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2019-2020年高中數(shù)學 綜合測試 北師大版選修2-3 一、選擇題(本大題共10個小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．從單詞“equation”中選取5個不同的字母排成一排，含有“qu”(其中“qu”相連且順序不變)的不同排列共有(　　) A．120個　　　　　 B．480個 C．720個 D．840個 [答案]　B [解析]　第一步，先從除“qu”之外的另外6個字母中任選3個不同的字母，與“qu”一起分成一堆，共有C種不同的選法；第二步，把“qu”看作一個字母，與另外3個字母排列，且“qu”順序不變，共有A種不同的排法，由分步乘法計數(shù)原理，共有CA＝480個不同的排列．故選B. 2．(xx陜西理，4)二項式(x＋1)n(n∈N＋)的展開式中x2的系數(shù)為15，則n＝(　　) A．4　　 B．5　　 C．6　　 D．7 [答案]　C [解析]　(x＋1)n＝(1＋x)n，系數(shù)C＝15?n＝6.故本題正確答案為C. 3．(xx四川理，6)用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40 000大的偶數(shù)共有(　　) A．144個 B．120個 C．96個 D．72個 [答案]　B [解析]　據(jù)題意，萬位上只能排4、5.若萬位上排4，則有2A個；若萬位上排5，則有3A個．所以共有2A＋3A＝524＝120個．選B. 4．有甲、乙兩種鋼材，從中各取等量樣品檢驗它們的抗拉強度指標如下： X甲 110 120 125 130 135 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 X乙 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.1 0.4 0.2 現(xiàn)要比較兩種鋼材哪一種抗拉強度較好，應(yīng)考察哪項指標(　　) A．均值與方差 B．正態(tài)分布 C．卡方χ2 D．概率 [答案]　A [解析]　檢驗鋼材的抗拉強度，若平均抗拉強度相同，再比較波動情況．故選A. 5．設(shè)隨機變量ξ服從二項分布ξ～B(n，p)，則等于(　　) A．p2 B．(1－p)2 C．np D．p2(1－p) [答案]　B [解析]　因為ξ～B(n，p)，(D(ξ))2＝[np(1－p)]2，(Eξ)2＝(np)2，所以＝＝(1－p)2.故選B. 6．(xx山東理，8)已知某批零件的長度誤差(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(0,32)，從中隨機取一件，其長度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為(　　) (附：若隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%.) A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74% [答案]　B [解析]　P(3＜ξ＜6)＝[P(－6＜ξ＜6)－P(－3＜ξ＜3)]＝(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.故選B. 7．在一次試驗中，測得(x，y)的四組值分別是A(1,2)、B(2，3)、C(3,4)、D(4,5)，則y與x之間的線性回歸方程是(　　) A．y＝x＋1 B．y＝x＋2 C．y＝2x＋1 D．y＝x－1 [答案]　A [解析]　∵A，B，C，D四點共線，都在直線y＝x＋1上，故選A. 8．某校從學生中的10名女生干部與5名男生干部中隨機選6名學生干部組成“文明校園督察隊”，則組成4女2男的“文明校園督察隊”的概率為(　　) A. B． C. D． [答案]　C [解析]　此題為超幾何分布問題，組成4女2男的“文明校園督察隊”的概率為. 9．為了評價某個電視欄目的改革效果，在改革前后分別從居民點隨機抽取了100位居民進行調(diào)查，經(jīng)過計算χ2的觀測值χ2＝99.9，根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，下列說法正確的是(　　) A．有99.9%的人認為該欄目優(yōu)秀 B．有99.9%的人認為欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān) C．有99.9%的把握認為電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系 D．以上說法都不對 [答案]　C [解析]　當χ2＞10.828時有99.9%的把握認為電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系．故選C. 10．假設(shè)每一架飛機的引擎在飛行中出現(xiàn)故障的概率為1－p，且各引擎是否有故障是獨立的，已知4引擎飛機中至少有3個引擎正常運行，飛機就可成功飛行；2引擎飛機要2個引擎全部正常運行，飛機才可成功飛行．要使4引擎飛機比2引擎飛機更安全，則p的取值范圍是(　　) A. B． C. D． [答案]　B [解析]　4引擎飛機成功飛行的概率為Cp3(1－p)＋p4,2引擎飛機成功飛行的概率為p2，要使C(1－p)＋p4＞p2，必有＜p＜1.故選B. 二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分) 11．(xx上海理，8)在報名的3名男教師和6名女教師中，選取5人參加義務(wù)獻血，要求男、女教師都有，則不同的選法有________種(用數(shù)值表示) [答案]　120 [解析]　由題意得，去掉選5名教師情況即可：C－C＝126－6＝120. 12.(xx上海理，11)在(1＋x＋)10的展開式中，x2項的系數(shù)為________(結(jié)果用數(shù)值表示) [答案]　45 [解析]　因為(1＋x＋)10＝[(1＋x)＋]10＝(1＋x)10＋C(1＋x)9＋…，所以x2項只能在(1＋x)10展開項中，即為Cx2，系數(shù)為C＝45. 13.一個袋中裝有黑球、白球和紅球共n(n∈N*)個，這些球除顏色外完全相同．已知從袋中任意摸出1個球，得到黑球的概率是，現(xiàn)從袋中任意摸出2個球．若n＝15，且摸出的2個球都是白球的概率是，設(shè)ξ表示摸出的2個球中紅球的個數(shù)，則隨機變量ξ的均值E(ξ)＝ ________. [答案]　 [解析]　設(shè)袋中黑球的個數(shù)為x(個)，記“從袋中任意摸出一個球，得到黑球”為事件A，則P(A)＝＝. ∴x＝6. 設(shè)袋中白球的個數(shù)為y(個)，記“從袋中任意摸出兩個球，得到的都是白球”為事件B，則P(B)＝＝， ∴　∴y＝5或y＝－4(舍去) 即白球的個數(shù)為5(個)． ∴紅球的個數(shù)為15－6－5＝4(個)． ∴隨機變量ξ的取值為0,1,2，分布列是 ξ 0 1 2 P ξ的均值E(ξ)＝0＋1＋2＝. 14．已知X～N(1.4,0.052)，則X落在區(qū)間(1.35,1.45)中的概率為____________． [答案]　0.6826 [解析]　因為μ＝1.4，σ＝0.05，所以X落在區(qū)間(1.35，1.45)中的概率為P(1.4－0.056.635， 因為P(χ2≥6.635)≈0.01，所以“X與Y有關(guān)系”這一結(jié)論是錯誤的概率不超過0.01. 三、解答題(本大題共6小題，共75分，前4題每題12分，20題13分，21題14分) 16．(xx沈陽市質(zhì)檢)為了研究“教學方式”對教學質(zhì)量的影響，某高中老師分別用兩種不同的教學方式對入學數(shù)學平均分數(shù)和優(yōu)秀率都相同的甲、乙兩個高一新班進行教學(勤奮程度和自覺性都一樣)．以下莖葉圖為甲、乙兩班(每班均為20人)學生的數(shù)學期末考試成績. 甲 乙 0 9 0　1　5　6　8 7　7　3　2 8 0　1　2　5　6　6　8　9 8　4　2　2　1　0 7 1　3　5 9　8　7　7　6 6 5　7　8　9 8　8　7　7 5 (1)現(xiàn)從甲班數(shù)學成績不低于80分的同學中隨機抽取兩名同學，求成績?yōu)?7分的同學至少有一名被抽中的概率； (2)學校規(guī)定：成績不低于75分的為優(yōu)秀．請?zhí)顚懴旅娴?2列聯(lián)表，并判斷有多大把握認為“成績優(yōu)秀與教學方式有關(guān)”. 甲班 乙班 合計 優(yōu)秀 不優(yōu)秀 合計 下面臨界值表供參考： P(χ2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (參考公式：χ2＝) [解析]　(1)甲班成績?yōu)?7分的同學有2個，其他不低于80分的同學有3個“從甲班數(shù)學成績不低于80分的同學中隨機抽取兩名同學”的一切可能結(jié)果組成的基本事件有C＝10個， “抽到至少有一個87分的同學”所組成的基本事件有CC＋C＝7個，所以P＝. (2) 甲班 乙班 合計 優(yōu)秀 6 14 20 不優(yōu)秀 14 6 20 合計 20 20 40 χ2＝＝6.4>5.024， 因此，我們有97.5%的把握認為成績優(yōu)秀與教學方式有關(guān)． 17．已知二項式(x－)10的展開式中， (1)求展開式中含x4項的系數(shù)； (2)如果第3r項和第r＋2項的二項式系數(shù)相等，試求r的值． [解析]　(1)設(shè)第k＋1項為Tk＋1 ＝Cx10－k(－)k＝(－2)kCx10－k 令10－k＝4，解得k＝4， ∴展開式中含x4項的系數(shù)為(－2)4C＝3360. (2)∵第3r項的二項式系數(shù)為C， 第r＋2項的二項式系數(shù)為C ∴C＝C，故3r－1＝r＋1(r∈N)或3r－1＋r＋1＝10(r∈N)，解得r＝1. 18．(xx福建理，16)某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯誤，該銀行卡將被鎖定．小王到該銀行取錢時，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但可以確認該銀行卡的正確密碼是他常用的6個密碼之一，小王決定從中不重復(fù)地隨機選擇1個進行嘗試．若密碼正確，則結(jié)束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定． (1)求當天小王的該銀行卡被鎖定的概率； (2)設(shè)當天小王用該銀行卡嘗試密碼的次數(shù)為X，求X的分布列和均值． [解析]　(1)設(shè)“當天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為A， 則P(A)＝＝. (2)依題意得，X所有可能的取值是1、2、3. 又P(X＝1)＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝1＝. 所以X的分布列為 X 1 2 3 p 所以E(X)＝1＋2＋3＝. 19.在高中“自選模塊”考試中，某考場的每位同學都選了一道數(shù)學題，第一小組選《數(shù)學史與不等式選講》的有1人，選《矩陣變換和坐標系與參數(shù)方程》的有5人，第二小組選《數(shù)學史與不等式選講》的有2人，選《矩陣變換和坐標系與參數(shù)方程》的有4人，現(xiàn)從第一、第二兩小組各任選2人分析得分情況． (1)求選出的4人均為選《矩陣變換和坐標系與參數(shù)方程》的概率； (2)設(shè)X為選出的4個人中選《數(shù)學史與不等式選講》的人數(shù)，求X的分布列和均值． [解析]　(1)設(shè)“從第一小組選出的2人均選《矩陣變換和坐標系與參數(shù)方程》”為事件A，“從第二小組選出的2人均選《矩陣變換和坐標系與參數(shù)方程》”為事件B. 由于事件A、B相互獨立，所以P(A)＝＝，P(B)＝＝， 所以選出的4人均選《矩陣變換和坐標系與參數(shù)方程》的概率為P(AB)＝P(A)P(B)＝＝. (2)X可能的取值為0、1、2、3，則 P(X＝0)＝，P(X＝1)＝＋＝， P(X＝3)＝＝. P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)＝. 故X的分布列為 X 0 1 2 3 P 所以X的均值E(X)＝0＋1＋2＋3＝1. 20.班主任為了對本班學生的考試成績進行分析，決定從全班25名女同學、15名男同學中隨機抽取一個容量為8的樣本進行分析． (1)如果按性別比例分層抽樣，可以得到多少個不同的樣本？(只要求寫出算式即可，不必計算出結(jié)果) (2)隨機抽出8位，他們的數(shù)學分數(shù)從小到大排序是：60、65、70、75、80、85、90、95，物理分數(shù)從小到大排序是：72、77、80、84、88、90、93,95. ①若規(guī)定85分以上(包括85分)為優(yōu)秀，求這8位同學中恰有3位同學的數(shù)學和物理分數(shù)均為優(yōu)秀的概率； ②若這8位同學的數(shù)學、物理分數(shù)對應(yīng)如下表： 學生編號 1 2 3 4 5 6 7 8 數(shù)學成績x 60 65 70 75 80 85 90 95 物理成績y 72 77 80 84 88 90 93 95 根據(jù)上表數(shù)據(jù)用變量y與x的相關(guān)系數(shù)或散點圖說明物理成績y與數(shù)學成績x之間是否具有線性相關(guān)性？如果具有線性相關(guān)性，求y與x的線性回歸方程(系數(shù)精確到0.01)；如果不具有線性相關(guān)性，請說明理由． 參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝；回歸直線的方程是y＝bx＋a， 其中b＝，a＝－b；其中yi是與xi對應(yīng)的回歸估計值． 參考數(shù)據(jù)：＝77.5，＝85，(x1－)2 ≈1 050，(y1－)2≈456， (x1－)(y1－)≈688，＝32.4，≈21.4，＝23.5. [解析]　(1)應(yīng)選女生25＝5(個)，男生15＝3(個)，可以得到不同的樣本個數(shù)是CC. (2)①這8位同學中恰有3位同學的數(shù)學和物理分數(shù)均為優(yōu)秀，則需要先從物理的4個優(yōu)秀分數(shù)中選出3個與數(shù)學優(yōu)秀分數(shù)對應(yīng)，種數(shù)是CA(或A)，然后剩下的5個數(shù)學分數(shù)和物理分數(shù)任意對應(yīng)，種數(shù)是A.根據(jù)乘法原理，滿足條件的種數(shù)是CAA. 這8位同學的物理分數(shù)和數(shù)學分數(shù)分別對應(yīng)的種數(shù)共有A. 故所求的概率P＝＝. ②變量y與x的相關(guān)系數(shù)是r＝≈0.99.可以看出，物理與數(shù)學成績是高度正相關(guān)．若以數(shù)學成績x為橫坐標，物理成績y為縱坐標作散點圖如下，從散點圖可以看出這些點大至分布在一條直線附近，并且在逐步上升，故物理與數(shù)學成績是高度正相關(guān)． 設(shè)y與x線性回歸方程y＝bx＋a，根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，可以計算出b＝＝0.65，a＝85－0.6577.5＝34.63， 所以y與x的線性回歸方程是y＝0.65x＋34.63. 21.某城市一個交通路口原來只設(shè)有紅綠燈，平均每年發(fā)生交通事故80起，案件的破獲率為70%，為了加強該路口的管理，第二年在該路口設(shè)置了電子攝像頭，該年發(fā)生交通事故70起，共破獲56起，第三年白天安排了交警執(zhí)勤，該年發(fā)生交通事故60起，共破獲了54起． (1)根據(jù)以上材料分析，加強管理后的兩年該路口的交通狀況發(fā)生了怎樣的變化？ (2)試采用獨立性檢驗進行分析，設(shè)置電子攝像頭對該路口交通肇事案件的破獲產(chǎn)生了什么樣的影響？設(shè)置電子攝像頭和交警白天執(zhí)勤的共同作用對該路口交通肇事案件的破獲產(chǎn)生了什么樣的影響？ [解析]　(1)由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知，沒有采取措施之前，案件的發(fā)生較多，并且破獲率只有70%，安裝電子攝像頭之后，案件的發(fā)生次數(shù)有所減少，并且破獲率提高到了80%，白天安排交警執(zhí)勤后，案件的發(fā)生次數(shù)進一步減少，并且破獲率提高到了90%.由此可知，電子攝像頭對遏制交通案件的發(fā)生起到了一定作用，并且給破案帶了一定的幫助，而安排交警執(zhí)勤對這些的影響更大． (2)根據(jù)所提供的數(shù)據(jù)可以繪制對應(yīng)的22列聯(lián)表如下： 破獲的案件 未破獲的案件 合計 未采取措施 56 24 80 安裝攝像頭 56 14 70 合計 112 38 150 破獲的案件 未破獲的案件 合計 未采取措施 56 24 80 安裝攝像頭及交警執(zhí)勤 54 6 60 合計 110 30 140 從如圖所示的條形圖容易看出，安裝電子攝像頭后，破案率有了提高，實行交警執(zhí)勤后案件的破獲率有了明顯提高，這說明兩種措施對案件的破獲都起到了一定的積極作用． 先分析電子攝像頭對破案的影響的可信度，令a＝56，b＝24，c＝56，d＝14，構(gòu)造隨機變量 χ2＝ ＝≈1.974. 其中n＝a＋b＋c＋d.而查表可知，P(χ2≥1.323)＝0.25.且1－0.25＝0.75＝75%，因此約有75%的把握認為，安裝電子攝像頭對案件的破獲起到了作用． 再分析安裝電子攝像頭及交警執(zhí)勤的情況，同樣令a＝56，b＝24，c＝54，d＝6，則 χ2＝ ＝≈8.145，其中n＝a＋b＋c＋d. 而查表可知，P(χ2≥6.635)＝0.01，且1－0.01＝0.99＝99%，因此約有99%的把握認為安裝電子攝像頭及交警執(zhí)勤對案件的破獲起到了作用．