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2019-2020年高中數(shù)學 圓錐曲線橢圓教案 蘇教版選修1-1 【學習目標】 1. 掌握橢圓的標準方程，會求橢圓的標準方程； 2. 掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì)，能運用橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)處理一些簡單的實際問題； 3. 了解運用曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)的思想方法。 B級要求 【自學評價】 1.橢圓的定義與方程 橢圓定義： 2．橢圓的標準方程：①焦點在x軸上的方程：， ②焦點在y軸上的方程： 3．橢圓的簡單幾何性質(zhì)： 方程 圖像 焦點 范圍 對稱性 頂點 長短軸 準線 離心率 4．平面內(nèi)有兩定點A、B及動點P，設命題甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命題乙是：“點P的軌跡是以A．B為焦點的橢圓”，那么甲是乙成立的 （填“充分不必要條件，必要不充分條件，充要條件，非充分非必要條件”之一）。 5．已知橢圓過點(3,0),,則橢圓的標準方程為 。 6．橢圓的長軸長為4，橢圓中心到其準線的距離為，則橢圓的標準方程為 。 7．如果方程x2+ky2=2表示焦點在y軸的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是 。 【真題解析】(xx江蘇卷) 在平面直角坐標系中，橢圓的焦距為2c，以O為圓心，為半徑作圓，若過作圓的兩條切線相互垂直，則橢圓的離心率為 ▲ 本題主要考查過圓外一點圓的切線知識、橢圓的離心率，考查運算求解能力、數(shù)形結(jié)合能力。 【精題演練】 例1. 求下列橢圓的標準方程 （1）已知橢圓的焦點在坐標軸上，長軸長是短軸長的3倍，且經(jīng)過。 （2）與橢圓有相同焦點，且過點。 （3）橢圓的離心率，過點和的直線與原點的距離為。 [說明]根據(jù)已知條件求橢圓方程時，有以下步驟：（1）定位，有條件確定中心，焦點所在坐標軸（即長軸所在坐標軸），從而確定所求方程為橢圓的標準方程，如無法確定焦點所在的坐標軸，要分焦點在軸上和焦點在軸上兩種情況討論；（2）當根據(jù)條件設出橢圓方程后，要設法建立基本量， ，，的方程組，然后求出基本量。 例2.設F1、F2為橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，已知P、F1、F2是一個直角三角形的三個頂點，且|PF1|>|PF2|，求的值。 [說明]1．橢圓內(nèi)的直角三角形要注意討論直角的情況，靈活運用三角形的特殊關系。 2．有關橢圓焦點的問題要注意利用橢圓的定義。 例 3. 已知F1,F2為橢圓的兩個焦點, 橢圓上存在一點P，使得PF1PF2,求離心率的范圍。 點撥： |PF1|，|PF2|為橢圓的焦半徑公式， 如能恰當?shù)倪\用，常能簡捷地使問題獲解。 例 4. 在平面直角坐標系中，已知圓心在直線上，半徑為的圓C經(jīng)過坐標原點O，橢圓與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10。 （1）求圓C的方程； （2）若F為橢圓的右焦點，點P在圓C上，且滿足，求點P的坐標。 [說明] 1．橢圓與圓的幾何性質(zhì)的綜合是解析幾何考查的新動向。 2．有關橢圓焦點的問題要注意利用橢圓的定義。 例5. 已知橢圓的左焦點為F，左、右頂點分別為A、C，上頂點為B．過F、B、C作⊙P，其中圓心P的坐標為（m，n）． （1）當m＋n>0時，求橢圓離心率的范圍； （2）直線AB與⊙P能否相切？證明你的結(jié)論． [說明] 1．此題主要考查直線與直線、直線與圓以及橢圓的相關知識，要求學生理解三角形外接圓圓心是三邊中垂線的交點，從而大膽求出交點坐標，構(gòu)造關于橢圓中的齊次等式得離心率的范圍． 2．第二小題亦可以用平幾的知識：圓的切割線定理，假設直線AB與⊙P相切，則有AB2＝AFAC，易由橢圓中的關系推出矛盾． 【要點整合】 1. 待定系數(shù)法求橢圓的標準方程要遵循“定形”、“定位”、“定量”三步曲，不能遺忘定位—確定焦點所在坐標軸。 2.通過數(shù)形結(jié)合牢固地掌握橢圓的幾何性質(zhì)，深刻理解橢圓中幾何量、、、、等之間的關系并應用于解題。 3.直線與橢圓相交問題的基本解法是利用直線方程和橢圓方程聯(lián)立消元后轉(zhuǎn)化為關于（或)的一元二次方程，設出交點坐標，借助根與系數(shù)的關系進行整體化簡；對于中點弦及對稱問題運用“點差法”可減少運算量。 4.橢圓的兩個定義從不同的角度反映了橢圓的特征。一般地，遇到動點到兩頂點的距離問題，應聯(lián)想橢圓第一定義；遇到一個動點到一定直線距離問題，應聯(lián)想橢圓第二定義。 5．友情提醒： （1）運用橢圓定義時注意橢圓第一定義的限制條件（兩定點間的距離小于定長）。 （2）橢圓的標準方程有兩種情形，要防止遺漏。 （3）討論直線與橢圓相交時，要注意數(shù)形結(jié)合思想的運用，通過圖形的直觀性的幫助解題，最后要檢驗橢圓是否與直線相交。 橢圓 【學習目標】 1. 掌握橢圓的標準方程，會求橢圓的標準方程； 2. 掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì)，能運用橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)處理一些簡單的實際問題； 3. 了解運用曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)的思想方法。 B級要求 【自學評價】 1.橢圓的定義與方程 橢圓定義：平面內(nèi)到兩個定點F1、F2的距離之和等于定長2a（2a＞|F1F2|）的點的軌跡。 平面內(nèi)到定點F與到定直線l的距離之比等于常數(shù)e（e∈（0，1））的點的軌跡。 2．橢圓的標準方程：①焦點在x軸上的方程：， ②焦點在y軸上的方程：（a＞b＞0）。 3．橢圓的簡單幾何性質(zhì)： 方程 圖像 焦點 范圍 對稱性 橢圓關于y軸、x軸和原點都對稱 頂點 長短軸 長軸: A1A2 長軸長 短軸：B1B2短軸長 準線 離心率 4．平面內(nèi)有兩定點A、B及動點P，設命題甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命題乙是：“點P的軌跡是以A．B為焦點的橢圓”，那么甲是乙成立的必要不充分條件（填“充分不必要條件，必要不充分條件，充要條件，非充分非必要條件”之一）。 5．已知橢圓過點(3,0),,則橢圓的標準方程為 或 。 6．橢圓的長軸長為4，橢圓中心到其準線的距離為，則橢圓的標準方程為或。 7．如果方程x2+ky2=2表示焦點在y軸的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是0＜k＜1。 【真題解析】(xx江蘇卷) 在平面直角坐標系中，橢圓的焦距為2c，以O為圓心，為半徑作圓，若過作圓的兩條切線相互垂直，則橢圓的離心率為 ▲ 本題主要考查過圓外一點圓的切線知識、橢圓的離心率，考查運算求解能力、數(shù)形結(jié)合能力。 【解】設切線PA、PB 互相垂直，又半徑OA 垂直于PA，所以△OAP 是等腰直角三角形，故，解得。 答案： 【精題演練】 1. 求下列橢圓的標準方程 （1）已知橢圓的焦點在坐標軸上，長軸長是短軸長的3倍，且經(jīng)過。 （2）與橢圓有相同焦點，且過點。 （3）橢圓的離心率，過點和的直線與原點的距離為。 解：（1）當焦點在軸上時，設橢圓的標準方程為（），又M(3,2)在橢圓上，由題意，得 ， 橢圓的標準方程為 當焦點在軸上時，設橢圓的標準方程為（），又M(3,2)在橢圓上，由題意，得 ， 橢圓的標準方程為 綜上述橢圓的標準方程為或。 （2）橢圓的焦點為 ， 設所求橢圓的標準方程為（），由題意，得 ， 橢圓的標準方程為 （3）由題意，設AB的直線方程為，根據(jù)題意，得 橢圓的標準方程為 [說明]根據(jù)已知條件求橢圓方程時，有以下步驟：（1）定位，有條件確定中心，焦點所在坐標軸（即長軸所在坐標軸），從而確定所求方程為橢圓的標準方程，如無法確定焦點所在的坐標軸，要分焦點在軸上和焦點在軸上兩種情況討論；（2）當根據(jù)條件設出橢圓方程后，要設法建立基本量， ，，的方程組，然后求出基本量。 2.設F1、F2為橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，已知P、F1、F2是一個直角三角形的三個頂點，且|PF1|>|PF2|，求的值。 解：[法一]：當∠PF2F1900時，由題意，得 ，又|PF1|>|PF2| ， 當∠F1PF2900時，同理求得|PF1|4，|PF2|2 [法二]：當∠PF2F1900時， F2坐標為（，0）， ， P（） |PF2|， |PF1|2-|PF2| 當∠F1PF2900，設P()，由題意，得 P（），又|PF1|>|PF2| P（），4，2 [說明]1．橢圓內(nèi)的直角三角形要注意討論直角的情況，靈活運用三角形的特殊關系。 2．有關橢圓焦點的問題要注意利用橢圓的定義。 3. 已知F1,F2為橢圓的兩個焦點, 橢圓上存在一點P，使得PF1PF2,求離心率的范圍。 解：設P()，則F1（-，0），F(xiàn)2（，0） ， 又PF1PF2 -1 ， ，又 點撥： |PF1|，|PF2|為橢圓的焦半徑公式， 如能恰當?shù)倪\用，常能簡捷地使問題獲解。 4. 在平面直角坐標系中，已知圓心在直線上，半徑為的圓C經(jīng)過坐標原點O，橢圓與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10。 （1）求圓C的方程； （2）若F為橢圓的右焦點，點P在圓C上，且滿足，求點P的坐標。 解：（1）由已知可設圓心坐標為，得，所以圓心坐標為，所以圓的方程為 （2）設，由已知得，則， 解之得： [說明] 1．橢圓與圓的幾何性質(zhì)的綜合是解析幾何考查的新動向。 2．有關橢圓焦點的問題要注意利用橢圓的定義。 5. 已知橢圓的左焦點為F，左、右頂點分別為A、C，上頂點為B．過F、B、C作⊙P，其中圓心P的坐標為（m，n）． （1）當m＋n>0時，求橢圓離心率的范圍； （2）直線AB與⊙P能否相切？證明你的結(jié)論． 解：（1）設F、B、C的坐標分別為（－c，0），（0，b），（1，0），則FC、BC的中垂線分別為，．聯(lián)立方程組，解出，即，即（1＋b）（b－c）>0，∴ b>c． 從而即有，∴．又，∴． （2）直線AB與⊙P不能相切． 由，＝．如果直線AB與⊙P相切，則＝－1．解出c＝0或2，與0＜c＜1矛盾，所以直線AB與⊙P不能相切． [說明] 1．此題主要考查直線與直線、直線與圓以及橢圓的相關知識，要求學生理解三角形外接圓圓心是三邊中垂線的交點，從而大膽求出交點坐標，構(gòu)造關于橢圓中的齊次等式得離心率的范圍． 2．第二小題亦可以用平幾的知識：圓的切割線定理，假設直線AB與⊙P相切，則有AB2＝AFAC，易由橢圓中的關系推出矛盾． 【要點整合】 1. 待定系數(shù)法求橢圓的標準方程要遵循“定形”、“定位”、“定量”三步曲，不能遺忘定位—確定焦點所在坐標軸。 2.通過數(shù)形結(jié)合牢固地掌握橢圓的幾何性質(zhì)，深刻理解橢圓中幾何量、、、、等之間的關系并應用于解題。 3.直線與橢圓相交問題的基本解法是利用直線方程和橢圓方程聯(lián)立消元后轉(zhuǎn)化為關于（或)的一元二次方程，設出交點坐標，借助根與系數(shù)的關系進行整體化簡；對于中點弦及對稱問題運用“點差法”可減少運算量。 4.橢圓的兩個定義從不同的角度反映了橢圓的特征。一般地，遇到動點到兩頂點的距離問題，應聯(lián)想橢圓第一定義；遇到一個動點到一定直線距離問題，應聯(lián)想橢圓第二定義。 5．友情提醒： （1）運用橢圓定義時注意橢圓第一定義的限制條件（兩定點間的距離小于定長）。 （2）橢圓的標準方程有兩種情形，要防止遺漏。 （3）討論直線與橢圓相交時，要注意數(shù)形結(jié)合思想的運用，通過圖形的直觀性的幫助解題，最后要檢驗橢圓是否與直線相交。 【能力提升】 1. 已知橢圓上有一點P到右焦點的距離是5，則它到左準線的距離為4。 2．若橢圓的離心率，則值或。 3．（書本P28習題3改編）已知為橢圓的兩個焦點，過作橢圓的弦AB，若△的周長為16，橢圓的離心率為，則橢圓的方程為。 4．橢圓=1的一個焦點為F1，點P在橢圓上.如果線段PF1的中點M在y軸上，那么點M的縱坐標是。 5．若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則的值為。 6．以橢圓的左焦點為圓心，c為半徑的圓與橢圓的左準線交于不同的兩點，則該橢圓的離心率的取值范圍是。 7．（書本P32練習5改編）已知橢圓的對稱軸在坐標軸上，短軸的一個端點與兩個焦點組成一個等邊三角形，焦點到同側(cè)頂點的距離為，求橢圓的方程。 解：由題意設橢圓的半長軸為，半短軸為，半焦距為 橢圓的標準方程為或 8． 橢圓的焦點為F1,F2，點P為其上的動點，當F1PF2為鈍角時，求P點橫坐標的取值范圍。 解：由題意得，，設P到左焦點F1的距離為，P到右焦點F2的距離為，P()-(-),,|PF1| 同理得|PF2| 又F1PF2為鈍角 cosF1PF20 9．（書本P297改編）已知定點A、B間的距離為2，以B為圓心作 半徑為的圓，P為圓上一點，線段AP的垂直平分線l與直 線PB交于點M，當P在圓周上運動時點M的軌跡記為曲線C． 建立適當?shù)淖鴺讼?，求曲線C的方程，并說明它是什么樣的曲線。 P A B M l O x y 解：以AB中點為坐標原點，直線AB所在直線為軸建立平面直角坐標系（如圖）， 則A(－1,0)，B(1,0).設M(),由題意，得 |MP||MA|, |BP|， |MB|+|MA| 曲線C是以A、B為焦點，長軸長為的橢圓， 其方程為 10．在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸和y軸上（如圖），且 OC=1，OA=a+1(a>1)，點D在邊OA上，滿足OD=a. 分別以OD、OC為長、短半軸的 橢圓在矩形及其內(nèi)部的部分為橢圓弧CD. 直線l：y=－x+b與橢圓弧相切，與OA交于 點E. （1）求證：； （2）設直線l將矩形OABC分成面積相等的兩部分， 求直線l的方程； （3）在（2）的條件下，設圓M在矩形及其內(nèi)部， 且與l和線段EA都相切，求面積最大的圓M 的方程． 解：設橢圓的方程為. 由消去得. 由于直線l與橢圓相切，故△＝，化簡得. ① （2）由題意知A（，0），B（，1），C（0，1），于是OB的中點為. 因為l將矩形OABC分成面積相等的兩部分，所以l過點，即，亦即. ② 由①②解得，故直線l的方程為 （3）由（2）知.因為圓M與線段EA相切，所以可設其方程為.因為圓M在矩形及其內(nèi)部，所以 ④ 圓M與 l相切，且圓M在l上方，所以，即. 代入④得即 所以圓M面積最大時，，這時，. 故圓M面積最大時的方程為