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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章《立體幾何中的向量方法》教案 新人教A版選修2-1 空間距離 利用向量方法求解空間距離問題，可以回避此類問題中大量的作圖、證明等步驟，而轉(zhuǎn)化為向量間的計算問題． 例１如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，E、F分別是AB、AD的中點，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求點B到平面EFG的距離． 分析：由題設(shè)可知CG、CB、CD兩兩互相垂直，可以由此建立空間直角坐標(biāo)系．用向量法求解，就是求出過B且垂直于平面EFG的向量，它的長即為點B到平面EFG的距離． 解：如圖，設(shè)4i，4j，2k，以i、j、k為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系C－xyz． 由題設(shè)C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(xiàn)(4,2,0)，G(0,0,2)． ∴　，， 　　　　 ，， ． 設(shè)平面EFG，M為垂足，則M、G、E、F四點共面，由共面向量定理知，存在實數(shù)a、b、c，使得， ∴?。?2a+4b,－2b－4c,2c)． 由平面EFG，得，，于是 　　，． ∴　 整理得：，解得． ∴?。?2a+4b,－2b－4c,2c)＝． ∴　 故點B到平面EFG的距離為． 說明：用向量法求點到平面的距離，常常不必作出垂線段，只需利用垂足在平面內(nèi)、共面向量定理、兩個向量垂直的充要條件解出垂線段對應(yīng)的向量就可以了． 例2已知正方體ABCD－的棱長為1，求直線與AC的距離． 分析：設(shè)異面直線、AC的公垂線是直線l，則線段在直線l上的射影就是兩異面直線的公垂線段，所以此題可以利用向量的數(shù)量積的幾何意義求解． 解：如圖，設(shè)i，j，k，以i、j、k為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系－xyz，則有 ，，，． ∴　，，． 設(shè)n是直線l方向上的單位向量，則． ∵　n，n， ∴　，解得或． 取n，則向量在直線l上的投影為 　　　n． 由兩個向量的數(shù)量積的幾何意義知，直線與AC的距離為． 向量的內(nèi)積與二面角的計算 在《高等代數(shù)與解析幾何》課程第一章向量代數(shù)的教學(xué)中，講到幾何空間的內(nèi)積時，有一個例題（見[1]，p53）要求證明如下的公式： (1) 其中點O是二面角P-MN-Q的棱MN上的點，OA、OB分別在平面P和平面Q內(nèi)。，， 。為二面角P-MN-Q（見圖1）。 圖1 公式（1）可以利用向量的內(nèi)積來加以證明： 以Q為坐標(biāo)平面，直線MN為y軸，如圖1建立直角坐標(biāo)系。 記xOz平面與平面P的交線為射線OD，則，得 ，，。 分別沿射線OA、OB的方向上作單位向量，，則。 由計算知，的坐標(biāo)分別為 ，， 于是， 。 公式（1）在立體幾何計算二面角的平面角時是有用的。我們來介紹如下的兩個應(yīng)用。 例1．立方體ABCD-A1B1C1D1的邊長為1，E、F、G、H、I分別為A1D1、A1A、A1B1、B1C1、B1B的中點。 求面EFG和面GHI的夾角的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）。 解 由于圖2中所畫的兩平面EFG和GHI只有一個公共點，沒有交線，所以我們可以將該立方體沿AB方向平移1個單位。這樣就使平面EFG平移至平面。而就是二面角G-IH-（見圖3）。利用公式（1），只要知道了，和的大小，我們就能求出。 圖2 由已知條件，和均為等邊三角形，所以，而。因此， 圖3 ， 即 。 解得 ， 。 當(dāng)然，在建立了直角坐標(biāo)系之后，通過計算向量的外積可計算出兩平面的法向量，利用法向量同樣也可算出夾角來。 例2．計算正十二面體的兩個相鄰面的夾角的大小。 解 我們知道正十二面體的每個面都是大小相同的正五邊形，且在正十二面體的每個頂點上均有3個面圍繞。設(shè)P和Q是兩個相鄰的面，MN是它們的交線（如圖4），則公式（1）中的，，分別為： ， ， ， 因此它們均為正五邊形的內(nèi)角。所以 。 圖4 所以，由公式（1）知 ， 或 。 因此，，或。 如果不使用公式（1），要求出例2中的夾角的大小在計算上要復(fù)雜很多。 利用例2的結(jié)果，我們可以容易地計算出單位棱長正十二面體的體積V。 設(shè)單位棱長正十二面體的中心為O，則該十二面體可以切割成十二個全等的正五棱錐，每個五棱錐以該多面體的一個面為底面、以O(shè)為其頂點。設(shè)該正五棱錐為，從而可知： 。 再設(shè)的底面積為S、高為h，設(shè)為單位邊長正五邊形（即的底）的中心，A、B為該五邊形的兩個相鄰的頂點，H為AB的中點，，則 ， ， 。 仍設(shè)為正十二面體兩相鄰面的夾角，則。所以 。 但是， ， 從而 ， 或