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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)歸納法(2)教案 蘇教版選修2-2 一、教學(xué)目標(biāo)： 1．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，理解數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟。 2．掌握數(shù)學(xué)歸納法證明問題的方法，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題 3．能通過“歸納-猜想-證明”處理問題。 二、教學(xué)重點：能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題。 難點：歸納→猜想→證明。 三、教學(xué)過程： 【創(chuàng)設(shè)情境】 問題1：數(shù)學(xué)歸納法的基本思想？ 以數(shù)學(xué)歸納法原理為依據(jù)的演繹推理，它將一個無窮歸納（完全歸納）的過程，轉(zhuǎn)化為一個有限步驟的演繹過程。（遞推關(guān)系） 問題2：數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟？ （1）遞推奠基：當(dāng)n取第一個值n0結(jié)論正確； （2）遞推歸納：假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*，且k≥n0)時結(jié)論正確；（歸納假設(shè)） 證明當(dāng)n=k+1時結(jié)論也正確。（歸納證明） 由(1)，(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確。 數(shù)學(xué)歸納法是直接證明的一種重要方法，應(yīng)用十分廣泛，主要體現(xiàn)在與正整數(shù)有關(guān)的恒等式、不等式；數(shù)的整除性、幾何問題；探求數(shù)列的通項及前n項和等問題。 【探索研究】 問題：用數(shù)學(xué)歸納法證明：能被9整除。 法一：配湊遞推假設(shè)： 法二：計算f(k+1)-f(k)，避免配湊。 說明：①歸納證明時，利用歸納假設(shè)創(chuàng)造條件，是解題的關(guān)鍵。 ②注意從“n=k到n=k+1”時項的變化。 【例題評析】 例1：求證: 能被整除（n∈N+）。 例2：數(shù)列{an}中，,a1=1且 （1）求的值； （2）猜想{an}的通項公式，并證明你的猜想。 說明：用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的常用方法：歸納→猜想→證明 變題：（xx全國理科）設(shè)數(shù)列{an}滿足，n∈N+, (1)當(dāng)a1=2時，求，并猜想{an}的一個通項公式； （2）當(dāng)a1≥3時，證明對所有的n≥1,有 ①an≥n+2 ② 例3：平面內(nèi)有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條直線不共點，問：這n條直線將平面分成多少部分？ 變題：平面內(nèi)有n個圓，其中每兩個圓都相交與兩點，且每三個圓都不相交于同一點，求證：這n個圓把平面分成n2+n+2個部分。 例4：設(shè)函數(shù)f(x)是滿足不等式,(k∈N+)的自然數(shù)x的個數(shù)； （１）求f(x)的解析式； （２）記Sn=f(1)+f(2)+…+f(n),求Sn的解析式； （３）令Ｐn=n2+n-1 (n∈N+),試比較Ｓn與Ｐn的大小。 【課堂小結(jié)】 1.猜歸法是發(fā)現(xiàn)與論證的完美結(jié)合 數(shù)學(xué)歸納法證明正整數(shù)問題的一般方法： 歸納→猜想→證明。 2.兩個注意： （1）是否用了歸納假設(shè)？ （2）從n=k到n=k+1時關(guān)注項的變化？ 【反饋練習(xí)】 1 觀察下列式子 …則可歸納出____ (n∈N*) 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明 2．已知數(shù)列計算根據(jù)計算結(jié)果，猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明。 3.是否存在常數(shù)a、b、c，使等式 對一切都成立？并證明你的結(jié)論. 【課外作業(yè)】 《課標(biāo)檢測》