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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第八課時 2.5從力做的功到向量的數(shù)量積（一）教案 北師大版必修4 一、教學(xué)目標： 1.知識與技能：（1）通過物理中“功”等實例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義、幾何意義.（2）體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系. （3）掌握平面向量數(shù)量積的運算律和它的一些簡單應(yīng)用.（4）能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系. 2.過程與方法：教材利用同學(xué)們熟悉的物理知識（“做功”）得到向量的數(shù)量積的含義及其物理意義、幾何意義.為了幫助學(xué)生理解和鞏固相應(yīng)的知識，教材設(shè)置了4個例題；通過講解例題，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力. 3.情感態(tài)度價值觀：通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們認識到向量的數(shù)量積與物理學(xué)的做功有著非常緊密的聯(lián)系；讓學(xué)生進一步領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的思想；同時以較熟悉的物理背景去理解向量的數(shù)量積，有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、積極性和勇于創(chuàng)新的精神. 二.教學(xué)重、難點 重點: 向量數(shù)量積的含義及其物理意義、幾何意義；運算律.難點: 運算律的理解 三.學(xué)法與教法 (1)自主性學(xué)習(xí)+探究式學(xué)習(xí)法：(2)反饋練習(xí)法：以練習(xí)來檢驗知識的應(yīng)用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其存在的差距. 四.教學(xué)過程 【探究新知】（學(xué)生閱讀教材P107—108，師生共同討論） q s F 思考：請同學(xué)們回憶物理學(xué)中做功的含義，問對 一般的向量a和b，如何定義這種運算？ 1.力做的功：W = |F|?|s|cosq q是F與s的夾角 2.定義：平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義，a?b = |a||b|cosq，并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0。 3.向量夾角的概念：范圍0≤q≤180q = 0 q = 180 q q q q O O O O O O A A A A A A B B B B B B C C [展示投影]由于兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積有很大區(qū)別；因此強調(diào)注意的幾個問題： ①兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由cosq的符號所決定。 ②兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成a?b；今后要學(xué)到兩個向量的外積ab，而ab是兩個數(shù)量的積，書寫時要嚴格區(qū)分。 ③在實數(shù)中，若a0，且a?b=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若a0，且a?b=0，不能推出b=0。因為其中cosq有可能為0.這就得性質(zhì)2. O a A c b a b ④已知實數(shù)a、b、c(b0)，則ab=bc a=c.但是a?b = b?c a = c 如右圖：a?b = |a||b|cosb = |b||OA| b?c = |b||c|cosa = |b||OA| a?b=b?c 但a c ⑤在實數(shù)中，有(a?b)c = a(b?c)，但是(a?b)c a(b?c) 顯然，這是因為左端是與c共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線. [展示投影]思考與交流： 思考與交流1.射影的概念是如何定義的，舉例（或畫圖）說明；并指出應(yīng)注意哪些問題. A OO BO B1O a b q A OO BO B1O a b q A OO BO (B1)O a b q 定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的射影。 注意：①射影也是一個數(shù)量，不是向量。②當q為銳角時射影為正值；當q為鈍角時射影為負值；當q為直角時射影為0；當q = 0時射影為 |b|；當q = 180時射影為 -|b|. 思考與交流2.如何定義向量數(shù)量積的幾何意義？由向量數(shù)量積的幾何意義你能得到兩個向量的數(shù)量積哪些的性質(zhì)（學(xué)生討論完成，教師作必要的補充）. 幾何意義：數(shù)量積a?b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積。 性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量。①e?a = a?e =|a|cosq ②a^b a?b = 0③當a與b同向時，a?b = |a||b|；當a與b反向時，a?b = -|a||b|。 特別的a?a = |a|2或④cosq =（|a||b|≠0）⑤ |ab|≤|a||b| 【鞏固深化，發(fā)展思維】 判斷下列各題正確與否： ①若a = 0，則對任一向量b，有a?b = 0. ( √ ) ②若a 0，則對任一非零向量b，有a?b 0. ( ) ③若a 0，a?b = 0，則b = 0. ( ) ④若a?b = 0，則a 、b至少有一個為零. ( ) ⑤ 若a 0，a?b = a?c，則b = c. ( ) ⑥若a?b = a?c，則b = c當且僅當a 0時成立. ( ) ⑦對任意向量a、b、c，有(a?b) ?c a? (b?c). ( ) ⑧對任意向量a，有a2 = |a|2. ( √ ) 例1.已知： 解：（1） （2） 例2.已知都是非零向量，且垂直， 垂直，求的夾角。 解：由(a + 3b)(7a - 5b) = 0 7a2 + 16a?b -15b2 = 0 ① (a - 4b)(7a - 2b) = 0 7a2 - 30a?b + 8b2 = 0 ② 兩式相減：2ab = b2 代入①或②得：a2 = b2設(shè)a、b的夾角為q， C A B D a b 則cosq = ∴q = 60 例3.用向量方法證明：菱形對角線互相垂直。 證：設(shè)== a , == b ∵ABCD為菱形 ∴|a| = |b| ∴?= (b + a)(b - a) = b2 - a2 = |b|2 - |a|2 = 0∴^即菱形對角線互相垂直。 【鞏固深化，發(fā)展思維】1.教材P109練習(xí)1、2題2. 教材P111練習(xí)1、2、3、4、5題 【學(xué)習(xí)小結(jié)】 （學(xué)生總結(jié)，其它學(xué)生補充） ①有關(guān)概念：向量的夾角、射影、向量的數(shù)量積.②向量數(shù)量積的幾何意義和物理意義.③向量數(shù)量積的五條性質(zhì). 五、評價設(shè)計 作業(yè)：習(xí)題2.5 A組第3、4、5、6、7題． 2．（備選題）： ①在ΔABC中，設(shè)邊BC，CA，AB的長度分別為a，b，c，用向量方法證明： ②求證：平行四邊形兩條對角線平方和等于四條邊的平方和。 A B D C 解：如圖： ABCD中：，，=+ ∴||2=|+|2=2+2+2? 而=- ∴||2=|-|2=2+2-2? ∴||2 + ||2 = 22+22= ||2+||2+||2+||2 六、課后反思：