z＝12，故所有元素之和為18，選D 9．(陜西卷)為確保信息安全,信息需加密傳輸,發(fā)送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密規(guī)則為:明文a,b,c,d對應(yīng)密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4對應(yīng)密文5,7,18,16.當(dāng)接收方收到密文14,9,23,28時,則解密得到的明文為( ) A.4,6,1,7 B.7,6,1,4 C.6,4,1,7 D.1,6,4,7 解析：當(dāng)接收方收到密文14，9，23，28時， 則，解得，解密得到的明文為C． 10．(上海卷)(理) 如圖，平面中兩條直線和相交于點(diǎn)O，對于平面上任意一點(diǎn)M，若、分別是M到直線和的距離，則稱有序非負(fù)實(shí)數(shù)對（，）是點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”．已知常數(shù)≥0，≥0，給出下列命題： ①若＝＝0，則“距離坐標(biāo)”為（0，0）的點(diǎn)有且 僅有1個； ②若＝0，且＋≠0，則“距離坐標(biāo)”為（，） 的點(diǎn)有且僅有2個； ③若≠0，則“距離坐標(biāo)”為（，）的點(diǎn)有 且僅有4個． 上述命題中，正確命題的個數(shù)是 （ ） （A）0； （B）1； （C）2； （D）3． 解：選（D） ① 正確，此點(diǎn)為點(diǎn)； ② 正確，注意到為常數(shù)，由中必有一個為零，另一個非零，從而可知有且僅有2個點(diǎn)，這兩點(diǎn)在其中一條直線上，且到另一直線的距離為（或）； ③ 正確，四個交點(diǎn)為與直線相距為的兩條平行線和與直線相距為的兩條平行線的交點(diǎn)； (上海卷)（文）如圖，平面中兩條直線和相交于點(diǎn)，對于平面上任意一點(diǎn),若分別是到直線和的距離，則稱有序非負(fù)實(shí)數(shù)對是點(diǎn)的“距離坐標(biāo)”，根據(jù)上述定義，“距離坐標(biāo)”是（1，2）的點(diǎn)的個數(shù)是____________. 11．(上海卷)如果一條直線與一個平面垂直，那么，稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”。在一個正方體中，由兩個頂點(diǎn)確定的直線與含有四個頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是 （A）48 （B） 18 （C） 24 （D）36 解析：正方體中，一個面有四條棱與之垂直，六個面，共構(gòu)成24個“正交線面對”；而正方體的六個對角截面中，每個對角面又有兩條面對角線與之垂直，共構(gòu)成12個“正交線面對”，所以共有36個“正交線面對”； 12．（四川卷）非空集合關(guān)于運(yùn)算滿足：（1）對任意、，都有；（2）存在，使得對一切，都有，則稱關(guān)于運(yùn)算為“融洽集”。現(xiàn)給出下列集合和運(yùn)算： ①{非負(fù)整數(shù)}，為整數(shù)的加法。 ②{偶數(shù)}，為整數(shù)的乘法。 ③{平面向量}，為平面向量的加法。 ④{二次三項式}，為多項式的加法。 ⑤{虛數(shù)}，為復(fù)數(shù)的乘法。 其中關(guān)于運(yùn)算為“融洽集”的是 （寫出所有“融洽集”的序號） 解析：非空集合關(guān)于運(yùn)算滿足：（1）對任意，都有； （2）存在，使得對一切，都有，則稱關(guān)于運(yùn)算為“融洽集”；現(xiàn)給出下列集合和運(yùn)算： ①,滿足任意，都有，且令，有，所以①符合要求； ②,若存在，則，矛盾， ∴ ②不符合要求； ③,取，滿足要求，∴ ③符合要求； ④，兩個二次三項式相加得到的可能不是二次三項式，所以④不符合要求； ⑤，兩個虛數(shù)相乘得到的可能是實(shí)數(shù)，∴ ⑤不符合要求， 這樣關(guān)于運(yùn)算為“融洽集”的有①③。 13.若記號“*”表示兩個實(shí)數(shù)a與b的算術(shù)平均的運(yùn)算，即，則兩邊均含有運(yùn)算符號“*”和“＋”，且對于任意3個實(shí)數(shù)a，b，c都能成立的一個等式可以是_______________。 解析：由于本題是探索性和開放性問題，問題的解決需要經(jīng)過一定的探索過程，并且答案不惟一。這題要把握住，還要注意到試題的要求不僅類比推廣到三個數(shù)，而且等式兩邊均含有運(yùn)算符號“*”和“＋”，則可容易得到a+（bc）=（a+b）（a+c）。正確的結(jié)論還有：（ab）+c=（ac）+（bc）,（ab）+c=（ba）+c等。 試題（陌生的情境） 聯(lián)想 已有知識網(wǎng)絡(luò) 審題（閱讀、理解、探索） 遷移、提取相關(guān)信息 獲解 確認(rèn)（熟悉的情境） 點(diǎn)評：通過閱讀，正確理解和運(yùn)用新定義，是解決問題的關(guān)鍵． 2.圖表信息型 14．一個正整數(shù)數(shù)表如下（表中下一行中的數(shù)的個數(shù)是上一行中數(shù)的個數(shù)的2倍）： 第1行 1 第2行 2 3 第3行 4 5 6 7 … … 則第9行中的第4個數(shù)是（C ）． A. 132 B. 255 C. 259 D. 260 15. 向明中學(xué)的甲、乙兩同學(xué)利用暑假到某縣進(jìn)行社會實(shí)踐，對該縣的養(yǎng)雞場連續(xù)六年來的規(guī)模進(jìn)行調(diào)查研究，得到如下兩個不同的信息圖： （A）圖表明：從第1年平均每個養(yǎng)雞場出產(chǎn)1萬只雞上升到第6年平均每個養(yǎng)雞場出產(chǎn)2萬只雞; （B）圖表明：由第1年養(yǎng)雞場個數(shù)30個減少到第6年的10個. 請你根據(jù)提供的信息解答下列問題： （1）第二年的養(yǎng)雞場的個數(shù)及全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)各是多少？ （2）哪一年的規(guī)模最大？為什么？ 講解 （1）設(shè)第n年的養(yǎng)雞場的個數(shù)為，平均每個養(yǎng)雞場出產(chǎn)雞萬只， 由圖（B）可知, =30，且點(diǎn)在一直線上， 從而 由圖（A）可知, 且點(diǎn)在一直線上， 于是 =（萬只），（萬只） 第二年的養(yǎng)雞場的個數(shù)是26個，全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)是31.2萬只； （2）由 （萬只）， 第二年的養(yǎng)雞規(guī)模最大，共養(yǎng)雞31.2萬只. 有時候我們需要畫出圖形, 有時候我們卻需要從圖形中采集必要的信息, 這正反映了一個事物的兩個方面. 看來, 讀圖與識圖的能力是需要不斷提升的. 16.（xx年全國高考試題）《中華人民共和國個人所得稅法》規(guī)定，公民全月工資、薪金所得不超過800元的部分不必納稅，超過800元的部分為全月應(yīng)納稅所得額，此項稅款按下表分段累進(jìn)計算： 全月應(yīng)納稅所得額 稅率 不超過500元的部分 5% 超過500元至xx元的部分 10% 超過xx元至5000元的部分 15% 某人一月份應(yīng)交納此項稅款26.78元，則他的當(dāng)月工資、薪金所得介于（ ）元． （A）800～900 （B）900～1200 （C）1200～1500 （D）1500～2800 17.（xx年上海高考題）一般地，家庭用電量（千瓦時）與氣溫（℃）有一定的關(guān)系．圖（1）表示某年12個月中每月的平均氣溫，圖（2）表示某家庭在這年12個月中每月的用電量．根據(jù)這些信息，以下關(guān)于該家庭用電量與氣溫間關(guān)系的敘述中，正確的是：（ ） （A） 氣溫最高時，用電量最多． （B） 氣溫最低時，用電量最少． （C） 當(dāng)氣溫大于某一值時，用電量隨氣溫增高而增加． （D） 當(dāng)氣溫小于某一值時，用電量隨氣溫降低而增加． 18.（xx年上海市高考試題）據(jù)報道，我國目前已成為世界上受荒漠化危害最嚴(yán)重的國家之一，下左圖表示我國土地沙化總面積在上個世紀(jì)五六十年代，七八十年代，九十年代的變化情況．由圖中的相關(guān)信息，可將上述有關(guān)年代中，我國年平均土地沙化面積在下右圖圖示為 講解：本題考察讀圖的能力． 從1950年到xx年的土地沙化總面積為一條折線，說明這一段的土地沙化總面積不是勻速增長的．但相應(yīng)于這條折線的每一段線段，都代表其對應(yīng)年份的土地沙化總面積勻速增長，即這一段的年平均土地沙化面積為定值．因此，分三段計算，不難得出結(jié)論，如圖． 點(diǎn)評：函數(shù)三種表示法（解析式、列表、圖像表示法）中，學(xué)生較為熟悉的是解析式表示法．然而，由于另外兩種表示法具有直觀、形象的特點(diǎn)，在實(shí)際應(yīng)用中較為常見．因此，學(xué)會讀圖非常重要． 圖形、圖像信息型 19.（xx年全國高考試題）某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情知，從一月一日起的300天內(nèi)，西紅柿市場售價與上市時間的關(guān)系用圖一的一條折線表示，西紅柿的種植成本與上市時間的關(guān)系用圖二的拋物線線段表示． 圖1 圖2 （Ⅰ）寫出圖一表示的市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系式 P =f(t)； 寫出圖二表示的種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系式Q =g(t)． （Ⅱ）認(rèn)定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿純收 益最大？（注：市場售價和種植成本的單位：元/102kg，時間單位：天） ． 解：（I）由圖一可得市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系為 　　　　　　　　　　　　 由圖二可得種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系為 　　　　　　　　 　?。↖I）設(shè)t時刻的純收益為h(t)，則由題意得 　　h(t)=f(t)-g(t) 　　即　　　　 　　當(dāng)0≤t ≤200時，配方整理得 　　 　　所以，當(dāng)t=50時，h(t)取得區(qū)間[0，200]上的最大值100； 　　當(dāng)200< t ≤300時，配方整理得 　　 　　所以，當(dāng)t=300時，h(t)取得區(qū)間[200，300]上的最大值87.5．　　 　　綜上，由100>87.5可知，h(t)在區(qū)間[0，300]上可以取得最大值100，此時t=50，即從二月一日開始的第50天時，上市的西紅柿純收益最大． 三、歸納型 規(guī)律性探索型命題是指從命題給出的多個具體的關(guān)系式，通過觀察、歸納、分析、比較，得出一般規(guī)律的命題。解題策略是：通過研究題設(shè)的變化規(guī)律，猜想結(jié)論，然后證明。 1.（xx廣東）在德國不來梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商店櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有1層，就一個球；第堆最底層（第一層）分別按圖4所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第堆第層就放一個乒乓球，以表示第堆的乒乓球總數(shù)，則 ； （答案用表示）. xx年北京卷14圖 思路分析:法一：由題可知f(1)=1,f(2)=4,f(3)=10,f(4)=20，下一堆的個數(shù)是上一堆的個數(shù)加上其第一層的個數(shù)，而第一層的個數(shù)滿足1，3，6，10，15，…，通項公式是(不妨，，，…，，累加整理即得通項公式)，所以f(2)=f(1)+3=4，f(3)=f(2)+6=10，f(4)=f(3)+15=35，f(5)=f(4)+15=35，以此類推f(n)=f(n-1)+,于是累加得f(n)== =。所以答案應(yīng)填10；. 點(diǎn)評 將數(shù)列的通項公式、數(shù)列的求和融合到xx年4月24至5月1日舉行的世乒賽這一實(shí)際情景當(dāng)中，重點(diǎn)考察累加法求通項公式和常規(guī)數(shù)列的求和，此外觀察分析數(shù)據(jù)的能力也是本題考查的一個重要方面。當(dāng)然要順利解出此題，個人的空間想象能力也是一個非常重要的方面，要求考生在頭腦中能清晰建立起“堆成正三棱錐”這一空間模型，并要注意相鄰兩堆個數(shù)變化的根本原因. 2. 若、， (1)求證：； (2)令，寫出、、、的值，觀察并歸納出這個數(shù)列的通項公式； (3)證明：存在不等于零的常數(shù)p，使是等比數(shù)列，并求出公比q的值. 講解 (1)采用反證法. 若，即, 解得 從而與題設(shè),相矛盾， 故成立. (2) 、、、、, . （3）因為 又,所以, 因為上式是關(guān)于變量的恒等式，故可解得、. 3.觀察sin220+cos250+sin20cos50=,sin215+cos245+sin15cos45=， 寫出一個與以上兩式規(guī)律相同的一個等式 . 答案： sin2α+cos2(α+30)+sinαcos(α+30)= 四、類比型 類比在數(shù)學(xué)解題中有著十分重要的作用。 類比推理可用如下圖式描述：根據(jù) 其中分別與相同或相似， 推論：B類對象也具有與d相同或相似的屬性d。 這種題目的特點(diǎn)是給出一個數(shù)學(xué)情境或一個數(shù)學(xué)命題，要求解題者發(fā)散思維去聯(lián)想，類比，推廣，轉(zhuǎn)化，找出類似的命題，推廣的命題，深入的命題. 常用的類比有： 1、平面與空間的類比 1.（xx年上海春季高考）如下圖．若從點(diǎn)O所作的兩條射線OM、ON上分別有點(diǎn)與點(diǎn)，則三角形面積之比．若從點(diǎn)O所作的不在同一平面內(nèi)的三條射線OP、OQ和OR上，分別有點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)，則類似的結(jié)論為：______________________________． 把立體幾何知識與相關(guān)的平面幾何知識類比，是實(shí)現(xiàn)知識遷移的有效方法，也利于化難為易，啟迪思維。 如，關(guān)于勾股定理，可有幾個類比： 勾股定理：在直角邊長為a,b，斜邊長為c的直角三角形中，有 類比1：長、寬、高分別為p,q,r,對角線長為d的長方體中，有 類比2：長方體交于某一頂點(diǎn)的三個長方形面的對角線長分別為p,q,r,長方體對角線長為d，則有 類比3：四面體交于一個頂點(diǎn)O的三條棱兩兩互相垂直，與O相鄰的三個面的面積分別為A，B，C，與O相對的面的面積為D，則有： 我們知道正三角形內(nèi)任一點(diǎn)P到各邊距離之和為常數(shù)。分別從三條邊相等與三個角相等類比，“在各邊相同的凸多邊形內(nèi)任一點(diǎn)P到各邊距離之和為常數(shù)”和“在各角相等的凸多邊形內(nèi)任一點(diǎn)P到各邊距離之和為常數(shù)”?？梢宰C明這兩個命題都是正確的（利用面積法證明）。 在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)△ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則AB2+AC2=BC2”拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐A—BCD的三個側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩相互垂直，則.” 提醒：關(guān)于空間問題與平面問題的類比，通常可抓住幾何要素的如下對應(yīng)關(guān)系作對比： 多面體 多邊形； 面 邊 體 積 面 積 ； 二面角 平面角 面 積 線段長； … … 2.同類之間類比（橢圓與雙曲線類比） 2.若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足bn=，則{bn}也為等差數(shù)列.類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，若數(shù)列{cn}是等比數(shù)列，且cn>0，數(shù)列{dn}滿足dn= ，則數(shù)列{dn}也為等比數(shù)列. 答案：dn=（n∈N*） 3.（xx年上海市高考試題）在等差數(shù)列{an}中，若 a10= 0 ,則有等式a1 + a2 + … + an = a1 + a2 + … + a19-n (n＜19 , n ∈N +)成立．類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，在等比數(shù)列{bn}中，若b9= 1 ，則有等式__________________成立． 4.有對稱中心的曲線叫做有心曲線,顯然圓、橢圓、雙曲線都是有心曲線. 過有心曲線的中心的弦叫有心曲線的直徑,（為研究方便,不妨設(shè)直徑所在直線的斜率存在）. 定理：過圓上異于直徑兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)與一條直徑的兩個端點(diǎn)連線,則兩條連線的斜率之積為定值－1. （Ⅰ）寫出該定理在橢圓中的推廣,并加以證明； （Ⅱ）寫出該定理在雙曲線中的推廣；你能從上述結(jié)論得到有心圓錐曲線（包括橢圓、雙曲線、圓）的一般性結(jié)論嗎？請寫出你的結(jié)論. 解：（Ⅰ）設(shè)直徑的兩個端點(diǎn)分別為A、B,由橢圓的對稱性可得,A、B關(guān)于中心O（0,0）對稱,所以A、B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（,B（. P（上橢圓上任意一點(diǎn),顯然, 因為A、B、P三點(diǎn)都在橢圓上,所以有 , ① , ②.而, 由①－②得： . 所以該定理在橢圓中的推廣為：過橢圓上異于直徑兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)與一條直徑的兩個端點(diǎn)連線,則兩條連線的斜率之積為定值. （Ⅱ）該定理在雙曲線中的推廣為：過雙曲線上異于直徑兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)與一條直徑的兩個端點(diǎn)連線,則兩條連線的斜率之積為定值 該定理在有心圓錐曲線中的推廣應(yīng)為：過有心圓錐曲線上異于直徑兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)與一條直徑的兩個端點(diǎn)連線,則兩條連線的斜率之積為定值－. 同類之間的類比在圓錐曲線中，常常以姐妹題形式出現(xiàn)，這樣對學(xué)生思維和素質(zhì)的考查具有很好的功能，而且題型新穎，避免了傳統(tǒng)的考法的單調(diào)。 3.與已知數(shù)學(xué)方法類比 5.設(shè)，利用推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和的方法——倒序相加法，求的值為_______________。 解：本題類比數(shù)學(xué)方法，即利用倒序相加法，通過合情猜想即可解決。由 又∴，∴。 4.與已知概念類比 6.（xx年北京）定義“等和數(shù)列”，在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和。已知數(shù)列｛a｝等和數(shù)列，且，公和為5。那么的值為_______________，這個數(shù)列前n項和的計算公式為_______________。 分析：此題類比等差數(shù)列定義給出“等和數(shù)列”定義，解決此類問題要認(rèn)真理解所給出的定義，結(jié)合所學(xué)知識尋求正確解決方法。 解：∵｛a｝是等和數(shù)列，，公和為5， ∴，則，，…知，（n∈N*）。 ∴＝3，數(shù)列｛a｝形如：2，3，2，3，2，3，……。 ∴。 評注：這是一道新情境題型，關(guān)鍵要吃透定義，對于n為奇數(shù)時， 五、存在性型 存在性探索型命題是指在一定的條件下，判斷某種數(shù)學(xué)對象是否存在，進(jìn)行演繹推理，若推出矛盾，則假設(shè)不成立，若推出結(jié)果，則假設(shè)成立，即指定的數(shù)學(xué)對象存在。 一般來說，是否存在型問題，實(shí)質(zhì)上是探索結(jié)論的開放性問題．相對于其他的開放性問題來說，由于這類問題的結(jié)論較少（只有存在、不存在兩個結(jié)論，有些時候須討論），因此，思考途徑較為單一，難度易于控制，受到各類考試的的青睞． 解答這一類問題，往往從承認(rèn)結(jié)論、變結(jié)論為條件出發(fā)，然后通過特例歸納，或由演繹推理證明其合理性．探索過程要充分挖掘已知條件，注意條件的完備性，不要忽略任何可能的因素． 1．已知數(shù)列中，，且對于任意自然數(shù)，總有，是否存在實(shí)數(shù)，使得對于任意自然數(shù)恒成立？證明你的結(jié)論． 講解：是一個一般性的結(jié)論，為了探求是否存在，我們可從特殊的n出發(fā)，求出的值，再檢驗是否滿足一般的條件． 由，，代入，可解得． 代入檢驗，可知當(dāng)時，一方面由得，另一方面，由得，矛盾． 所以，這樣的實(shí)數(shù)不存在． 點(diǎn)評：探索，常常遵循“從一般到特殊，再從特殊到一般”的思維方法．先從具體、特定的實(shí)例入手，從中探測出問題的結(jié)論，再經(jīng)過嚴(yán)格的論證． 2．已知函數(shù)（是自然數(shù)）是奇函數(shù)，有最大值，且． （Ⅰ）試求函數(shù)的解析式； （Ⅱ）是否存在直線與的圖象只交于P、Q兩點(diǎn)，并且使得P、Q兩點(diǎn)的中點(diǎn)為（1，0）點(diǎn)，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由． 講解：（Ⅰ）由為奇函數(shù)易知：． 又因為是自然數(shù)，所以，當(dāng)時，<0；當(dāng)時，．所以，的最大值必在時取得． 當(dāng)時，，等號當(dāng)且僅當(dāng)時取得． 所以，． 又，所以，．結(jié)合是自然數(shù)，可得：． 所以，． （Ⅱ）對于“是否存在型”的問題，一般探索的方法為：假設(shè)存在，導(dǎo)出矛盾，或者從部分結(jié)論出發(fā)，導(dǎo)出其存在的必要條件，再驗證是否充分． 根據(jù)上述思路，我們可以假設(shè)存在滿足條件的直線，則、Q的坐標(biāo)可為P，．且這兩點(diǎn)都在函數(shù)的圖像上．即： 消去，得，解得：． 所以，或． 所以，直線的方程為：． 的存在性還須通過充分性的檢驗． 把直線的方程與函數(shù)聯(lián)立，不難求得，共有三組解：． 因此，直線與的圖象共有三個交點(diǎn)，與“只交于兩點(diǎn)”矛盾．所以，滿足條件的直線不存在． 在得到這樣的解答之后，我們不妨回頭再看一看，在上述過程中，函數(shù)的性質(zhì)（如奇偶性）并沒有得到充分的應(yīng)用．若能充分運(yùn)用這個已知條件，則可以得到其他不同的探索過程． 解2：設(shè)，則由為奇函數(shù)可知：P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)也在的圖像上， 又，所以，，且，故問題等價于： 是否存在直線，使得與有兩個距離為2的交點(diǎn)． 將代入，解之得：，令，解得：，， 所以，，此時直線的方程為 充分性的檢驗過程同上． 以上兩種解法都是從求出直線的方程入手．如果我們將著眼點(diǎn)放在“只交于兩點(diǎn)”，則可以得到下面簡潔的解法． 解3：當(dāng)直線的斜率不存在時，，此時與函數(shù)的圖像只交于一點(diǎn)，不滿足題設(shè)，所以，可設(shè)直線的方程為：， 與聯(lián)立，消去得： （#） 由P、Q關(guān)于點(diǎn)（1，0）對稱，可得：點(diǎn)（1，0）在直線上，所以，． 對于上述方程（＃），若，則方程只有一解，不符合題意． 若，則方程（#）的實(shí)根個數(shù)可能為1個或3個．不可能有兩個．即過點(diǎn)（1，0）的直線與的圖象不可能只有兩個交點(diǎn)，所以，這樣的直線不存在． 點(diǎn)評：敏銳的觀察，豐富的想象，是進(jìn)行有效探索的法寶． 3. 設(shè)等比數(shù)列的公比為 ，前 項和為 ，是否存在常數(shù) ，使數(shù)列 也成等比數(shù)列？若存在，求出常數(shù)；若不存在，請 明 理 由. 講解 存在型開放題的求解一般是從假設(shè)存在入手, 逐步深化解題進(jìn)程的. 設(shè)存在常數(shù)， 使數(shù)列 成等比數(shù)列. (i) 當(dāng) 時， 代入上式得 即=0 但, 于是不存在常數(shù) ，使成等比數(shù)列. (ii) 當(dāng) 時，， 代 入 上 式 得 . 綜 上 可 知 , 存 在 常 數(shù) ，使成等比數(shù)列. 等比數(shù)列n項求和公式中公比的分類, 極易忘記公比的 情 形, 可 不 要 忽 視 啊 ! 4. 已知數(shù)列在直線x-y+1=0上. （1） 求數(shù)列{an}的通項公式； （2）若函數(shù)求函數(shù)f(n)的最小值； (3)設(shè)表示數(shù)列{bn}的前n項和.試問:是否存在關(guān)于n 的整式g(n), 使得對于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立?若存在,寫出g(n)的解析式,并加以證明;若不存在,說明理由. 講解 從 規(guī) 律 中 發(fā) 現(xiàn) ,從 發(fā) 現(xiàn) 中 探 索. （1） （2） , （3）, . 故存在關(guān)于n的整式使等式對于一切不小2的自然數(shù)n恒成立. 事實(shí)上, 數(shù)列{an}是等差數(shù)列, 你知道嗎？ 六、解題策略開放型 1．（xx上海）三個同學(xué)對問題“關(guān)于x的不等式x2＋25＋|x3－5x2|≥ax在[1,12]上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍”提出各自的解題思路． 甲說：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”． 乙說：“把不等式變形為左邊含變量x的函數(shù),右邊僅含常數(shù),求函數(shù)的最值”． 丙說：“把不等式兩邊看成關(guān)于x的函數(shù),作出函數(shù)圖像”． 參考上述解題思路,你認(rèn)為他們所討論的問題的正確結(jié)論,即a的取值范圍是 ． 思路分析:采用乙說的思路.∵x∈[1,12],∴原題等價于x++|x2－5x|≥a在[1,12]上恒成立. 下面求函數(shù)y=x++|x2－5x|的最小值. ∵x+≥10(當(dāng)且僅當(dāng)x=5∈[1,12]時,取最小值10) 且∵|x2－5x|≥0(當(dāng)且僅當(dāng)x=5時,取最小值0), ∴當(dāng)且僅當(dāng)x=5時,函數(shù)y=x++|x2－5x|取最小值10. 從而原題所求a的取值范圍是(－∞,10]. 點(diǎn)評 在傳統(tǒng)的求參數(shù)的取值范圍的基礎(chǔ)上糅合三位同學(xué)的說法，貼近生活，既考查了明辨是非的能力，也為該題本身降低了難度。知道為什么不采用另外兩條思路嗎？就甲說的而言,能否在x取同一值時取得最值值得討論；就丙說的而言,要準(zhǔn)確無誤作出函數(shù)y=x2＋25＋|x3－5x2|的圖像比較困難；只有乙說的是常規(guī)思路,但如果觀察不出x+與|x2－5x|在同一處取得最小值這一細(xì)節(jié),求解過程也會很復(fù)雜. 2.若四面體各棱的長是1或2，且該四面體不是正四面體，則其體積的值是___________________（只需寫出一個可能的值）． 講解：本題為策略開放題，過程需學(xué)生自己設(shè)計． 由于四面體的棱長未一一給出，首先需探求和設(shè)計符合題意的幾何圖形，再按圖索驥，得出結(jié)論．本題只要求寫出一個可能的值，所以，我們可以盡量構(gòu)造相對簡單、易求值的圖形．如：底面為邊長為1的正三角形，側(cè)棱長均為2．不難算得，此時體積為． 作為本題的延伸，我們可以考慮所有符合題意的圖形． 由于三角形的兩邊之長大于第三邊，所以，組成四面體各個面的三角形中，或者只有一邊長為1，或者3邊長全為1． 如果這些三角形中，有一個邊長為1的正三角形，則將其作為底面，考慮其側(cè)棱長，共四種情況：兩邊為1，一邊為2；一邊為1，兩邊長為2；三邊長全為2．簡單的考察不難知道，只有最后一種情況是可能的． 如果這些三角形中，不存在邊長為1的正三角形，則只可能有兩種情況：四面體的6條棱中，只有一組相對棱的長度為1，其余棱長全為2；只有一條棱長為1，其余棱長全為2． 綜上，共3種情況．如圖： 其體積分別為：．