2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.2 任意角的三角函數(shù) 1.2.1 任意角的三角函數(shù)教案 蘇教版必修4.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.2 任意角的三角函數(shù) 1.2.1 任意角的三角函數(shù)教案 蘇教版必修4 教學(xué)分析 學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)銳角三角函數(shù)，它是用直角三角形邊長(zhǎng)的比來(lái)刻畫(huà)的．銳角三角函數(shù)的引入與“解三角形”有直接關(guān)系．任意角的三角函數(shù)是刻畫(huà)周期變化現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，它與“解三角形”已經(jīng)沒(méi)有什么關(guān)系了．因此，與學(xué)習(xí)其他基本初等函數(shù)一樣，學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)，關(guān)鍵是要使學(xué)生理解三角函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)，并能用三角函數(shù)描述一些簡(jiǎn)單的周期變化規(guī)律，解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題． 本節(jié)以銳角三角函數(shù)為引子，利用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù)．由于三角函數(shù)與單位圓之間的這種緊密的內(nèi)部聯(lián)系，使得我們?cè)谟懻撊呛瘮?shù)的問(wèn)題時(shí)，對(duì)于研究哪些問(wèn)題以及用什么方法研究這些問(wèn)題等，都可以從圓的性質(zhì)(特別是對(duì)稱(chēng)性)中得到啟發(fā)．三角函數(shù)的研究中，數(shù)形結(jié)合思想起著非常重要的作用． 利用信息技術(shù)，可以很容易地建立角的終邊和單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)、單位圓中的三角函數(shù)線(xiàn)之間的聯(lián)系，并在角的變化過(guò)程中，將這種聯(lián)系直觀(guān)地體現(xiàn)出來(lái)，所以信息技術(shù)可以幫助學(xué)生更好地理解三角函數(shù)的本質(zhì)；激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)研究的熱情，培養(yǎng)學(xué)生勇于發(fā)現(xiàn)、勇于探索、勇于創(chuàng)新的精神；通過(guò)學(xué)生之間、師生之間的交流合作，實(shí)現(xiàn)共同探究、教學(xué)相長(zhǎng)的教學(xué)情境． 三維目標(biāo) 1．通過(guò)借助單位圓理解并掌握任意角的三角函數(shù)定義，理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)，并從任意角的三角函數(shù)定義認(rèn)識(shí)正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域，理解并掌握正弦、余弦、正切函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào)． 2．正確利用與單位圓有關(guān)的有向線(xiàn)段，將任意角α的正弦、余弦、正切函數(shù)值表示出來(lái)，即用正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)、正切線(xiàn)表示出來(lái)． 3．能初步應(yīng)用定義分析和解決與三角函數(shù)值有關(guān)的一些簡(jiǎn)單問(wèn)題． 重點(diǎn)難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：任意角的正弦、余弦、正切的定義． 教學(xué)難點(diǎn)：用角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)刻畫(huà)三角函數(shù)；三角函數(shù)符號(hào)的掌握；利用與單位圓有關(guān)的有向線(xiàn)段，將任意角α的正弦、余弦、正切函數(shù)值用幾何形式表示． 課時(shí)安排 2課時(shí) 第1課時(shí) 導(dǎo)入新課 我們把角的范圍推廣了，銳角三角函數(shù)的定義還能適用嗎？譬如三角形內(nèi)角和為180，那么sin200的值還是三角形中200的對(duì)邊與斜邊的比值嗎？類(lèi)比角的概念的推廣，怎樣修正三角函數(shù)定義？由此展開(kāi)新課．另外用“單位圓定義法”單刀直入給出定義，然后再在適當(dāng)時(shí)機(jī)聯(lián)系銳角三角函數(shù)，這也是一種不錯(cuò)的選擇． 推進(jìn)新課 任意角的三角函數(shù) 1．任意角的三角函數(shù)的定義． 角α的終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x，y)，它與原點(diǎn)的距離為r(r>0)，則角α的三角函數(shù)定義為： 三角函數(shù) 定義 定義域 sinα R cosα R tanα {α|α≠kπ＋，k∈Z} 2．各象限角的三角函數(shù)值的符號(hào)如下圖所示． 圖1 三角函數(shù)正值口訣：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ兩切，Ⅳ余弦． 教師提示：前面我們對(duì)角的概念已經(jīng)進(jìn)行了擴(kuò)充，并且學(xué)習(xí)了弧度制，知道了角的集合與實(shí)數(shù)集是一一對(duì)應(yīng)的，在此基礎(chǔ)上，我們來(lái)研究任意角的三角函數(shù)．教師在直角三角形所在的平面上建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，畫(huà)出角α的終邊；學(xué)生給出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，并用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)．如圖2.設(shè)銳角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的正半軸重合，那么它的終邊在第一象限．在α的終邊上任取一點(diǎn)P(x，y)，它與原點(diǎn)的距離r＝>0.過(guò)P作x軸的垂線(xiàn)，垂足為M，則線(xiàn)段OM的長(zhǎng)度為x，線(xiàn)段MP的長(zhǎng)度為y. 圖2 根據(jù)初中學(xué)過(guò)的三角函數(shù)定義，我們有 sinα＝＝，cosα＝＝，tanα＝＝. 怎樣將銳角的三角函數(shù)推廣到任意角的三角函數(shù)呢？ 教師先讓學(xué)生們相互討論，并讓他們動(dòng)手畫(huà)出圖形，看看從圖形中是否能找出某種關(guān)系來(lái)．然后提問(wèn)學(xué)生，由學(xué)生回答教師的問(wèn)題，教師再引導(dǎo)學(xué)生選幾個(gè)點(diǎn)，計(jì)算一下對(duì)應(yīng)的比值，獲得具體認(rèn)識(shí)，并由相似三角形的性質(zhì)來(lái)證明．最后可以發(fā)現(xiàn)，由相似三角形的知識(shí)，對(duì)于確定的角α，這三個(gè)比值不會(huì)隨點(diǎn)P在α的終邊上的位置的改變而改變．也就是說(shuō)，對(duì)于確定的角α，比值和都惟一確定，故正弦、余弦都是角α的函數(shù)．當(dāng)α＝＋kπ(k∈Z)時(shí)，角α的終邊在y軸上，故有x＝0，這時(shí)tanα無(wú)意義．除此之外，對(duì)于確定的角α(α≠＋kπ，k∈Z)，比值也是惟一確定的，故正切也是角α的函數(shù)．sinα、cosα、tanα分別叫做角α的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)．以上三種函數(shù)都稱(chēng)為三角函數(shù)(trigonometric function)． 由定義可知，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的值在各象限的符號(hào)，如圖3所示． 圖3 與學(xué)生一起討論得到以上結(jié)論后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)分析三角函數(shù)定義中的自變量是什么，對(duì)應(yīng)關(guān)系有什么特點(diǎn)，函數(shù)值是什么．特別注意α既表示一個(gè)角，又是一個(gè)實(shí)數(shù)(弧度數(shù))：“它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)”包含兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系．從而可以把三角函數(shù)看成是自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù)．值得注意的是：(1)正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)． (2)sinα不是sin與α的乘積，而是一個(gè)比值；三角函數(shù)的記號(hào)是一個(gè)整體，離開(kāi)自變量的“sin”“tan”等是沒(méi)有意義的． 研究函數(shù)我們首先要考慮它的定義域，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生從定義出發(fā)，利用坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征得定義域．對(duì)于正弦函數(shù)sinα＝，因?yàn)閥恒有意義，即α取任意實(shí)數(shù)，y恒有意義，也就是說(shuō)sinα恒有意義，所以正弦函數(shù)的定義域是R；類(lèi)似地可寫(xiě)出余弦函數(shù)的定義域；對(duì)于正切函數(shù)tanα＝，因?yàn)閤＝0時(shí)，無(wú)意義，即tanα無(wú)意義，又當(dāng)且僅當(dāng)角α的終邊落在縱軸上時(shí)，才有x＝0，所以當(dāng)α的終邊不在縱軸上時(shí)，恒有意義，即tanα恒有意義，所以正切函數(shù)的定義域是α≠＋kπ(k∈Z)．(由學(xué)生填寫(xiě)下表) 三角函數(shù) 定義域 sinα R cosα R tanα {α|α≠＋kπ，k∈Z} 三角函數(shù)的定義告訴我們，各三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào)，取決于x，y的符號(hào)，當(dāng)點(diǎn)P在第一、二象限時(shí)，縱坐標(biāo)y>0，點(diǎn)P在第三、四象限時(shí)，縱坐標(biāo)y<0，所以正弦函數(shù)值對(duì)于第一、二象限角是正的，對(duì)于第三、四象限角是負(fù)的(可制作課件展示)；同樣地，余弦函數(shù)在第一、四象限是正的，在第二、三象限是負(fù)的；正切、余切函數(shù)在第一、三象限是正的，在第二、四象限是負(fù)的．從而完成上面結(jié)論的探究． 思路1 例1已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2，－3)，求α的正弦、余弦和正切值． 圖4 解：因?yàn)閤＝2，y＝－3，所以r＝＝. 所以sinα＝＝＝－，cosα＝＝＝， tanα＝＝－. 點(diǎn)評(píng)：本例是已知角α終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求角α的三角函數(shù)值問(wèn)題．可以先根據(jù)三角形相似將這一問(wèn)題化歸到單位圓上，再由定義得解. 變式訓(xùn)練 求的正弦、余弦和正切值． 解：在平面直角坐標(biāo)系中，作∠AOB＝，如圖5. 圖5 易知∠AOB的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為(，－)． 所以sin＝－，cos＝，tan＝－. 例2見(jiàn)課本本節(jié)例2. 變式訓(xùn)練 1．求證：當(dāng)且僅當(dāng)下列不等式組成立時(shí)，角θ為第三象限角． 證明：我們證明如果①②式都成立，那么θ為第三象限角． 因?yàn)棰賡inθ<0成立，所以θ角的終邊可能位于第三或第四象限，也可能位于y軸的非正半軸上； 又因?yàn)棰谑絫anθ>0成立，所以θ角的終邊可能位于第一或第三象限． 因?yàn)棰佗谑蕉汲闪?，所以θ角的終邊只能位于第三象限． 于是角θ為第三象限角． 反過(guò)來(lái)請(qǐng)同學(xué)們自己證明． 點(diǎn)評(píng)：本例的目的是認(rèn)識(shí)不同位置的角對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值的符號(hào)，其條件以一個(gè)不等式出現(xiàn)，在教學(xué)時(shí)要讓學(xué)生把問(wèn)題的條件、結(jié)論弄清楚，然后再給出證明．這一問(wèn)題的解決可以訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力. 2.已知cosθtanθ<0，那么角θ是( ) A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角 答案：C 思路2 例1已知角α的終邊在直線(xiàn)y＝－3x上，則10sinα＋3secα＝________. 活動(dòng)：要讓學(xué)生獨(dú)立思考這一題目，本題雖然是個(gè)填空題，看似簡(jiǎn)單但內(nèi)含分類(lèi)討論思想，教師可以找兩個(gè)學(xué)生來(lái)板演這個(gè)例題．對(duì)解答思路正確的學(xué)生給以鼓勵(lì)，對(duì)思路受阻的學(xué)生教師要引導(dǎo)其思路的正確性，并適時(shí)地點(diǎn)撥學(xué)生：假如是個(gè)大的計(jì)算題應(yīng)該怎樣組織步驟？ 解析：設(shè)角α終邊上任一點(diǎn)為P(k，－3k)(k≠0)，則 x＝k，y＝－3k，r＝＝|k|. (1)當(dāng)k>0時(shí)，r＝k，α是第四象限角， sinα＝＝＝－，secα＝＝＝， ∴10sinα＋3secα＝10(－)＋3＝－3＋3＝0. (2)當(dāng)k<0時(shí)，r＝－k，α為第二象限角， sinα＝＝＝，secα＝＝＝－， ∴10sinα＋3secα＝10＋3(－)＝3－3＝0. 綜合以上兩種情況均有10sinα＋3secα＝0. 答案：0 點(diǎn)評(píng)：本題的解題關(guān)鍵是要清楚當(dāng)k>0時(shí)，P(k，－3k)是第四象限內(nèi)的點(diǎn)，角α的終邊在第四象限；當(dāng)k<0時(shí)，P(k，－3k)是第二象限內(nèi)的點(diǎn)，角α的終邊在第二象限內(nèi)，這與角α的終邊在y＝－3x上是一致的． 例2求函數(shù)y＝＋tanα的定義域． 活動(dòng)：教師讓學(xué)生先回顧求函數(shù)的定義域需要注意哪些特點(diǎn)，并讓學(xué)生歸納出一些常見(jiàn)函數(shù)有意義的要求，根據(jù)函數(shù)有意義的特征來(lái)求自變量的范圍．對(duì)于三角函數(shù)這種特殊的函數(shù)在解三角不等式時(shí)要結(jié)合三角函數(shù)的定義進(jìn)行．求含正切函數(shù)的組合型三角函數(shù)的定義域時(shí)，正切函數(shù)本身的定義域往往被忽略，教師提醒學(xué)生應(yīng)注意這種情況．同時(shí)，函數(shù)的定義域是一個(gè)集合，所以結(jié)論要用集合形式表示． 解：要使函數(shù)y＝＋tanα有意義，則sinα≥0且α≠kπ＋(k∈Z)． 由正弦函數(shù)的定義知道，sinα≥0就是角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)非負(fù)． ∴角α的終邊在第一、二象限或在x軸上或在y軸非負(fù)半軸上，即2kπ≤α≤π＋2kπ(k∈Z)． ∴函數(shù)的定義域是{α|2kπ≤α<＋2kπ，或＋2kπ<α≤(2k＋1)π，k∈Z}． 點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是弄清楚要使函數(shù)式有意義，必須sinα≥0，且tanα有意義，由此推導(dǎo)出α的取值范圍就是函數(shù)的定義域. 變式訓(xùn)練 求下列函數(shù)的定義域： (1)y＝sinx＋cosx；(2)y＝sinx＋tanx；(3)y＝. 解：(1)∵使sinx、cosx有意義的x∈R， ∴y＝sinx＋cosx的定義域?yàn)镽. (2)要使函數(shù)有意義，必須使sinx與tanx有意義． ∴有 ∴函數(shù)y＝sinx＋tanx的定義域?yàn)閧x|x≠kπ＋，k∈Z}． (3)要使函數(shù)有意義，必須使tanx有意義，且tanx≠0. ∴有(k∈Z)． ∴函數(shù)y＝的定義域?yàn)閧x|x≠，k∈Z}. 課本本節(jié)練習(xí)1～6. 本節(jié)課我們給出了任意角三角函數(shù)的定義，并且討論了正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域，任意角的三角函數(shù)實(shí)質(zhì)上是銳角三角函數(shù)的擴(kuò)展，是將銳角三角函數(shù)中邊的比變?yōu)樽鴺?biāo)與距離、坐標(biāo)與坐標(biāo)的比，記憶方法可用銳角三角函數(shù)類(lèi)比記憶，至于三角函數(shù)的定義域可由三角函數(shù)的定義分析得到． 課本習(xí)題1.2 1,5,6. 關(guān)于三角函數(shù)定義法，總的來(lái)說(shuō)就兩種：“單位圓定義法”與“終邊定義法”．這兩種方法本質(zhì)上是一致的．正因?yàn)檫@樣，各種數(shù)學(xué)出版物中，兩種定義方法都有采用．在學(xué)習(xí)本節(jié)的過(guò)程中可以與初中學(xué)習(xí)的三角函數(shù)定義進(jìn)行類(lèi)比、學(xué)習(xí)．理解任意角三角函數(shù)的定義不但是學(xué)好本節(jié)內(nèi)容的關(guān)鍵，也是學(xué)好本章內(nèi)容的關(guān)鍵．在教學(xué)中，教師應(yīng)該充分調(diào)動(dòng)學(xué)生獨(dú)立思考和總結(jié)的能力，以鞏固對(duì)知識(shí)的理解和掌握． 教師在教學(xué)中，始終引導(dǎo)學(xué)生緊扣三角函數(shù)的定義，善于利用數(shù)形結(jié)合．在利用三角函數(shù)定義進(jìn)行求值時(shí)，應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)要注意橫向聯(lián)系，即不僅僅能求出該值，還要善于觀(guān)察該值與其他三角函數(shù)值之間的聯(lián)系，找出規(guī)律來(lái)求解． 一、關(guān)于余切、正割、余割函數(shù) 設(shè)α是一個(gè)任意大小的角，角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P(x，y)，那么除角α的正弦、余弦、正切外，還可定義角α的余切、正割、余割，它們分別是 cotα＝，secα＝，cscα＝. 角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割統(tǒng)稱(chēng)為角α的三角函數(shù)． 二、備用習(xí)題 1．角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2a,3a)(a≠0)，則cosα的值是( ) A. B. C． D． 2．已知tanαcosα>0，且<0，則α在( ) A．第二象限 B．第三象限 C．第四象限 D．第三、四象限 3．下列各三角函數(shù)值中，負(fù)值的個(gè)數(shù)是( ) ①sin(－660)?、趖an160?、踓os(－740)?、躶in(－420)cos570 A．1 B．2 C．3 D．4 4.＝__________. 5．確定下列各式的符號(hào)： (1)sin105cos230；(2)cos6tan6；(3)tan191－cos191. 6．已知tanx>0，且sinx＋cosx>0，則角x是第__________象限角． 參考答案：1.D 2.A 3.A 4. 5．解：(1)∵105、230分別是第二、三象限角， ∴sin105>0，cos230<0.∴sin105cos230<0. (2)∵<6<2π，∴6是第四象限角． ∴cos6>0，tan6<0.∴cos6tan6<0. (3)∵tan191>0，cos191<0，∴tan191－cos191>0. 6．一 解析：由tanx>0，知x為第一或第三象限角，而當(dāng)x是第三象限角時(shí)，sinx與cosx都取負(fù)值，這與sinx＋cosx>0矛盾，故知角x是第一象限角． 第2課時(shí) 導(dǎo)入新課 思路1.(情境導(dǎo)入)同學(xué)們都在一些旅游景地或者在公園中見(jiàn)過(guò)大觀(guān)覽車(chē)，大家是否想過(guò)大觀(guān)覽車(chē)在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，座椅離地面的高度隨著轉(zhuǎn)動(dòng)角度的變化而變化，二者之間有怎樣的相依關(guān)系呢？由此導(dǎo)入新課． 思路2.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)我們研究了三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào)，前面還分析討論了三角函數(shù)的定義域，這些內(nèi)容的研究，都是建立在任意角的三角函數(shù)定義之上的，這些知識(shí)在以后我們繼續(xù)學(xué)習(xí)“三角”內(nèi)容時(shí)，是經(jīng)常、反復(fù)運(yùn)用的，請(qǐng)同學(xué)們務(wù)必在理解的基礎(chǔ)上要加強(qiáng)記憶．由三角函數(shù)的定義我們知道，對(duì)于角α的各種三角函數(shù)我們都是用比值來(lái)表示的，或者說(shuō)是用數(shù)來(lái)表示的，今天我們?cè)賮?lái)學(xué)習(xí)正弦、余弦、正切函數(shù)的另一種表示方法——幾何表示法．我們知道，直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)與坐標(biāo)軸的方向有關(guān)．因此自然產(chǎn)生一個(gè)想法是以坐標(biāo)軸的方向來(lái)規(guī)定有向線(xiàn)段的方向，以使它們的取值與點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)． 推進(jìn)新課 活動(dòng)：1.任意角的三角函數(shù)的幾何表示，即三角函數(shù)線(xiàn)． 2．有向線(xiàn)段，有向線(xiàn)段的數(shù)量及單位圓來(lái)表示三角函數(shù)． 教師指導(dǎo)學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出單位圓，設(shè)任意角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交于點(diǎn)P(x，y)，x軸的正半軸與單位圓相交于A(yíng)(1,0)，過(guò)P作x軸的垂線(xiàn)，垂足為M；過(guò)A作單位圓的切線(xiàn)，這條切線(xiàn)必平行于y軸(垂直于同一條直線(xiàn)的兩直線(xiàn)平行)，設(shè)它與角α的終邊或其反向延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)T.教師點(diǎn)撥學(xué)生觀(guān)察線(xiàn)段的方向與點(diǎn)P的坐標(biāo)．顯然，線(xiàn)段OM的長(zhǎng)度為|x|，線(xiàn)段MP的長(zhǎng)度為|y|，它們都只能取非負(fù)值． 當(dāng)角α的終邊不在坐標(biāo)軸上時(shí)，我們可以把OM、MP都看作帶有方向的線(xiàn)段： 如果x>0，OM與x軸同向，規(guī)定此時(shí)OM具有正值x；如果x<0，OM與x軸正向相反(即反向)，規(guī)定此時(shí)OM具有負(fù)值x，所以不論哪一種情況，都有OM＝x. 如果y>0，把MP看作與y軸同向，規(guī)定此時(shí)MP具有正值y；如果y<0，把MP看作與y軸反向，規(guī)定此時(shí)MP具有負(fù)值y，所以不論哪一種情況，都有MP＝y(tǒng). 引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察OM、MP都是帶有方向的線(xiàn)段，這種被看作帶有方向的線(xiàn)段叫做有向線(xiàn)段． 于是，根據(jù)正弦、余弦函數(shù)的定義，就有sinα＝＝＝y(tǒng)＝MP，cosα＝＝＝x＝OM. 這兩條與單位圓有關(guān)的有向線(xiàn)段MP、OM分別叫做角α的正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)． 類(lèi)似地，我們把OA、AT也看作有向線(xiàn)段，那么根據(jù)正切函數(shù)的定義和相似三角形的知識(shí)，就有tanα＝＝＝AT. 這條與單位圓有關(guān)的有向線(xiàn)段AT，叫做角α的正切線(xiàn)(如圖6、7)． 當(dāng)角α終邊在y軸的右側(cè)時(shí)(圖6)，在角α終邊上取點(diǎn)T(1，y′)，則tanα＝＝y(tǒng)′＝AT(A為單位圓與x軸正半軸的交點(diǎn))；當(dāng)角α終邊在y軸的左側(cè)時(shí)(圖7)，在角α終邊的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)T(1，y′)，由于它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q(－1，－y′)在角α終邊上，故有tanα＝＝y(tǒng)′＝AT. 圖6 圖7 即總有tanα＝AT. 因此，我們把有向線(xiàn)段AT叫做角α的正切線(xiàn)． 有向線(xiàn)段MP、OM、AT都稱(chēng)為三角函數(shù)線(xiàn)． 當(dāng)角α的終邊在不同象限時(shí)，其三角函數(shù)線(xiàn)如圖8所示． 圖8 師生共同討論探究，最后一致得出以下幾點(diǎn)： (1)當(dāng)角α的終邊在y軸上時(shí)，余弦線(xiàn)變成一個(gè)點(diǎn)，正切線(xiàn)不存在． (2)當(dāng)角α的終邊在x軸上時(shí)，正弦線(xiàn)、正切線(xiàn)都變成點(diǎn)． (3)正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)、正切線(xiàn)都是與單位圓有關(guān)的有向線(xiàn)段，所以作某角的三角函數(shù)線(xiàn)時(shí)，一定要先作單位圓． (4)線(xiàn)段有兩個(gè)端點(diǎn)，在用字母表示正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)、正切線(xiàn)時(shí)，要先寫(xiě)起點(diǎn)字母，再寫(xiě)終點(diǎn)字母，不能顛倒；或者說(shuō)，含原點(diǎn)的線(xiàn)段，以原點(diǎn)為起點(diǎn)，不含原點(diǎn)的線(xiàn)段，以此線(xiàn)段與x軸的公共點(diǎn)為起點(diǎn)． (5)三種有向線(xiàn)段的正負(fù)與坐標(biāo)軸正反方向一致，三種有向線(xiàn)段的數(shù)量與三種三角函數(shù)值相同． 正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)、正切線(xiàn)統(tǒng)稱(chēng)為三角函數(shù)線(xiàn)． 例1如圖9，α、β的終邊分別與單位圓交于點(diǎn)P、Q，過(guò)A(1,0)作切線(xiàn)AT，交射線(xiàn)OP于點(diǎn)T，交射線(xiàn)OQ的反向延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)T′，點(diǎn)P、Q在x軸上的射影分別為點(diǎn)M、N，則sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________，sinβ＝________，cosβ＝________，tanβ＝________. 圖9 活動(dòng)：根據(jù)三角函數(shù)線(xiàn)的定義，可知sinα＝MP，cosα＝OM，tanα＝AT，sinβ＝NQ，cosβ＝ON，tanβ＝AT′. 答案：MP OM AT NQ ON AT′ 點(diǎn)評(píng)：掌握三角函數(shù)線(xiàn)的作法，注意用有向線(xiàn)段表示三角函數(shù)線(xiàn)時(shí)，字母的書(shū)寫(xiě)順序不能隨意顛倒. 變式訓(xùn)練 利用三角函數(shù)線(xiàn)證明|sinα|＋|cosα|≥1. 解：當(dāng)α的終邊落在坐標(biāo)軸上時(shí)，正弦(或余弦)線(xiàn)變成一個(gè)點(diǎn)，而余弦(或正弦)線(xiàn)的長(zhǎng)等于r，所以|sinα|＋|cosα|＝1. 當(dāng)角α終邊落在四個(gè)象限時(shí)，利用三角形兩邊之和大于第三邊有|sinα|＋|cosα|＝|OM|＋|MP|>1，∴|sinα|＋|cosα|≥1. 例2證明恒等式＋＋＋＝2. 活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)證明恒等式的方法與步驟，特別地，在證明三角恒等式時(shí)，一般地是從較繁的一邊推向較簡(jiǎn)的一邊．從方向上來(lái)推證三角恒等式主要有三種推證方法，即從左邊推向右邊；從右邊推向左邊；左、右兩邊同推向第三個(gè)式子． 證法一：設(shè)M(x，y)為角α終邊上異于原點(diǎn)的一點(diǎn)，|OM|＝r，由三角函數(shù)定義，有 sinα＝，cosα＝，secα＝，cscα＝. 原式左邊＝＋＋＋ ＝＋＋＋ ＝＋ ＝2＝右邊． ∴原等式成立． 證法二：左邊＝＋＋＋ ＝＋＋＋ ＝＋ ＝2 ＝右邊． ∴左邊＝右邊． ∴原等式成立． 點(diǎn)評(píng)：根據(jù)本題的特點(diǎn)，被證式的左邊比較復(fù)雜，故可由左邊證向右邊. 變式訓(xùn)練 求證：＝. 證明：設(shè)M(x，y)為α終邊上異于原點(diǎn)的一點(diǎn)，|OM|＝r，由三角函數(shù)定義，有sinα＝，cosα＝，tanα＝，secα＝. 左邊＝＝＝ ＝＝ ＝＝， 右邊＝＝，∴左邊＝右邊，故原等式成立. 課本本節(jié)練習(xí)7、8. 本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了有向線(xiàn)段的定義，正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)、正切線(xiàn)的定義，這三種三角函數(shù)線(xiàn)都是一些特殊的有向線(xiàn)段，其之所以特殊，一是其與坐標(biāo)軸平行(或重合)，二是其與單位圓有關(guān)，這些線(xiàn)段分別都可以表示相應(yīng)三角函數(shù)的值，所以說(shuō)它們是三角函數(shù)的一種幾何表示． 三角函數(shù)線(xiàn)是利用數(shù)形結(jié)合的思想解決有關(guān)問(wèn)題的重要工具，利用三角函數(shù)線(xiàn)可以解或證明三角不等式，求函數(shù)的定義域以及比較大小，三角函數(shù)線(xiàn)也是后面將要學(xué)習(xí)的三角函數(shù)的圖象的作圖工具． 利用單位圓和三角函數(shù)線(xiàn)證明：若α為銳角，則(1)sinα＋cosα>1；(2)sin2α＋cos2α＝1. 證明：如圖10，記角α與單位圓的交點(diǎn)為P，過(guò)P作PM⊥x軸于M，則sinα＝MP，cosα＝OM. 圖10 (1)在Rt△OMP中，MP＋OM>OP， 即sinα＋cosα>1. (2)在Rt△OMP中，MP2＋OM2＝OP2， 即sin2α＋cos2α＝1. 對(duì)于三角函數(shù)線(xiàn)，開(kāi)始時(shí)學(xué)生可能不是很理解，教師應(yīng)該充分發(fā)揮好圖象的直觀(guān)作用，讓學(xué)生通過(guò)圖形來(lái)感知、了解三角函數(shù)線(xiàn)的定義．在學(xué)生理解了正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)、正切線(xiàn)的定義后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生會(huì)利用三角函數(shù)線(xiàn)來(lái)發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、歸納正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì)，以便為了以后更好地學(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)打下良好的基礎(chǔ)．教師要讓學(xué)生對(duì)三角函數(shù)線(xiàn)了解即可，要讓學(xué)生利用任意角的三角函數(shù)線(xiàn)來(lái)感知對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，不要再向深處挖掘，因?yàn)槿呛瘮?shù)線(xiàn)能解決的問(wèn)題都可以用三角函數(shù)的圖象來(lái)解決．教師在教學(xué)中要搞好師生互動(dòng)，讓學(xué)生自己動(dòng)腦、動(dòng)手，多啟發(fā)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)獨(dú)立思考和歸納總結(jié)知識(shí)的能力． 一、一個(gè)三角不等式的證明 已知θ∈(0，)，求證：sinθ<θ下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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- 2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.2 任意角的三角函數(shù) 1.2.1 任意角的三角函數(shù)教案 蘇教版必修4 2019 2020 年高 數(shù)學(xué) 任意 教案 蘇教版 必修
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