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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.3《數(shù)學(xué)歸納法》第1課時教案 新人教A版選修2-2 一、教學(xué)目標 1．了解歸納法的意義，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的能力． 2．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能以遞推思想作指導(dǎo)，理解數(shù)學(xué)歸納法的操作步驟． 3．抽象思維和概括能力進一步得到提高． 二、教學(xué)重點與難點 重點：借助具體實例了解數(shù)學(xué)歸納的基本思想，掌握它的基本步驟，運用它證明一些與正整數(shù)n（n取無限多個值）有關(guān)的數(shù)學(xué)命題。 難點：1、學(xué)生不易理解數(shù)學(xué)歸納的思想實質(zhì)，具體表現(xiàn)在不了解第二個步驟的作用，不易根據(jù)歸納假設(shè)作出證明； 2、運用數(shù)學(xué)歸納法時，在“歸納遞推”的步驟中發(fā)現(xiàn)具體問題的遞推關(guān)系。 三、教學(xué)過程 （一）創(chuàng)設(shè)情景 對于數(shù)列{an}，已知， (n=1,2,…), 通過對n=1,2,3,4前4項的歸納，猜想其通項公式為 。這個猜想是否正確需要證明。 一般來說，與正整數(shù)n有關(guān)的命題，當n比較小時可以逐個驗證，但當n較大時，驗證就很麻煩。特別是n可取所有正整數(shù)時逐一驗證是不可能的。因此，我們需要尋求一種方法：通過有限個步驟的推理，證明n取所有正整數(shù)都成立。 （二）研探新知 1、了解多米諾骨牌游戲。 可以看出，只要滿足以下兩條件，所有多米諾骨牌就都能倒下： （1）第一塊骨牌倒下； （2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下。 思考：你認為條件（2）的作用是什么？ 可以看出，條件（2）事實上給出了一個遞推關(guān)系： 當?shù)趉塊倒下時，相鄰的第k+1塊也倒下。 這樣，要使所有的骨牌全部倒下，只要保證（1）（2）成立。 2、用多米諾骨牌原理解決數(shù)學(xué)問題。 思考：你認為證明數(shù)列的通過公式是 這個猜想與上述多米諾骨牌游戲有相似性嗎？你能類比多米諾骨牌游戲解決這個問題嗎？ 分析： 多米諾骨牌游戲原理 通項公式的證明方法 （1）第一塊骨牌倒下。 （1）當n=1時a1=1，猜想成立 （2）若第k塊倒下時，則相鄰的第k+1塊也倒下。 （2）若當n=k時猜想成立，即 ，則當n=k+1時猜想也成立，即 。 根據(jù)（1）和 （2），可知不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。 根據(jù)（1）和（2），可知對任意的正整數(shù)n，猜想都成立。 3、數(shù)學(xué)歸納法的原理 一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進行： （1）（歸納奠基）證明當n取第一個值n0時命題成立； （2）（歸納遞推）假設(shè)n=k()時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。 只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立。 上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法 注意：（1）這兩步步驟缺一不可。 （2）用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時，難點和關(guān)鍵都在第二步，而在這一步主要在于合理運用歸納假設(shè)，結(jié)合已知條件和其他數(shù)學(xué)知識，證明“當n=k+1時命題成立”。 （3）數(shù)學(xué)歸納法可證明有關(guān)的正整數(shù)問題，但并不是所有的正整數(shù)問題都用數(shù)學(xué)歸納法證明，學(xué)習(xí)時要具體問題具體分析。 4、例題講解 例1 課本P94 例2 課本P94 例3．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+3+5+…+(2n－1)=n2。 證明：(1)當n=1時，左邊=1，右邊=1，等式成立. (2)假設(shè)當n=k時，等式成立，就是1+3+5+…+(2k－1)=k2， 那么 1+3+5+…+(2k－1)+［2(k+1)－1］=k2+［2(k+1)－1］=k2+2k+1=(k+1)2。 即當n=k+1時等式也成立。 根據(jù)(1)和(2)，可知等式對任何n∈N *都成立。 （三）課堂練習(xí)： 1、用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+2+3+…+n=。 2、課本P95練習(xí)1、2。 （四）小結(jié) ： 數(shù)學(xué)歸納法的原理和步驟。 （五）布置作業(yè)：