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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第2章《參數(shù)方程》教案 新人教版選修4-4 考點(diǎn)要求 1 了解參數(shù)方程的定義。 2 分析直線，圓，圓錐曲線的幾何性質(zhì)。會(huì)選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)，寫出他們的參數(shù)方程。并理解直線參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)形式中參數(shù)的意義。 3掌握曲線的參數(shù)方程與普通方程的互化。 考點(diǎn)與導(dǎo)學(xué) 1參數(shù)方程的定義：在取定的坐標(biāo)系中。如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是某個(gè)變量的函數(shù)(tT) （1） 這里T是的公共定義域。并且對于t的每一個(gè)允許值。由方程（1）所確定的點(diǎn) 。都在這條曲線上；那么（1）叫做這條曲線的參數(shù)方程，輔助變數(shù)t叫做參數(shù)。 2過點(diǎn)傾斜角為的直線的參數(shù)方程 （I）（t為參數(shù)） （i）通常稱（I）為直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。其中t表示到上一點(diǎn)的有向線段的數(shù)量。 t>0時(shí)，p在上方或右方；t<0時(shí)，p在下方或左方，t=0時(shí)，p與重合。 （ii）直線的參數(shù)方程的一般形式是：（t為參數(shù)） 這里直線的傾斜角的正切（時(shí)例外）。當(dāng)且僅當(dāng)且b>0時(shí). （1）中的t才具有（I）中的t所具有的幾何意義。 2 圓的參數(shù)方程。 圓心在點(diǎn)半徑為r的圓的參數(shù)方程是（為參數(shù)） 3 橢圓的參數(shù)方程。 （為參數(shù)） 4 雙曲線的參數(shù)方程：（為參數(shù)） 5 拋物線的參數(shù)方程。（t為參數(shù)） 例1 已知某曲線C的參數(shù)方程為（其中t是參數(shù)，）,點(diǎn)M（5，4）在該曲線上。（1）求常數(shù)；（2）求曲線C的普通方程。 解：（1）由題意可知有故 ∴ （2）由已知及（1）可得，曲線C的方程為由第一個(gè)方程得代入第二個(gè)方程得：。即為所求。 〔點(diǎn)評(píng)〕 參數(shù)方程化為普通方程的關(guān)鍵是消參數(shù)，并且要保證等價(jià)性。若不可避免地破壞了同解變形，則一定要通過。根據(jù)t的取值范圍導(dǎo)出的取值范圍。 例2 圓M的參數(shù)方程為（R>0）.(1)求該圓的圓心的坐標(biāo)以及圓M的半徑。（2）當(dāng)R固定，變化時(shí)。求圓心M的軌跡。并證明此時(shí)不論取什么值，所有的圓M都外切于一個(gè)定圓。 解：（1）依題意得 圓M的方程為 故圓心的坐標(biāo)為M（。 （2）當(dāng)變化時(shí)，圓心M的軌跡方程為（其中為參數(shù)）兩式平方相加得 。所以所有的圓M的軌跡是圓心在原點(diǎn)。半徑為2R的圓 由于所以所有的圓M都和定圓外切，和定圓內(nèi)切。 〔點(diǎn)評(píng)〕本題中所給的方程中含有多個(gè)參數(shù)，像這樣的問題有時(shí)容易分不清哪個(gè)是真正的參數(shù)，究竟在具體的題目中哪個(gè)是真正的參數(shù)應(yīng)視題目給定的條件，分清參數(shù)。 例3已知A，B分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)C在該橢圓上運(yùn)動(dòng)，求?ABC的重心的軌跡的普通方程。 解：由動(dòng)點(diǎn)C在橢圓上運(yùn)動(dòng)，可設(shè)C的坐標(biāo)為（6cos,3）,點(diǎn)G的坐標(biāo)為. 依題意可知：A（6，0），B（0，3） 由重心坐標(biāo)公式可知 由此得： 即為所求。 〔點(diǎn)評(píng)〕①本題的解法體現(xiàn)了橢圓的參數(shù)方程對于解決相關(guān)問題的優(yōu)越性。運(yùn)用參數(shù)方程顯得很簡單。運(yùn)算更簡便。常用于解決有關(guān)最值問題。②“平方法”是消參的常用方法。 例4求經(jīng)過點(diǎn)（1，1）。傾斜角為的直線截橢圓所得的弦長。 解：由條件可知直線的參數(shù)方程是：（t為參數(shù)）代入橢圓方程可得： 即設(shè)方程的兩實(shí)根分別為。 則則直線截橢圓的弦長是 〔點(diǎn)評(píng)〕利用直線參數(shù)方程的幾何意義求弦長的常用方法。但必須注意：直線的參數(shù)方程必須是標(biāo)準(zhǔn)形式。即 （t為參數(shù)）當(dāng)且b>0時(shí)才是標(biāo)準(zhǔn)形式。若不滿足且b>0兩個(gè)條件。 則弦長為 d= 〔解題能力測試〕 1 已知某條曲線的參數(shù)方程為： 其中是參數(shù)。則該曲線是（ ） A 線段 B 圓 C 雙曲線的一部分 D 圓的一部分 2 已知某條曲線的參數(shù)方程為 則該曲線是（ ） A 線段 B 圓弧 C 雙曲線的一支 D 射線 3實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為： ；最小值為 。 4已知直線的斜率為.經(jīng)過點(diǎn)。點(diǎn)M在直線上，以的數(shù)量t為參數(shù).則直線的參數(shù)方程為： 。 5 已知直線的參數(shù)方程是（t為參數(shù)） 其中實(shí)數(shù)的范圍是。 則直線的傾斜角是： 。 〔潛能強(qiáng)化訓(xùn)練〕 1 在方程（為參數(shù)）所表示的曲線上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為 （ ） A B C D 2下列參數(shù)方程（t為參數(shù)）與普通方程表示同一曲線的方程是（ ） A B C D 3 直線與圓（為參數(shù)）的位置關(guān)系是（ ） A 相切 B 相離 C 直線過圓心 D 相交但直線不過圓心。 4 設(shè)直線（t為參數(shù)）。如果為銳角，那么直線 的角是（ ） A B C D 5 過點(diǎn)（1，1），傾斜角為的直線截橢圓所得的弦長為（ ） A B C D 6 雙曲線（為參數(shù)），那么它的兩條漸近線所成的銳角是： 。 7 參數(shù)方程（為參數(shù)）表示的曲線的普通方程是： 。 8 已知點(diǎn)M（2，1）和雙曲線，求以M為中點(diǎn)的雙曲線右支的弦AB所在直線的方程。 9 已知橢圓的中心在原點(diǎn)。焦點(diǎn)在軸上且長軸長為4，短軸長為2。直線的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)）。當(dāng)m為何值時(shí)，直線被橢圓截得的弦長為？ １0、求橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離和最小距離。 〔知識(shí)要點(diǎn)歸納〕 1． 參數(shù)方程是以參變量為中介來表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的方程，是曲線在同一坐標(biāo)系下的一種表示形式，而且有的參數(shù)還有幾何意義或物理意義。 2． 面臨一個(gè)軌跡問題，如何選擇參數(shù)？如何用參數(shù)？是主要問題，必須在學(xué)習(xí)過程中深刻去領(lǐng)會(huì)。 3． 在參數(shù)方程與普通方程互化過程中，要注意等價(jià)性。 四、參數(shù)方程 〔解題能力測試〕 1．C 2、A 3、5，-5 4、 5、 〔潛能強(qiáng)化訓(xùn)練〕 1、C 2、D 3、C 4、B 5、B 6、600 7、 8、 9、 10、