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2019-2020年高中數(shù)學 第10課時 基本不等式教案 蘇教版必修1 學習目標 （1）了解兩個正數(shù)的算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)的概念，能推導并掌握基本不等式； （2）理解定理的幾何意義，能夠簡單應用定理證明不等式。 重點，難點：基本不等式的證明及其簡單應用。 學習過程 一．問題情境 1．情境：把一個物體放在天平的盤子上，在另一個盤子上放砝碼使天平平衡，稱得物體的質(zhì)量為，如果天平制造得不精確，天平的兩臂長略有不同（其他因素不計），那么并非物體的重量。不過，我們可作第二次測量：把物體調(diào)換到天平的另一個盤子上，此時稱得物體的質(zhì)量為。 2．問題：如何合理地表示物體的質(zhì)量呢？ 二．學生活動 引導學生作如下思考： （1）把兩次稱得的物體的質(zhì)量“平均”一下： （2）根據(jù)力學原理：設天平的兩臂長分別為，物體的質(zhì)量為，則，① ，②，①，②相乘在除以，得（3）與哪個大？ 三．建構(gòu)數(shù)學 1．算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)：設為正數(shù)，則稱為的算術平均數(shù)，稱為的幾何平均數(shù)。 2．用具體數(shù)據(jù)驗證得： 基本不等式： 即兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術平均數(shù)，當兩數(shù)相等時兩者相等。 下面給出證明： 證法1： 證法2： 證法3： 3．說明：（1）基本不等式成立的條件是： （2）不等式證明的三種方法：比較法（證法1）、分析法（證法2）、綜合法（證法3） （圖1） （3）的幾何解釋：（如圖1）以為直徑作圓，在直徑上取一點， 過作弦，則， 從而，而半徑 （4）當且僅當時，取“”的含義：一方面是當時取等號，即 ；另一方面是僅當時取等號，即。 （5）如果，那么（當且僅當時取“”）． 四．數(shù)學運用 1．例題： 例1．設為正數(shù)，證明下列不等式成立： （1）； （2） 證明：（1）∵為正數(shù)，∴也為正數(shù)，由基本不等式得 ∴原不等式成立。 （2）∵均為正數(shù)，由基本不等式得，∴原不等式成立。 例2．已知為兩兩不相等的實數(shù)，求證： 證明：∵為兩兩不相等的實數(shù)， ∴，，， 以上三式相加： 所以，． 2．練習： 1.給出下列結(jié)論： （1）若則 （2）若，則 2． 已知都是正數(shù)，求證： 五、拓展探究： 某種產(chǎn)品的兩種原料相繼提價,因此,產(chǎn)品的生產(chǎn)者決定根據(jù)原料提價的百分比,對產(chǎn)品分兩次提價,現(xiàn)有三種提價方案: 方案甲:第一次提價,第二次提價; 方案甲:第一次提價,第二次提價; 方案甲:第一次提價 ,第二次提價。 其中P>q>0,比較上述三種提價方案,哪種提價少?哪種提價多? 六．回顧小結(jié)： 1．算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)的概念； 2．基本不等式及其應用條件； 3．不等式證明的三種常用方法。 七．課外作業(yè)： 1，2，5