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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 空間向量與立體幾何 板塊四 用空間向量計(jì)算距離與角度完整講義（學(xué)生版） 典例分析 【例1】 在正方體中，，求與所成角的余弦值． 【例2】 直三棱柱中，．求證：． 【例3】 如圖所示，在底面是直角梯形的四棱錐中，，平面，．求面與面所成的二面角的正切值． 【例4】 已知，，，求方向向量為直線與平面所成角的余弦值． 【例5】 已知平行六面體中，，，， ，，求的長(zhǎng) 【例6】 如圖直角梯形中，，，，平面，，以、、分別為軸、軸、軸建立直角坐標(biāo)系． ⑴求與的夾角的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）； ⑵設(shè)，滿足平面，求 ①的坐標(biāo)； ②與平面的夾角（用反三角函數(shù)表示）； ③到平面的距離． 【例7】 如圖四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，垂足為，在上，且，，，，是的中點(diǎn)． ⑴求異面直線與所成的角的余弦值； ⑵求點(diǎn)到平面的距離； ⑶若點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，且，求的值． 【例8】 已知分別是正方體的棱和的中點(diǎn)，求 ⑴與所成角的大??； ⑵與平面所成角的大?。? ⑶二面角的大?。? 【例9】 長(zhǎng)方體中，，為與的交點(diǎn)，為與的交點(diǎn)，又，求⑴長(zhǎng)方體的高；⑵二面角的大?。? 【例10】 如圖：在空間四邊形中，、、兩兩垂直，且，是的中點(diǎn)，異面直線和所成的角為，求⑴的長(zhǎng)度；⑵二面角的余弦值． 【例11】 如圖，直三棱柱中，，、分別為、的中點(diǎn)，平面 ⑴證明：． ⑵設(shè)二面角為，求與平面所成角的大?。? 【例12】 如圖，在直三棱柱中，，，求二面角的大?。? 【例13】 如圖，直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，側(cè)棱，、分別是與的中點(diǎn)，點(diǎn)在平面上的射影是的垂心． ⑴求與平面所成角的余弦值； ⑵求點(diǎn)到平面的距離． 【例14】 如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，，．點(diǎn)在側(cè)棱上，． ⑴證明：是側(cè)棱的中點(diǎn)； ⑵求二面角的大小． 【例15】 如圖所示：邊長(zhǎng)為的正方形和高為的直角梯形所在的平面互相垂直且，且． ⑴求和面所成的角的余弦； ⑵線段上是否存在點(diǎn)使過(guò)、、三點(diǎn)的平面和直線垂直，若存在，求與的比值；若不存在，說(shuō)明理由． 【例16】 如圖，在空間四邊形中，，，，求與的夾角的余弦值． 【例17】 如圖，在三棱柱中，側(cè)面，為棱上異于、的一點(diǎn)，，已知，，，， 求：⑴異面直線與的距離； ⑵二面角的平面角的正切值． 【例18】 如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，、、分別是、、的中點(diǎn)，取如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， ⑴寫出、、、的坐標(biāo)； ⑵求證：，且； ⑶求異面直線與所成角的余弦值． 【例19】 如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，、、分別是、、的中點(diǎn)， ⑴求證：，且； ⑵求異面直線與所成角的余弦值． ⑶寫出平面的一個(gè)法向量． 【例20】 如圖，在直四棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，側(cè)棱長(zhǎng)為． ⑴與能否垂直？請(qǐng)證明你的判斷； ⑵當(dāng)在上變化時(shí)，求異面直線與所成角的取值范圍． 【例21】 如圖：已知四棱錐的底面是平行四邊形，，垂足在邊上是等腰直角三角形，，四面體的體積為． ⑴求面與底面所成的銳二面角的余弦值； ⑵求點(diǎn)到面的距離； ⑶若點(diǎn)在直線上，且，求的值． 【例22】 如圖所示：邊長(zhǎng)為的正方形和高為的直角梯形所在的平面互相垂直且，且． ⑴求和面所成的角的余弦； ⑵線段上是否存在點(diǎn)使過(guò)、、三點(diǎn)的平面和直線垂直，若存在，求與的比值；若不存在，說(shuō)明理由．