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2019-2020年高中數(shù)學 第三章 第五課時 兩角和與差的余弦、正弦、正切（二）教案 蘇教版必修3 教學目標： 熟練掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的運用，理解公式：asinθ＋bcosθ＝sin(θ＋)(其中cos＝，sin＝，θ為任意角)，靈活應用上述公式解決相關問題；培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識，提高學生的思維素質. 教學重點： 利用兩角和與差的正、余弦公式將asinθ＋bcosθ形式的三角函數(shù)式化為某一個角的三角函數(shù)形式. 教學難點： 使學生理解并掌握將asinθ＋bcosθ形式的三角函數(shù)式化為某一個角的三角函數(shù)形式，并能靈活應用其解決一些問題. 教學過程： Ⅰ.復習回顧 同學們，觀察這些關系式，不難看出這是我們前面所推導出的兩角和與差的正余弦公式的倒寫形式.有時，直接利用這種形式可使問題簡化，這節(jié)課，我們就來探討一下它的運用. Ⅱ.講授新課 ［例1］求證cosα＋sinα＝2sin(＋α) 證明：右邊＝2sin(＋α)＝2(sincosα＋cossinα) ＝2(cosα＋sinα)＝左邊 由于同學們對兩角和的正弦公式比較熟悉，所以要證此式容易想到從右邊往左邊推證，只要將右邊按照兩角和的正弦公式展開，化簡便可推出左邊. 也可這樣考慮： 左邊＝cosα＋sinα＝2(cosα＋sinα) ＝2(sincosα＋cossinα)＝2sin(＋α)＝右邊 (其中令＝sin，＝cos) ［例2］求證cosα＋sinα＝2cos(－α) 分析：要證此式，可從右邊按照兩角差的余弦公式展開，化簡整理可證此式. 若從左邊推證，則要仔細分析，構造形式 即：左＝cosα＋sinα＝2(cosα＋sinα)＝2(coscosα＋sinsinα)＝2cos(－α) (其中令＝cos，＝sin) 綜合上兩例可看出對于左式cosα＋sinα可化為兩種形式2sin(＋α)或2cos(－α)，右邊的兩種形式均為一個角的三角函數(shù)形式.那么，對于asinα＋bcosα的式子是否都可化為一個角的三角函數(shù)形式呢? 推導公式： asinα＋bcosα＝ (sinα＋cosα) 由于()2＋()2＝1，sin2θ＋cos2θ＝1 (1)若令＝sinθ，則＝cosθ ∴asinα＋bcosα＝ (sinθsinα＋cosθcosα)＝cos(θ－α) 或原式＝cos(α－θ) (2)若令＝cos，則＝sin ∴asinα＋bcosα＝ (sinαcos＋cosαsin)＝sin(α＋) 例如：2sinθ＋cosθ＝ (sinθ＋cosθ) 若令cos＝，則sin＝ ∴2sinθ＋cosθ＝(sinθcos＋cosθsin)＝sin(θ＋) 若令＝sinβ，則＝cosβ ∴2sinθ＋cosθ＝(cosθcosβ＋sinθsinβ) ＝cos(θ－β)或原式＝cos(β－θ) 看來，asinθ＋bcosθ均可化為某一個角的三角函數(shù)形式，且有兩種形式. Ⅲ.課堂練習 1.求證： (1) sinα＋cosα＝sin(α＋) (2)cosθ＋sinθ＝sin(θ＋) (3) (sinx＋cosx)＝2cos(x－) 證明：(1) sinα＋cosα＝sin(α＋) 證法一：左邊＝sinαcos＋cosαsin＝sin(α＋)＝右邊 證法二：右邊＝sinαcos＋cosαsin＝sinα＋cosα＝左邊 (2)cosθ＋sinθ＝sin(θ＋) 證法一：左邊＝(cosθ＋sinθ)＝(sincosθ＋cossinθ) ＝sin(θ＋)＝右邊 證法二：右邊＝(sinθcos＋cosθsin) ＝(sinθ＋cosθ)＝cosθ＋sinθ＝左邊 (3) (sinx+cosx)＝2cos(x－) 證法一：左邊＝(sinx＋cosx)＝2(sinx＋cosx) ＝2(cosxcos＋sinxsin)＝2cos(x－)＝右邊 證法二：右邊＝2cos(x－)＝2(cosxcos＋sinxsin) ＝2(cosx＋sinx)＝(cosx＋sinx)＝左邊 2.利用和(差)角公式化簡： (1) sinx＋cosx (2)3sinx－3cosx (3) sinx－cosx (4) sin(－x)＋cos(－x) 解：(1) sinx＋cosx＝sinxcos＋cosxsin＝sin(x＋) 或：原式＝sinxsin＋cosxcos＝cos(x－) (2)3sinx－3cosx＝6(sinx－cosx) ＝6(sinxcos－cosxsin)＝6sin(x－) 或：原式＝6(sinsinx－coscosx)＝－6cos(x＋) (3) sinx－cosx＝2(sinx－cosx) ＝2sin(x－)＝－2cos(x＋) (4) sin(－x)＋cos(－x) ＝［sin(－x)＋cos(－x)］ ＝［sinsin(－x)＋coscos(－x)］ ＝cos［－(－x)］＝cos(x－) 或：原式＝［sin(－x)cos＋cos(－x)sin］ ＝sin［(－x)＋］＝sin(－x) Ⅳ.課時小結 通過本節(jié)的學習，要在熟練掌握兩角和與差的余弦、正弦、正切公式的基礎上，推導并理解公式：asinθ＋bcosθ＝sin(θ＋)(其中cos＝，sin＝) mcosα＋nsinα＝cos(α－β)(其中cosβ＝，sinβ＝) 進而靈活應用上述公式對三角函數(shù)式進行變形，解決一些問題. Ⅴ.課后作業(yè) 課本P96 4，6；P101 4，5. 兩角和與差的余弦、正弦、正切(一) 1．若0＜α＜β＜，sinα＋cosα＝a，sinβ＋cosβ＝b，則 ( ) A.ab＜1 B.a＞b C.a＜b D.ab＞2 2．已知α、β為銳角，cosα＝，cos(α＋β)＝－，求β的值. 3．已知＜β＜α＜，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin2α的值. 4．若A＋B＝，求（1＋tanA)(1＋tanB)的值. 5．化簡 6．化簡（tan10－) 7．求證：＝tan(x－) 8．已知tanA與tan(－A＋)是x2＋px＋q＝0的解，若3tanA＝2tan(－A)，求p和q的值. 兩角和與差的余弦、正弦、正切(一)答案 1．C 2．已知α、β為銳角，cosα＝，cos(α＋β)＝－，求β的值. 分析：注意觀察α、α＋β及β間的關系，先求角β的一個三角函數(shù)值，再根據(jù)β為銳角求出β. 解：∵α為銳角，且cosα＝，∴sinα＝＝. 又∵α、β均為銳角，∴0＜α＋β＜π，且cos(α＋β)＝－， ∴sin(α＋β)＝＝. 則cosβ＝cos［(α＋β)－α］＝cos（α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα ＝(－)＋＝ ∴β＝. 評述：（1）在和（差）角公式的運用中,要注意和、差的相對關系，如（α＋β)－α＝β. (2)求角的基本步驟：①求角的范圍；②求角的一個三角函數(shù)值；③寫出滿足條件的角. 3．已知＜β＜α＜，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin2α的值. 分析：注意觀察α－β、α＋β和2α間的關系，再選擇適當?shù)墓竭M行計算. 解：由題設知α－β為銳角，所以sin（α－β）＝， 又∵α＋β是第三象限角，∴cos(α＋β)＝－， 由2α＝(α＋β)＋(α－β) 得sin2α＝sin［(α－β)＋(α＋β)］ ＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝－ 評述：在三角變換中，角的變換是常用技巧，本題是將角2α變換成（α＋β)＋(α－β)，使已知式中的角與待求式中的角聯(lián)系起來. 4．若A＋B＝，求（1＋tanA)(1＋tanB)的值. 分析：注意待求式與正切和角公式間的聯(lián)系，將正切和角公式變形解題. 解：（1＋tanA)(1＋tanB)＝1＋tanA＋tanB＋tanAtanB. 又tan(A＋B)＝且A＋B＝ ∴tan(A＋B)＝1 ∴tanA＋tanB＝1－tanAtanB 即tanA＋tanB＋tanAtanB＝1 ∴(1＋tanA)(1＋tanB)＝2. 評述：在解題過程中要注意分析條件和結論中的關系式與有關公式間的聯(lián)系，并將公式進行變形加以運用. 5．化簡 分析：注意把所要化簡的式子與正切的差角公式進行比較. 解：＝＝tan(60－18)＝tan42 評述：在三角函數(shù)的化簡與求值時，通常將常數(shù)寫成角的一個三角函數(shù)，再根據(jù)有關公式進行變形. 6．化簡（tan10－) 分析：切、弦混合式在不能直接運用公式的情況下，考慮將切化弦. 解：原式＝（tan10－tan60) ＝(－) ＝＝＝－2. 評述：（1）切化弦是三角函數(shù)化簡的常用方法之一. （2）把函數(shù)值化成tan60在本題的化簡中是必經(jīng)之路. 7．求證：＝tan(x－) 證明：左邊＝＝tan(x－)＝右邊 或：右邊＝tan(x－)＝ ＝＝＝左邊 8．已知tanA與tan(－A＋)是x2＋px＋q＝0的解，若3tanA＝2tan(－A)，求p和q的值. 分析：因為p和q是兩個未知數(shù)，所以須根據(jù)題設條件列出關于p、q的方程組，解出p、q. 解:設t＝tanA，則tan(－A)＝＝ 由3tanA＝2tan(－A) 得3t＝ 解之得t＝或t＝－2. 當t＝時，tan(－A)＝＝， P＝－［tanA＋tan(－A)］＝－，q＝tanAtan(－A)＝ ＝. 當t＝－2時，tan(－A)＝ ＝－3， P＝－［tanA＋tan(－A)］＝5，q＝tanAtan(－A)＝6 ∴滿足條件的p、q的值為： 評述：(1)“列方程求解未知數(shù)”是基本的數(shù)學思想方法. (2)如果tanα、tanβ是某一元二次方程的根，則由韋達定理可與公式T(α+β)聯(lián)系起來；若cosα、sinα是某一元二次方程的根，則由韋達定理與公式sin2α＋cos2α＝1聯(lián)系起來.