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2019-2020年高中數(shù)學 1.2.1《任意角的三角函數(shù)》教學設計（2） 新人教A版必修4 【教學目標】 1.復習三角函數(shù)的定義、定義域與值域、符號、及誘導公式； 2.利用三角函數(shù)線表示正弦、余弦、正切的三角函數(shù)值； 3.利用三角函數(shù)線比較兩個同名三角函數(shù)值的大小及表示角的范圍. 【導入新課】 （一）復習：（提問） 1．三角函數(shù)的定義及定義域、值域： 練習1：已知角的終邊上一點，且，求的值. 解：由題設知，，所以，得， 從而，解得或． 當時，， ； 當時，，； 當時，，． 2．三角函數(shù)的符號： 練習2：已知且， （1）求角的集合；（2）求角終邊所在的象限；（3）試判斷的符號. 3．誘導公式： 練習3：求下列三角函數(shù)的值： （1），（2），（3）． （二）問題：角是一個圖形概念，也是一個數(shù)量概念（弧度數(shù)）.作為角的函數(shù)——三角函數(shù)是一個數(shù)量概念（比值），但它是否也是一個圖形概念呢？換句話說，能否用幾何方式來表示三角函數(shù)呢？ 新授課階段 O x y a角的終邊 P T M A [邊描述邊畫]以坐標原點為圓心，以單位長度1為半徑畫一個圓，這個圓就叫做單位圓（注意：這個單位長度不一定就是1厘米或1米）.當角為第一象限角時，則其終邊與單位圓必有一個交點，過點作軸交軸于點，則請你觀察: 根據(jù)三角函數(shù)的定義：；. 隨著在第一象限內(nèi)轉(zhuǎn)動，、是否也跟著變化？ 思考：（1）為了去掉上述等式中的絕對值符號，能否給線段、規(guī)定一個適當?shù)姆较?，使它們的取值與點的坐標一致？ （2）你能借助單位圓，找到一條如、一樣的線段來表示角的正切值嗎？我們知道，指標坐標系內(nèi)點的坐標與坐標軸的方向有關.當角的終邊不在坐標軸時,以為始點、為終點，規(guī)定： 當線段與軸同向時，的方向為正向，且有正值；當線段與軸反向時，的方向為負向，且有正值；其中為點的橫坐標.這樣,無論那種情況都有 . 同理,當角的終邊不在軸上時,以為始點、為終點，規(guī)定： 當線段與軸同向時，的方向為正向，且有正值；當線段與軸反向 時，的方向為負向，且有正值；其中為點的橫坐標.這樣,無論那種情況都有 . 像這種被看做帶有方向的線段，叫做有向線段（direct line segment）. 如何用有向線段來表示角的正切呢? 如上圖,過點作單位圓的切線,這條切線必然平行于軸,設它與的終邊交于點,請根據(jù)正切函數(shù)的定義與相似三角形的知識,借助有向線段,我們有 . 我們把這三條與單位圓有關的有向線段,分別叫做角的正弦線、余弦線、正切線，統(tǒng)稱為三角函數(shù)線. 探究：（1）當角的終邊在第二、第三、第四象限時，你能分別作出它們的正弦線、余弦線和正切線嗎？ （2）當?shù)慕K邊與軸或軸重合時，又是怎樣的情形呢？ 三角函數(shù)線 設任意角的頂點在原點，始邊與軸非負半軸重合，終邊與單位圓相交與點 ，過作軸的垂線，垂足為；過點作單位圓的切線，它與角的終邊或其反向延長線交與點. （Ⅰ） （Ⅱ） 由四個圖看出： 當角的終邊不在坐標軸上時，有向線段，于是有 ，，. 我們就分別稱有向線段為正弦線、余弦線、正切線. 我們把這三條與單位圓有關的有向線段,分別叫做角的正弦線、余弦線、正切線，統(tǒng)稱為三角函數(shù)線. 例1 已知，試比較的大小. 處理:師生共同分析解答,目的體會三角函數(shù)線的用處和實質(zhì). 例2 利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大小： 1 與；2 tan與tan. A B o T2 T1 S2 S1 P2 P1 M2 M1 S1 解： 如圖可知： ， tan tan. 課堂小結(jié) (1)了解有向線段的概念. (2)了解如何利用與單位圓有關的有向線段，將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用正弦線、余弦線、正切線表示出來. (3)體會三角函數(shù)線的簡單應用. 作業(yè) 1． 比較下列各三角函數(shù)值的大小(不能使用計算器)： (1)、；（2）、；（3）、. 2．練習三角函數(shù)線的作圖. 3.見 同步練習 部分 拓展提升 1．設角屬于第二象限，且，則角屬于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．給出下列各函數(shù)值：①；②；③；④.其中符號為負的有（ ） A．① B．② C．③ D．④ 3．已知，并且是第二象限的角，那么的值等于（ ） A. B. C. D. 4．若是第四象限的角，則是（ ） A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角 5．設分別是第二、三、四象限角，則點分別在第___、___、___象限． 6．設和分別是角的正弦線和余弦線，則給出的以下不等式： ①；②； ③；④， 其中正確的是_____________________________. 7．若角與角的終邊關于軸對稱，則與的關系是___________. 8．設扇形的周長為，面積為，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是 . 9．與終邊相同的最小正角是_______________. 參考答案 1.C 當時，在第一象限；當時，在第三象限； 而，在第三象限； 2.C ； ； 3.A 4.C ，若是第四象限的角，則是第一象限的角，再逆時針旋轉(zhuǎn) 5.四、三、二 當是第二象限角時，；當是第三象限角時，；當是第四象限角時，； 6.② 7. 與關于軸對稱 8. 9.